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A.IV. Torseur de cohésion Ȃ Torseur des efforts intérieursA.IV.1 Définition
La poutre ĠtudiĠe S est en ĠƋuilibre sous l͛action des charges extérieures représentées par le torseur :
En s, abscisse curviligne de la section en G, définissant la frontière entre les parties ܫ et ܫܫ
partie est considĠrĠ encastrĠ aǀec l͛autre.On note :
- ൛࣮ௌ՜ூூൟ le torseur des actions extérieures sur la partie ܫܫ
- ൛࣮ௌ՜ூൟ le torseur des actions extérieures sur la partie ܫL͛ĠƋuilibre de la poutre s͛Ġcrit :
On introduit le torseur des actions de ܫܫ sur ܫL͛ĠƋuilibre de la partie ܫ
L͛ĠƋuilibre de la partie ܫܫ
On a donc :
Ce torseur traduit la cohésion des deux parties et définit les actions élémentaires exercées par la partie
ܫܫ sur la partie ܫ
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A.IV.2 Eléments de réduction du torseur de cohésionDans une section ɇ d͛abscisse s, les ĠlĠments de rĠduction du torseur des efforts intĠrieurs ሼ࣮ሽ
s͛Ġcriǀent en G dans la base locale ऌࢳ. Avec Chacune de ces sollicitations porte un nom précis :Symbole Nom Sollicitation Déformation
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Compression Allongement/Raccourcissement de la poutreܶ௬ Effort tranchant suivant ݕఀሬሬሬሬԦ Cisaillement Glissement relatif des sections ܶ
selon leur position par rapport au plan neutreModification de la courbure de la poutre ܯ
Une fibre étant un fil de matière parallèle à la ligne moyenne :A.IV.3 Tronçons de poutre - Définition
On dĠfinit un tronĕon de poutre comme une portion de poutre dans laƋuelle l͛edžpression de chacun
des éléments de rĠductions du torseur de cohĠsion est une fonction de l͛abscisse curǀiligne dont la
formule ne change pas. ChaƋue tronĕon est numĠrotĠ ă l͛aide d͛un chiffre. A.IV.4 Méthode générale de calcul du torseur de cohésionA.IV.4.a Méthode
- Isoler la poutre- Faire le bilan des actions mécaniques extérieures. En général, on nomme les inconnues en un
point A ܺǡܻǡܼǡܮǡܯǡܰnotations ܺǡܻǡܼǡܮǡܯǡܰ
- Appliquer le PFS à la poutre o si h=0 : (optionnel) Déterminer les actions de liaison o Si h=1 ͗ Edžprimer les actions de liaison en fonction de l͛action ͨ en trop » - Représenter la poutre et ses actions extérieures graphiquement en prenant garde aux signeset sens des flèches. Le mieux est de ne pas écrire de flèches au-dessus des ǀecteurs, d͛Ġcrire
leur composante positiǀe et d͛orienter la reprĠsentation (flğche reprĠsentant couple ou effort)
dans le sens du signe- Identifier les différents tronçons de la poutre et les numĠroter sur le schĠma (1,2,3 ͙)
- Pour chaque tronçon :o Etablir le schéma de la poutre complète en positionnant le point M ă l͛abscisse dĠsirĠe
et les actions edžtĠrieures sur l͛intĠgralitĠ de la poutre o Identifier les parties ܫ et ܫܫ o Choisir la partie isolée pour déterminer ሼ࣮ሽ o Faire apparaître les actions extérieures sur celle-ci o Déterminer le torseur de cohésionDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.4.a.i ǯ
Soit une poutre droite encastrée soumise à un effort orthogonalement à sa ligne moyenne, un effort
dans son axe et un couple autour de son axe.Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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On isole ܵ
On refait le schéma de la poutre avec les efforts extérieurs connus et on identifie les tronĕons, ici il n͛y
en a Ƌu͛un notĠ ͨ 1 » On étudie le seul tronçon 1, on place un point ܯ en 2 parties notées ܫ et ܫܫ Finalement, on détermine le torseur de cohésion dans le tronçon étudié :Avec :
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A.IV.4.a.ii Présence de plusieurs tronçons
Soit une poutre droite suivante encastrée soumise à deux efforts en des points différents.Détermination des actions extérieures
On isole ܵ
On refait le schéma de la poutre avec les efforts extérieurs connus et on identifie les tronçons, ici y en
a deux notés " 1 » et " 2 ».Tronçon ͳ : ݔ߳
Tronçon - : ݔ߳ሿ݈ǡܮ
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Tronçon 1
On étudie le tronçon ͳ, on place un point ܯ parties notées ܫ et ܫܫ On détermine alors le torseur de cohésion dans le tronçon étudié : SoitTronçon 2
On étudie le tronçon ͳ, on place un point ܯ parties notées ܫ et ܫܫ On détermine alors le torseur de cohésion dans le tronçon étudié : SoitDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.5 Diagrammes des sollicitations
A.IV.5.a Définition
Ces diagrammes sont la représentation graphique des 6 sollicitations identifiées au paragraphe
prĠcĠdent en fonction de l͛abscisse curǀiligne s de la poutre le long de ߁poutres droites, s correspond à x. Toutefois, dans des cas de poutres plus complexes, il faudra bien les
représenter en fonction de s. Chaque diagramme reprĠsente l͛intĠgralitĠ de la poutre.Il conǀient de respecter la mġme Ġchelle en abscisse afin d͛identifier rapidement les diffĠrentes
sollicitations dans une section donnée et si possible de les représenter les uns en-dessous des autres.
Enfin, on y fait apparaître les valeurs remarquables.Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.5.b Application
A.IV.5.b.i Exemple 1
Traçons les diagrammes des sollicitations du premier exemple que nous venons de traiter.On pourra ne pas représenter les diagrammes pour lesquels la sollicitation reste nulle sur toute la
poutre.