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Université de Genève26 avril 2012Méthodes mathématiques pour physiciens I
2 sindd= 2 1 1 x 213
2 dx = 2 1 1 x 423
x2+19 dx= 2x55 29
x3+19 x 1
R3 =2 0 sind =2sind! = 0:
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Université de Genève26 avril 2012Méthodes mathématiques pour physiciens I
Corrigé série 17
Exercice 1.Le but est d"orthonormaliser relativement en produit scalaire (f;g) = 2 0 0 f(;)g(;)sindd; la famille1;cos;cos2de fonctions continues ne dépendant pas de,i.e.m= 0.
1. Le premier vecteur de base estX0() = 1, le carré de sa norme est
(X0;X0) = 2 0 0 sindd= 4 ; si bien que le premier vecteur de base normalisé est Y00() =X0()p(X0;X0)=r1
4:2. Ensuite, le second vecteur de base pas encore normalisé est
X1() = cos(cos;Y00)Y00() = cos14
2 0 0 cossindd= cos:Le carré de sa norme est
(X1;X1) = 2 0 0 cos2sindd= 2 11x2dx=43
ainsi le deuxième vecteur normalisé est Y10() =r3
4cos:3. Pour le troisième vecteur nous commençons avec
X2() = cos2cos2;Y10Y10()cos2;Y00Y00() = cos213
donc (X2;X2) = 2 0 0 cos 2132 sindd= 2 1 1 x 213
2 dx = 2 1 1 x 423
x2+19 dx= 2x55 29
x3+19 x 1
1= 2845
si bien que Y20(x) =r5
4123cos21:
Remarque :Le changement de variablex= cosfait apparaître la même structure que les polynômes de
Legendre, à la normalisation près.
1Exercice 2.Transformées de Fourier
1. Pour la fonction créneau,
(Ff1)(k) =1p2 R eikxf1(x)dx=1p212a a aeikxdx1p212a1ik
eikxa x=a=1p2sin(ak)ak2. Pour l"exponentielle décroissante, il faut séparer la valeur absolue,
(Ff2)(k) =1p2 R eikxf2(x)dx=1p2 0 1 eikxeaxdx+ 1 0 eikxeaxdx 1p21ik+ae(ik+a)x0
x=1+1ikae(ika)x1 x=0! 1p21ik+a1ika
1p22ak
2+a2:3. Pour la gaussienne, il faut compléter le carré, puis changer de variables,
(Ff3)(k) =1p2 R eikxf3(x)dx=1p2 R eikxa2x2dx 1p2 R exp( a2 xik2a2 2 k24a2) dx1p2ek24a2
R ea2u2du1p2aek24a2
R ex2dx=1p2aek22a2: Exercice 3.Commene dépend pas de, alors pourm6= 0, q lm= 1 0 2 0 0 (r;)rlYlm(;)r2sindddr 1 0 0 (r;)Pml(cos)sindrl+2dr 2 0 eimd = 0:1. Le monopôle est nul pas symétrie,
q= R 0 2 0 0 (r;)r2sindddr= R 0 2 0 =2 0 sind =2sind! dr 2dr 23R3 =2 0 sind =2sind! = 0:
2. Par la remarque préliminaire,pxetpysont nuls et le dipôle est orienté selon l"axe vertical,
p z= R 0 2 0 0 (r;)rcosr2sindddr R 0 2 0 =2 0 cossind =2cossind! dr 3dr 2 R4: 23. Finalement pour les quadrupôles,
q 20=r5 16 R 0 2 0 0 (r;)r23cos21r2sindddr r5 16 R 0 2 0 =203cos21sind
=23cos21sind! r 4dddr r 20R5cossin2=2
0cossin2
=2 = 0; etq22etq21sont nuls à cause de l"indépendance deen.Exercice 4.Transformées de Fourier
1. En exprimant le sinus avec des exponentielles,
(Ff)(k) =1p2 R eikxf(x)dx=1p2 1 0 eikxexsinxdx 12ip2 1 0 eikxexeixeixdx 12ip2 1 0 e(ik+i1)xdx 1 0 e(iki1)xdx 12ip21iki11ik+i1
1p21k22 + 2ik:
2. En séparant les valeurs absolues, puis en intégrant par parties,
(Fg)(k) =1p2 1 0 xex(ik1)dx 0 1 xex(ik+1)dx 1p2 1ik1 1 0 ex(ik1)dx1ik+ 1 0 1 ex(ik+1)dx 1p21(ik1)2+1(ik+ 1)2!
r21k2(k2+ 1)2:
3 Exercice 5.En prenant le laplacien de l"ansatz proposé, =1X l=0l X m=l rRlmYlm+1r2RlmYlm
=1X l=0l X m=l rRlml(l+ 1)r 2Rlm Y lm;car les harmoniques sphériques sont fonctions propres de. Comme les harmoniques sphériques forment une
base des fonctions définies surS2, alors = 0si et seulement si pour toutl2Netjmj l, rRlm=l(l+ 1)r 2Rlm; est-à-dire en utilisant la définition der, @@r r2@Rlm@r
=l(l+ 1)Rlm:Avec l"ansatzRlm(r) =r, nous obtenons
(+ 1)r=l(l+ 1)r;dont les solutions sont données par=lou=l1. Par conséquent est une solution de l"équation de