Chapitre 1 Logique et raisonnements

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Chapitre 1 Logique et raisonnements - editions-ellipsesfr

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??R´esum´edecours ?Notions de logique

D´efinition : Proposition -.Uneproposition(ou assertion) est un ´enonc´emath´ematique qui

peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). D´efinition : N´egation d"une proposition -.SoitPune proposition. On appellen´egationdeP et on notenon Pla proposition d´efinie par :?non Pest vraie lorsquePest fausse; ?non Pest fausse lorsquePest vraie. D´efinition : Conjonction de deux propositions -.SoitPetQdeux propositions. On appelle conjonction dePetQla proposition not´eePetQ,etd´efinie de la mani`ere suivante : ?PetQest vraie lorsquePetQsont vraies; ?PetQest fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse. D´efinition : Disjonction de deux propositions -.SoitPetQdeux propositions. On appelle

disjonction dePetQla proposition not´eePouQ,etd´efinie de la mani`ere suivante :?PouQest vraie lorsque l"une au moins des deux propositions est vraie;

?PouQest fausse lorsquePetQsont fausses. D´efinition : Implication -.SoitPetQdeux propositions. On appelle implication deQparPla propositionnon P ou Q. Cette proposition se noteP?Q. Vocabulaire :la propositionP?Qse lit?PimpliqueQ?ou encore?siPalorsQ? Remarque :lorsqueP?Qest vraie, on dit quePest unecondition suffisantepour avoirQ, ou queQest unecondition n´ecessairepour avoirP. D´efinition : R´eciproque -.SoitPetQdeux propositions. On appelle r´eciproque deP?Q l"implicationQ?P. D´efinition :´Equivalence -.SoitPetQdeux propositions. On appelle ´equivalence dePetQ la propositionP?QetQ?P. Cette proposition se noteP?Q. Vocabulaire :la propositionP?Qse lit?Psi et seulement siQ?. Remarque :lorsqueP?Qest vraie,Pest unecondition n´ecessaire et suffisantepour avoir Q. Ainsi, les ´equivalences sont les conditions n´ecessaires et suffisantes. Table de v´erit´e des connecteurs logiques :PQnon PPetQPouQP?QP?Q

VVFVVVV

VFFFVFF

FVVFVVF

FFVFFVV

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS5??

Remarque :d"apr`es cette table de v´erit´e, siPetP?Qsont vraies alorsQest vraie. C"est le principe de d´eduction.

D´efinition : Contrapos´ee -.SoitPetQdeux propositions. On appelle contrapos´ee de l"implica-

tionP?Ql"implicationnon Q?non P Th´eor`eme 1.1.-SoitPetQdeux propositions. L"implicationP?Qet sa contrapos´ee sont

´equivalentes. Autrement dit :

(P?Q)??(non Q?non P) Proposition 1.2.-SoitPetQdeux propositions. Alors : ?non(non P)??P ?non(PetQ)??(non P)ou(non Q) ?non(PouQ)??(non P)et(non Q) ?non(P?Q)??Pet(non Q) ?Quantificateurs

D´efinition :SoitP(x)une propri´et´ed´ependant d"un param`etrex,o`uxest un ´el´ement d"un en-

sembleE.

Quantificateur universel :Pour signifier que la propri´et´eP(x)est vraie pour tous les ´el´ements

xdeE,on´ecrit : ?x?E, P(x) Le symbole?est appel´equantificateur universelet se lit?quel que soit?. Quantificateur existentiel -.Pour signifier que la propri´et´eP(x)est vraie pour au moins un ´el´ementxdeE,on´ecrit : ?x?E, P(x) Le symbole?est appel´equantificateur existentielet se lit?il existe?. Proposition 1.3.- N´egation des propositions avec quantificateurs -. ?La n´egation de la proposition?x?E, P(x)est:?x?E, non P(x). ?La n´egation de la proposition?x?E, P(x)est:?x?E, non P(x). Remarque :attention, l"ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s"en convaincre, on pourra consulter leVrai/Faux. ??6CHAPITRE 1 ?Raisonnement par r´ecurrence Th´eor`eme 1.4." Propri´et´e fondamentale deN-.Toute partie non vide deNadmet un plus petit ´el´ement. Th´eor`eme 1.5.- Principe de r´ecurrence -.SoitP(n) une proposition d´ependant den?N,et n 0 ?N.Si

Initialisation :la propositionP(n

0 )estvraie,

H´er´edit´e:pour tout entiern?n

0 ,P(n) impliqueP(n+1); alors la propositionP(n) est vraie pour tout entiern?n 0 Th´eor`eme 1.6.- R´ecurrence double -.SoitP(n) une proposition d´ependant den?N,et n 0 ?N.Si

Initialisation :les propri´et´esP(n

0 )etP(n 0 +1)sontvraies,

H´er´edit´e:pour tout entiern?n

0 ,(P(n)etP(n+ 1)) impliqueP(n+2); alors la propositionP(n) est vraie pour tout entiern?n 0

Th´eor`eme 1.7.- Principe de r´ecurrence forte (ou r´ecurrence avec pr´ed´ecesseurs) -.Soit

P(n) une proposition d´ependant den?N,etn

0 ?N.Si

Initialisation :la propositionP(n

0 )estvraie,

H´er´edit´e:pour tout entiern?n

0 P(n 0 )etP(n 0 +1)et···etP(n)? impliqueP(n+1); alors la propositionP(n) est vraie pour tout entiern?n 0

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS7??

??M´ethodes ?D´emontrer une proposition ?M´ethode 1.1.- Comment d´emontrer une proposition par d´eduction SiPetP?Qsont vraies, alorsQest vraie. C"est leprincipe de d´eduction.C"estun principe tr`es simple que l"on utilise en permanence : si l"on sait qu"une propositionPest

vraie (propri´et´educours,r´esultat d"une question ant´erieure...) et que l"on sait d´emontrer

P?Q, alors on a d´emontr´e que la propositionQest vraie.

Exemple :montrer que, pour toutx?R,x

2 -4x+5>0. On ax 2 -4x+5=x 2 -4x+4+1=(x-2) 2 +1.Or,(x-2) 2 ?0 (le carr´e d"un r´eel est positif) et 1>0. Par cons´equent, (x-2) 2 +1>0, c"est-`a-direx 2 -4x+5>0.

Mise en uvre : tous les exercices!

?M´ethode 1.2.- Comment d´emontrer une proposition par disjonction de cas On est parfois amen´e`a distinguer plusieurs cas pour d´emontrer qu"une proposition est vraie. C"est le principe d"une d´emonstration pardisjonction de cas. En particulier, si l"on souhaite d´emontrer qu"une propositionP(x) est vraie pour tous les ´el´ementsxd"un ensembleE, on peut prouver la proposition pour tous les ´el´ements d"une partieAdeE, puis pour les ´el´ements deEn"appartenant pas `aA.

Exemple :montrer que, pour toutn?N,

n(n+1) 2 est un entier naturel.

Soitn?N.Onvad´emontrer que

n(n+1) 2 ?Nen distinguant les casnpair ou impair. ?Sinest pair, on peut ´ecriren=2k,o`uk?N.Alors n(n+1) 2

2k(2k+1)

2 =k(2k+1)?N. ?Sinest impair, on an=2p+1,o`up?N.Alors n(n+1) 2 (2p+1)(2p+2) 2 =(2p+1)(p+1)?N.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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