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Outils Mathématiques Les torseurs - AlloSchool

Génie Mécanique : Math-Sup TSI CPGE : Med V Beni-Mellal Doc : 1/4 OUTILS MATHÉMATIQUES : LES TORSEURS Prof : M.ELBEKRI

1.Définition et notations

1.1.Notations.

Un torseur est un outil Mathématiques qui associe une résultanteRet un momentA

Mexprimé en un point A quelconque de

l'espace appelé point de réduction. Notations usuelles à adopter à défaut de toutes notations imposées par le sujet.^ `°

® 7

ASystMRLes notations de la résultante et du moment évolueront ultérieurement en fonction des grandeurs physiques qu'elles

représenteront. grandeurs physiques modélisées ou représentées.

Remarque :

Les vecteurs sont des grandeurs intrinsèques, il n'est doncpas nécessaire d'exprimer la résultante et le moment dans la même

base ou repère.

1.2.Définitions.

Soit le système deglisseurs :),(

iiVP. Le torseur, associé à un système de n glisseurs),( iiVP, exprimé au point A, sera défini par :^ `

® 7

ƒn i iiAn i i A A ASyst

VAPMVR

11Définition Mathématiques : Un torseur est l'ensemble d'un champ antisymétrique et de sa résultante.

2.Représentation graphique

Usuellement et l'absence de toute information dans le sujetou de toute association à des grandeurs physiques identifiées, la

résultante d'un torseur est représentée par une simple flèche. Le moment est représenté par une double flèche. A défaut d'outils

graphiques adaptés on pourra jouer sur l'épaisseur des traits de la résultante et du moment pour les différencier.Système de n glisseursii

VP,A 1 P 3 P2 P i Pi V2 V1 V3 VOutil "Torseur" associé au système de n glisseursii VP,AR A 0

Cette représentation (simple flèche, double flèche) pourra être interverti ultérieurement en fonction des grandeursphysiques

représentées par l'outil torseur.Passage du système de glisseur à l'outil torseur, toujours possible. Le passage de l'outil "torseur" au champ des glisseurs est impossible(trop d'inconnues). Les calculs de dimensionnement des pièces imposent l'utilisation d'hypothèses simplificatrices pour approcher la forme du champ de glisseurs.

Génie Mécanique : Math-Sup TSI CPGE : Med V Beni-Mellal Doc : 2/4 OUTILS MATHÉMATIQUES : LES TORSEURS Prof : M.ELBEKRI

3. Changement de point d'écriture d'un torseur "transport d'un torseur".

Soit le torseur^ `°

® 7

ASystMR

L'expression de ce même torseur en un autre point B de l'espace sera :^ `°

š 7

BABBSystMR

RBAMMR4. Propriétés et opérations sur les torseurs.

4.1.Addition de torseurs

Soit les torseurs^ `°

® 7

ASystMR

1et^ `°

® 7

BSystMR

2^ ` ^ ` ^ `°

šš 77 7

BBAACBA

CSystSystSystRCBMRCAMMRRR

214.2.Multiplication d'un torseur par un scalaire.

Soit le torseur :^ `°

® 7

ASystMR

1^ `°

xx °¿°

®x 7x

AA A AA

ASystMR

MR 1

4.3.Comoment de deux torseurs.

Le comonent de deux torseurs est un scalaire.

Soit lestorseurs^ `°

® 7

ASystMR

'11et^ `°

® 7

ASystMR

"22 Le comoment des torseurs^`17Systet^`27Systusuellement notéest égal àAAMRMR'"21xx .

Le calcul du comoment implique que les deux torseurs soient exprimés au même point de réduction.

Le comoment est indépendant du point de réduction.

4.4.Autres propriètés.

xCommutativité :^`^`^`^`^`122177 77 7SystSystSystSystSystxAssociativité :^`^`^`^`^`^`^`^`^`^`321321321777 777 777 7SystSystSystSystSystSystSystSystSystSyst

xEléments neutres :° ®x AA A AA A MR

MR1et°

®x°¿°

AA A AA A AMR MR 00 xElément symétrique :° 00 A AA A AA A MR MR xDistributivité :^`^`>@^`^`12217x7x 77xSystSystSystSyst4.5.Invariant vectoriel. L'invariant vectoriel d'un torseur est sa résultanteusuellement notée :R.

4.6.Invariant scalaire.

L'invariant scalaire d'un torseur est le produit scalaire de sa résultante par son moment. Ce produit scalaire est indépendant du point d'écriture du torseur.BAMRMRx x scalaireinvariant

Génie Mécanique : Math-Sup TSI CPGE : Med V Beni-Mellal Doc : 3/4 OUTILS MATHÉMATIQUES : LES TORSEURS Prof : M.ELBEKRI

5. Formes particulières de torseur.

5.1.Torseur "nul".

Un torseur nul est un torseur dont la résultante et le moment associés sont nuls.^ `°

® 7

AUn torseur "nul" est nul en tout point de l'espace. Il est alors possible de ne pas préciser son point d'écriture et

repère dans les rédactions. Vous pouvez utilisez la notation simplificatrice suivante :^ `° ® 7ou la notation plus dangereuse et pas toujours admise par les correcteurs^`^` 7.

5.2.Torseur "Couple".

Un torseur couple est un torseur dont la résultante est nulle. L'expression du torseur est identique en tout point de l'espace.^ `°

z °¿° z 7 C

MAAAIl est fréquent que le momentA

Mdans les notations d'un torseur couple soit remplacé par le "couple"C.

5.3.Torseur à résultante.

Un torseur à résultante est un torseur dont le moment centralest nul.

Soit le torseur^ `

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