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ÉCOLE NUMÉRIQUE

Code :

Thème : Géométrie du plan

Leçon 4 : TRIANGLE RECTANGLE Heure : 10 heures A. Pour marquer leur participation à la kermesse du Lycée Moderne de Mankono, les élèves du niveau 3ème dudit établissement se proposent de fabriquer un grand cerf- volant dont la maquette IJKL réalisée par un professeur de mathématiques est ci-contre. Pour une bonne production, ils décident de déterminer les dimensions des côtés du cerf-volant et la mesure de chacun de ses angles.

B. CONTENU DE LA LEÇON

I. PROPRIÉTÉS DE PYTHAGORE

1. La propriété de Pythagore

Propriété

Si un côtés.

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A.

Exercices de fixation

Exercice 1

Choisis la bonne réponse parmi les propositions suivantes.

EFG est un triangle rectangle en E.

a) ܨܧଶൌܩܧ;൅ܨܩ; b) ܩܧଶൌܨܧ;൅ܩܨ; c) ܩܨଶൌܧܨ;൅ܩܧ

Corrigé

a).

Troisième

Mathématiques

Exercice 2

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=4 et AC=3.

Calcule AB.

Corrigé

ABC est un triangle rectangle en A.

Donc ܥܤ

Alors, ܥܤ;ൌʹͷ. ܥܤ

2. La réciproque de la propriété de Pythagore

Propriété

Dans un

est rectangle.

Exemple

ABC est un triangle.

Exercice de fixation

ABC est un triangle tel que :ܤܣൌͳͲǢܥܣൌͳͲ݁ݐܥܤ

Justifie que le triangle ABC est rectangle en C.

Corrigé

On a:ܤܣଶൌሺͳͲሻଶൌͳͲǢܥܣଶൌሺͺሻଶൌ͸Ͷ݁ݐܥܤ

Comme ͳͲͲൌ͸Ͷ൅͵͸, alors ܤܣ;ൌܥܣ;൅ܥܤ est rectangle en C. II. CONSTRUCTION D'UN SEGMENT DE LONGUEUR ξࢇ , ࢇ൐૙

Programme de construction

Exemple 1

Pour construire un segment [BC] de longueur ξͳ͵ cm sachant que ͳ͵ൌͻ൅Ͷ, on peut procéder comme

suit : (En remarquant que ൫ξͳ͵൯ ଶൌͳ͵ ; 3² = 9 et 2² = 4) on construit deux demi-droites de même origine A et de supports perpendiculaires ; sdemi-droites, on place le point B tel que AB=3 cm -droite, on place le point C tel que AC=2 cm ; on trace le segment [BC] cherché.

ABC est un triangle rectangle en A

A C B

Exemple 2

Pour construire un segment [BC] de longueur ξ͹ cm sachant que ͹ൌͳ͸െͻ, on peut procéder comme suit :

(En remarquant que ൫ξ͹൯ ଶൌ͹ ; 3² = 9 et 4² =16) on construit un demi-cercle de diamètre AB=4 cm ; sur ce demi-cercle, on place le point C tel que AC=3 cm ; on trace le segment [BC].

Exercices de fixation

Exercice 1

ǯlongueur est le centimètre.

Sachant que ͷͺൌ͵ଶ൅͹ଶ , construis un segment [MP] de longueur ξͷͺ .

Donne ta méthode de construction que tu justifieras.

Corrigé

On sait que ͷͺൌ͵ଶ൅͹ଶ

Construire un segment de longueur ξͷͺ

droit mesurent respectivement 3 et 7.

Programme de construction Construction

Ƈ On trace un segment [EP] de longueur 7.

Ƈ On trace une droite passant par le point E et perpendiculaire à la droite (EP). Ƈ Sur cette droite, on place le point M tel que

EM ൌ͵.

Ƈ On trace le segment [MP] cherché.

Justification

Le triangle MEP est rectangle en E.

Exercice 2

Sachant que ͸ͷൌͻଶെͶଶ , construis un segment [NQ] de longueur ξ͸ͷ .

Donne ta méthode de construction que tu justifieras.

Corrigé

On sait que ͸ͷൌͻଶെͶଶ.

Construire un segment de longueur ξ͸ͷ

Programme de construction Construction

Ƈ On trace un segment [NA] de longueur 9.

Ƈ On trace le demi-cercle de diamètre [NA].

Ƈ Sur cet demi-

place le point Q tel que AQ ൌͶ.

Ƈ On trace le segment [NQ] cherché.

Justification

Le point Q appartient au cercle de diamètre [NA]. Donc le triangle NAQ est rectangle en Q. D :

III. PROPRIETE METRIQUE DEDUITE DE L'AIRE

Propriété

Dans un

Exemple

ABC est un triangle rectangle en B et H est le pied de la hauteur issue du point B.

Exercices de fixation

Exercice 1

Choisis la bonne réponse parmi les propositions suivantes.

MOP est un triangle rectangle en P.

K est le pied de la hauteur issue du point P.

a) ൈൌൈ b) ൈൌൈ c) ൈൌൈ

Corrigé

b).

Exercice 2

FIP est un triangle rectangle en P et K est la hauteur issue du sommet P. On donne : FP = 4cm ; PI = 2cm et FI =2ξͷcm.

Justifie que PK=ସξହ

Corrigé

FIP est un triangle rectangle en P.

K est le pied de la hauteur issue du sommet P.

D : FPൈܫܲൌܭܲൈܨܫ

Donc ܭܲ

IV. SINUS ET COSINUS D'UN ANGLE AIGU DANS UN TRIANGLE 1. Dans un angle aigu (ou de sa mesure), le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de

Exemple

Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : ܥܣܤ

Exercices de fixation

Exercice 1

Choisis la bonne réponse parmi, les propositions suivantes. IJK est un triangle rectangle en J, alors ܬܭܫ a) ூ௃ ௄௃ b) ூ௃ ூ௄ c) ௃௄

Corrigé

b).

Exercice 2

ABC est triangle rectangle en B tels que : ܤܣൌͶܿ݉Ǣܥܣൌͷܿ݉݁ݐܥܤൌ͵ܿ

Calcule ݏ݅݊ܣܥܤ

Corrigé

ABC est triangle rectangle en B.

Alors, ݏ݅݊ܣܥܤ

2. le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur

Exemple

Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : ܥܣܤ

Exercices de fixation

Exercice 1

Choisis la bonne réponse parmi, les propositions suivantes. OPQ est un triangle rectangle en O, alors ܱܳܲ a) ை௉ ைொ b) ௉ொ ைொ c) ை௉

Corrigé

c).

Exercice 2

ABC est triangle rectangle en B tels que : ܤܣൌͶܿ݉Ǣܥܣൌͷܿ݉݁ݐܥܤൌ͵ܿ

Calcule ܿ݋ݏܥܣܤ

Corrigé

ABC est triangle rectangle en B. Alors, on a ܿ݋ݏܥܣܤ

3. Propriétés

a. Propriétés du

Pour tout angle aigu de mesure ܽ

b. Sinus et cosinus de deux angles complémentaires

Propriété

Lorsque deux angles sont complémentaires,

Autrement dit, si ܣመ et ܤ෠ sont deux angles tels que ݉݁ݏܣመ൅݉݁ݏܤ

ݏ݅݊ܣመൌܿ݋ݏܤ෠ et ܿ݋ݏܣመൌݏ݅݊ܤ

Exercice de fixation

On donne ܿ

Détermine une valeur approchée de ݏ݅݊͸͹ι݁ݐܿ

Corrigé

On a:ʹ͵ι൅͸͹ιൌͻͲιǡݏ݅݊͸͹ιൌܿ

De même ܿ

V. TANGENTE D'UN ANGLE AIGU

1. Définition

de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur le côté adjacent à cet angle.

Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :

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