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Valeur moyenne d’une fonction périodique - Physique

2 PROPRIÉTÉS.

Valeur moyenne d"une fonction périodique.

Dans tout ce document, la (ou les) fonction(s) considérée(s) est (sont) périodique(s) par rapport au tempst.

Les valeurs moyennes dont il est question sont donc des valeurs moyennes dans le temps.

1 Définition et notation.

Sif(t)est périodique de périodeT, sa valeur moyenne, notée< f >(parfois< f(t)>), est définie par :< f >=1T T

0f(t)dt(1)

Remarque :dans le cas oùfest une fonction à la fois du temps et de l"espace (f(x,t)ouf(?r,t)), la valeur moyenne< f >n"est qu"une moyenne par rapport au tempst, et dépend donc dex(ou de ?r); elle ne dépend bien sûr plus det: < f >(?r) =1T T

0f(?r,t)dt

2 Propriétés.

Dans ce qui suit,f(t)etg(t)sont deux fonctions périodiques de même périodeTetαest une constante réelle quelconque. - Il est facile de démontrer que ?τ+T τf(t)dtne dépend pas deτ, donc on peut prendre< f >= 1T

τ+T

τf(t)dt, en choisissant n"importe quelτpour la calculer (τ= 0n"est pas toujours la valeur la plus "pratique" pour mener le calcul)

- De par la linéarité de l"intégration, il est facile de démontrer les propriétés suivantes :< f+g >=< f >+< g >(2)

< αf >=α < f >(3)

- Par contre, bien noter que, en général,< fg >?=< f >< g >/home/paul/Documents/travail/cours/maths/valeur_moyenne/valeur_moyenne.texpage 1 sur 4

6 EXERCICES.

5 Cas particulier des fonctions harmoniques : utilisation des repré-

sentations complexes.

Sif(t)etg(t)sont deux fonctions harmoniques de pulsationω, on utilise très fréquemment leurs

amplitudes complexesfetgtelles quef(t) =?? fe jωt? etg(t) =?? ge jωt? Le calcul de la valeur moyenne du produitf(t)g(t)peut se faire avec les fonctions réelles, mais c"est parfois un peu délicat mathématiquement.

Il est possible d"utiliser les amplitudes complexes de la manière suivante pour calculer cette valeur

moyenne, et ceci simplifie en général considérablement les calculs :< f(t)g(t)>=12 ?(fg? )(4) où l"exposant "étoile" désigne le complexe conjugué. La démonstration fait l"objet d"un autre document; elle n"est pas à connaître.

Dans le cas où l"on a à faire à des fonctions du temps et de l"espace, la relation est la même et

s"écrira< f(?r,t)g(?r,t)>=12 ?(f(?r)g? (?r))(5) (cette valeur moyenne dépend bien sûr dans ce cas de?r). Remarque :Deux nombres complexes conjugués ayant la même valeur réelle, on peut tout aussi bien choisir de conjuguer la fonctionfplutôt que la fonctiong, ce qui donne : < f(t)g(t)>=12 ?(f? g)(6) < f(?r,t)g(?r,t)>=12 ?(f? (?r)g(?r))(7)

6 Exercices.

6.1 Déterminer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes :

a)f(t) = cos(ωt) + sin(5ωt) b)f(t) = 3cos2?ωt2 + 1?-6sin(ωt) c)fest une fonction impaire et périodique d)f(t) = cos3(ωt) e)f(t) = 3sin4?ωt-π3

6.2 Valeur moyenne de la dérivée d"une fonction périodique.

Montrer que, quelle que soit la fonctionf(t), pourvu qu"elle soit périodique de périodeT, la valeur moyenne de sa dérivée est nulle :?dfdt? = 0. /home/paul/Documents/travail/cours/maths/valeur_moyenne/valeur_moyenne.texpage 3 sur 4

6.3 Application aux valeurs efficaces d"un signal. 6 EXERCICES.

6.3 Application aux valeurs efficaces d"un signal.

On rappelle que la valeur efficace d"un signal périodiqueu(t)(par exemple une tension, ou une intensité, mais pas seulement) est la racine carrée de la valeur moyenne du carré deu(t):U eff=?< u

2(t)>(6)

C"est la valeur appelée "RMS" en anglais, et pour de nombreux instrument de mesure (Root

Mean Square).

a) Montrer que pour une tension sinusoïdaleu(t) =U0cos(ωt+?), la valeur efficace est bien U eff=U0⎷2

b) Établir l"expression de la valeur efficace d"une tension en créneau ("triangle") symétrique,

oscillant entre-U0et+U0.

c) Même question pour une tension en créneau symétrique, qui prend alternativement les valeurs

-U0(det= 0àt=T2 ) et+U0(det=T2

àt=T).

d) Établir l"expression de la puissancemoyenneconsommée par une résistanceR, aux bornes de laquelle il y a la tensionu(t) =U0cos(ωt+?); l"exprimer en fonction deU0etR, en fonction deUeffetR. e) Montrer qu"un condensateur consomme, en régime sinusoïdal, une puissance moyenne nulle. Même question pour une bobine "parfaite" (c"est-à-dire dont la résistance est nulle).

f) On considère un dipôle linéaire d"impédance complexeZ=|Z|ej?. On applique à ses bornes

une tensionu(t) =U0cos(ωt). Il est alors parcouru par une intensitéi(t) =I0cos(ωt+α).

Déterminer l"expression du déphasageαentre l"intensité et la tension. Exprimer la puissance

moyenneconsomméepar ce dipôle, en fonction en particulier des valeurs efficacesUeffetIeff de la tension et de l"intensité. /home/paul/Documents/travail/cours/maths/valeur_moyenne/valeur_moyenne.texpage 4 sur 4quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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