[PDF] Chapitre 4 Valeurs propres vecteurs propres Diagonalisation



Previous PDF Next PDF
















[PDF] vecteur propre matrice 3x3

[PDF] produit scalaire matrice vecteur

[PDF] covariance ti 82

[PDF] calculus of variations

[PDF] valeur propre matrice 3x3 exercice corrigé

[PDF] sous espace propre

[PDF] calcul vectoriel dans le plan tronc commun

[PDF] symbole produit vectoriel word

[PDF] exercice produit vectoriel + corrigé

[PDF] produit vectoriel science de l'ingénieur

[PDF] dimensionnement d'un vérin hydraulique double effe

[PDF] calcul verin hydraulique

[PDF] dimensionnement vérin pneumatique

[PDF] calcul verin hydraulique xls

[PDF] logiciel calcul verin pneumatique

Chapitre 4 Valeurs propres vecteurs propres Diagonalisation Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.49 Chapitre4.Valeursprop res,ve cteurspropres.Diagon alisation. Etantdonn´ee unematricecarr´eeA,oncherche`alamettresousuneformesemblable(au sensduch ap.1, (4.4))particuli` erementsim ple,`asavoirunefo rmediagonale.Autre ment ditonche rcheunebas edanslaquelleseuls les ´el´ement sdiagonauxdelamat riceson t nonnuls. Onverraquece lan'est pastoujourspossibl e,mais quelesv aleurssus ceptibles ment. Lesim plicationsphysiquesdecetteop´erationde "diagonalisation",dansdesprobl`e mes impliquantdesoscillateursm´ ecaniques ou´electriquescoupl´es,sontimportanteset seront discut´eesensuite.Maisilexist ebiend'autresprobl`eme sphysiqueso`ucesconceptssont importants.Signalonsainsiqu'enPhys iqueQuantique,o`ulesquan tit´esobservablessont

repr´esent´eespardesop´erateurslin´eairesa gissantsu rl'espacevectorieldes´etats(oudes

"fonctionsd'onde"),lesvaleu rspropresdecesop´erateu rsconstituentlesvaleurssuscepti- blesd'ˆetre observ´eesdansuneexp´e rience...

1.Ve cteursetvaleurspropres

1.1.D´efi nitionsdebase

Consid´eronsunematricecarr´eediag onalen!n,c'est-`a-diredelaforme a ij i ij cequ 'on´ecriraencoreA=diag(! 1 n Si#e i ,i=1,···,nd´esignentlesvecteursdela baseo`uAacetteforme,onvoitque Ae i i e i o`ue i estla matrice colonnerepr´esentant#e i ,soit(e i j ij Celanousm` ene`alad´efin itionsuivante, pourun ematri ceAcarr´eequelconque D´efinition:SoitAunema tricecarr´ee,soitXunve cteur(matricecolonne) nonnultel que

AX=!X,(1.1)

J.-B.Z.23F´ evrier2013

50M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207

avec!unnom brer´eel(ouco mplexe,voirplusbas ).OnditqueXestvecteurpropredeA pourlavaleurpropre!. Onvi entdevoirquesil amatri ceAestdi agonale,alorschaquevecteurdeba seestun vecteurproprepourla valeurpropredonn´ eeparleterme correspondantdeladiagonale deA. R´eciproquement,supposonsquel'onaittrouv´e nvecteurspropreslin´ eairementind´ependants X i (unehypoth `esepasinnocente,commeonvale voir).Alor scesX i peuventˆetrechoisis commenouvelleb asedel'espacevectoriel,etdan scettebase,Aestd iagonale.Unetelle matriceestditediagonalisable.Autrementdit,silamatriceAestdi agonalisable,ilexiste unema triceVtellequeV !1

AVsoitunemat ricediagon aledevaleurspropres,

V !1

AV=!=diag(!

1 2 n 1

0···0

0! 2

···0

00···!

n "#A=V!V !1 (1.2) Maistoutema tricen'estpasdia gonalisable.Ainsicommeonvale voirpl usbas,lamatr ice "triangulairesup´erieure" 1a 01 n'estpasdiagonalisable.

1.2.Valeu rspropresd'unematricesi nguli`ere

Supposonsquelamatric eAestsin guli`ere.CelasignifiequesesnvecteurscolonnesA j ne sontpasind ´ependants( cfchap.1,Th´eor`emedu§4.6),doncqu' ilexistennombresnon tousnulsx j telsque j x j A j =0,soitencore $i=1,···,n j a ij x j =0.(1.3)

Celaexprim equelevecteurXdeco mposantesx

j estvect eurpropredeApourlavale ur proprenulle.Lar ´eciproqueest´ev idente: lacondition(1.3)expr imelad´ependancelin´ea ire descolo nnesdeA,donclefaitqu'elleestsinguli`ere. Proposition1:Unematri ceestsinguli`ere(no ninversi ble)ssielleadmetlava leurpropre 0.

23F´ evrier2013J.-B.Z.

Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.51

1.3.Sous- espacepropre.

SoientXetYdeuxvect eurspropresdeAdemˆ emevaleurpropre:AX=!X,AY=!Y. Iles tclairque toutecombinais onlin´eai redeXetYestau ssivecteurprop repourlavaleu r propre!:A($X+%Y)=!($X+%Y).Le svecteursp ropresdeApouruneva leurpropr e donn´ee!formentdoncunsous-e spacevector iel,ap pel´eespacepropredel avaleurpropre Proposition2:Deuxvecteu rsproprespourdeuxvaleur spropres!%=µsont n´ecessairementind´ependants. Preuve.SoientXunv ecteurproprepourlavale urpropre!etYunve cteurpropre deuxnombre saetbnontousde uxnuls:suppos onsparex emplebnonnul.A ppliquant A`ac ett ere lat ion ,on aur ait 0=A(aX+bY)=a!X+bµY=0,soituneautrerelation lin´eaireentreXetY.Encombinantcesdeuxrelations(parexemple,!foislaprem i`ere moinslasecond e),ona uraitb(!&µ)Y=0,avecb%=0etY%=0,cequiimplique!=µ contrairement`al'hypoth`ese.Laproposi tionest d´emontr´ee. Plusg´en´e ralementond´emontre(parr´ecurrence)queqvecteursproprescorresp ondant`aq valeurspropresdisti nctessontn´ecessaire mentlin´eairementind´epen dants. Corollaire1:Siunem atr icecarr´een!nposs`edenvaleurspropresdisti nctes,cette matriceestdiagona lisable. Ene etelle poss`edealorsnvecteurspropresind´epe ndants(Prop.2),onpeu tleschoisir commebase,etlama triceestdonc di agonal isable. Proposition3:Unematri ceestdiagonalisabl essilaso mmedesdimensionsdesesespaces propresest´egale` an.

1.4.Polyn ˆomecaract´eristique

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3