[PDF] Méthodes mathématiques pour physiciens I Corrigé série 17



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Université de Genève26 avril 2012Méthodes mathématiques pour physiciens I

Corrigé série 17

Exercice 1.Le but est d"orthonormaliser relativement en produit scalaire (f;g) = 2 0 0 f(;)g(;)sindd; la famille

1;cos;cos2de fonctions continues ne dépendant pas de,i.e.m= 0.

1. Le premier vecteur de base estX0() = 1, le carré de sa norme est

(X0;X0) = 2 0 0 sindd= 4 ; si bien que le premier vecteur de base normalisé est Y

00() =X0()p(X0;X0)=r1

4:

2. Ensuite, le second vecteur de base pas encore normalisé est

X

1() = cos(cos;Y00)Y00() = cos14

2 0 0 cossindd= cos:

Le carré de sa norme est

(X1;X1) = 2 0 0 cos2sindd= 2 1

1x2dx=43

ainsi le deuxième vecteur normalisé est Y

10() =r3

4cos:

3. Pour le troisième vecteur nous commençons avec

X

2() = cos2cos2;Y10Y10()cos2;Y00Y00() = cos213

donc (X2;X2) = 2 0 0 cos 213
2 sindd= 2 1 1 x 213
2 dx = 2 1 1 x 423
x2+19 dx= 2x55 29
x3+19 x 1

1= 2845

si bien que Y

20(x) =r5

412

3cos21:

Remarque :Le changement de variablex= cosfait apparaître la même structure que les polynômes de

Legendre, à la normalisation près.

1

Exercice 2.Transformées de Fourier

1. Pour la fonction créneau,

(Ff1)(k) =1p2 R eikxf1(x)dx=1p212a a aeikxdx

1p212a1ik

eikxa x=a=1p2sin(ak)ak

2. Pour l"exponentielle décroissante, il faut séparer la valeur absolue,

(Ff2)(k) =1p2 R eikxf2(x)dx=1p2 0 1 eikxeaxdx+ 1 0 eikxeaxdx 1p2

1ik+ae(ik+a)x0

x=1+1ikae(ika)x1 x=0! 1p2

1ik+a1ika

1p22ak

2+a2:

3. Pour la gaussienne, il faut compléter le carré, puis changer de variables,

(Ff3)(k) =1p2 R eikxf3(x)dx=1p2 R eikxa2x2dx 1p2 R exp( a2 xik2a2 2 k24a2) dx

1p2ek24a2

R ea2u2du

1p2aek24a2

R ex2dx=1p2aek22a2: Exercice 3.Commene dépend pas de, alors pourm6= 0, q lm= 1 0 2 0 0 (r;)rlYlm(;)r2sindddr 1 0 0 (r;)Pml(cos)sindrl+2dr 2 0 eimd = 0:

1. Le monopôle est nul pas symétrie,

q= R 0 2 0 0 (r;)r2sindddr= R 0 2 0 =2 0 sind =2sind! dr 2dr 23
R3 =2 0 sind =2sind! = 0:

2. Par la remarque préliminaire,pxetpysont nuls et le dipôle est orienté selon l"axe vertical,

p z= R 0 2 0 0 (r;)rcosr2sindddr R 0 2 0 =2 0 cossind =2cossind! dr 3dr 2 R4: 2

3. Finalement pour les quadrupôles,

q 20=r5 16 R 0 2 0 0 (r;)r23cos21r2sindddr r5 16 R 0 2 0 =2

03cos21sind

=23cos21sind! r 4dddr r 20

R5cossin2=2

0cossin2

=2 = 0; etq22etq21sont nuls à cause de l"indépendance deen.

Exercice 4.Transformées de Fourier

1. En exprimant le sinus avec des exponentielles,

(Ff)(k) =1p2 R eikxf(x)dx=1p2 1 0 eikxexsinxdx 12ip2 1 0 eikxexeixeixdx 12ip2 1 0 e(ik+i1)xdx 1 0 e(iki1)xdx 12ip2

1iki11ik+i1

1p21k

22 + 2ik:

2. En séparant les valeurs absolues, puis en intégrant par parties,

(Fg)(k) =1p2 1 0 xex(ik1)dx 0 1 xex(ik+1)dx 1p2 1ik1 1 0 ex(ik1)dx1ik+ 1 0 1 ex(ik+1)dx 1p2

1(ik1)2+1(ik+ 1)2!

r2

1k2(k2+ 1)2:

3 Exercice 5.En prenant le laplacien de l"ansatz proposé, =1X l=0l X m=l rRlmYlm+1r

2RlmYlm

=1X l=0l X m=l rRlml(l+ 1)r 2Rlm Y lm;

car les harmoniques sphériques sont fonctions propres de. Comme les harmoniques sphériques forment une

base des fonctions définies surS2, alors = 0si et seulement si pour toutl2Netjmj l, rRlm=l(l+ 1)r 2Rlm; est-à-dire en utilisant la définition der, @@r r

2@Rlm@r

=l(l+ 1)Rlm:

Avec l"ansatzRlm(r) =r, nous obtenons

(+ 1)r=l(l+ 1)r;

dont les solutions sont données par=lou=l1. Par conséquent est une solution de l"équation de

Laplace si et seulement siRlmest de la forme

R lm(r) =almrl+blmrl1:

Ainsi nous avons démontré que

=1X l=0l X m=l almrl+blmrl1Ylm; est solution de l"équation de Laplace. 4quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18