Polynésie juin 2011

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Polynésie juin 2011 - AlloSchool

?Correction du baccalauréat S Polynésie?

10 juin 2011

Exercice 15 points

Commun à tous les candidats.

Méthode 1 :

Le dessin suggère de considérer la rotation de centre

A et d"angleπ

2. Son écriture complexe est :z?-zA=

i (z-zA)??z?-2+5i=i(z-2+5i).

L"image B

?du point B dans cette rotation a donc pour af- fixe : z

B?-2+5i=i(7-3i-2+5i)??

B?=2-5i+5i-2=0.

L"image de B dans la rotation de centre A et d"angle 2est le point O. Ceci démontre que le triangle ABO est isocèle et rectangle en A. -2 -4 -62 4 6 O A B

Méthode 2 :OA2=|zA|2=22+52=29;

2=|zB-zA|2=|7-3i-2+5i|2=|5+2i|2=25+4=29;

2=|zB|2=|7-3i|2=72+32=49+9=58.

D"une part AO

2=AB2??AO=AB??ABO est isocèle en A;

D"autre part 29+29=58??AO2+Ab2=OB2??ABO est rectangle en A d"après la réciproque du théorème de Pythagore.

Méthode 3 :

SoitZ=zO-zA

zB-zA=-2+5i5+2i=i(2i+5)2i+5=i.

On aZ=AO

AB=1, soit AO = AB;

De plus arg(Z)=?--→AB,--→AO?

2ce qui montre que l"angle?BAO est droit. Le triangle ABO est donc

rectangle isocèle en A.

Méthode 4 :zO-zA

zB-zA=zO-zAzB-zA=i signifie que O est l"image de B dans la rotation de centre A et d"angleπ2.

2.Soient A et B les points d"affixes respectives i et-2i.

Ona|z-i|=|z+2i| ??AM= BM??M?Δmédiatrice de[AB].mais comme A etBappartiennent à l"axe des ordonnées, la médiatrice de [AB] (d"équationy= -1

2est parallèle à l"axe des abscisses. La

proposition est vraie.

3.z=3+i?

3, donc|z|2=9+3=12=?2?3?2?|z|=2?3. On peut en factorisant ce module écrire :

z=2? 3? ?3

2+i12?

=2?3?cosπ6+isinπ6?=2?3eiπ6.

Donc, pourn?N,z3n=?

3eiπ6?3n=?2?3?3nei3nπ6=?2?3?3neinπ2. Or einπ2est égal à i,-1,-i ou

1 suivant les valeurs denet la puissance n"est donc un nombre imaginaire que pournimpair. La

proposition est fausse.

4.Soitzun nombre complexe non nul d"argumentπ

2. On peut donc écrirez=ρi avecρréel positif non

nul. Donc|i+z|=1+|z| ?? |i+ρi|=1+|ρi| ?? |i(1+ρ)|=1+|ρi| ??1+ρ=1+ρqui est bien vraie.

La proposition 4 est vraie.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

5.Soitzun nombre complexe non nul.

Si le module dezest égal à 1 alorszs"écritz=eiθ, avecθ?R.

Doncz2+1

z2=e2iθ+1e2iθ=e2iθ+e-2iθ=cos2θ+isin2θ+cos2θ-isin2θ=2cos2θqui est un réel.

Exercice 25 points

Enseignementobligatoire

1.On a l"arbre pondéré suivant :

G 1 0,1G 2 0,8 G20,2

G10,9G

2 0,6 G20,4

On ap2=p(G1∩G2)+p?

G1∩G2?

=p(G1)×pG1(G2)+p?G1?

×p(G1)(G2)=

0,1×0,8+0,9×0,6=0,08+0,54=0,62.

2.Il faut trouverpG2?

G1? =p?

G1∩G2?

p(G2)=0,540,62=2731.

3.La probabilité que le joueur ne gagne aucune des trois parties est égale à 0,9×0,4×0,4=0,144.

La probabilité qu"il gagne au moins une partie est donc égaleàquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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