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Paris7
PH402 ????-??PhysiqueStatistiqueEXERCICES
Feuille1: Probabilit´ es
1Distributionbinomiale
Ondisp osedepi` ecesde monnaie,pasfranchesmaisiden tiques,p ourlesquelles laprobabilit ´edetom ber
ducˆ ot´epilevautp(etdu cˆot ´eface,q=1 -p).On jetteNpi`eces.1.Donnerla loide probabilit´ ePN(n)p ourtrouvernpi`ecesducˆot ´e pile(v´erifierquelasomme des
probabilit´esest´egale `a 1).2.Calculerla valeur moyennedu nombredepi`eces tomb ´eescˆot ´e pileetl"´ecartquadratique moyendece
nombre.(Untruc :nxn≡x(d/dx)xn.)2Marchedel"ivrogne
Dansson couloir,c haquefois qu"ilserel` eve l"ivrognee ffectueun pasdelongueuraavantdes"affaler `anouveau. Deuxpassuccessifsson tind ´ep endants, etiln"ya pasdesenspriviligi´e.Quelleestla probabilit´epourqu"apr `esNtentativesl"ivrognesesoit d´ eplac´ ede ladistancex=na?3Tuquoque filii
1.SelonJeans (aucunrapp orta vecl"inv enteurdupantalonp ourgar¸consvachers),c hacunede vos
inspirationscon tientunemol´ecule dudernier souffledeJulesC´ esar.Quelles r´ eflexionscette assertion
vousinspire-t-elle?2.Onconsid `ereunr´ecipien tde volumeVcontenantNparticulesstatistiquemen tind´ep endanteset
uniform´ementr´epartiesen moyenne,etondemande lenom bremoyendeparticules conten uesdans unv olumevetses fluctuations.4Distributionnormale
Unev ariableal´eatoire continueXestcaract ´eris´eeparladensit´ede probabilit´ e w(x)= 1⎷2πbe-(x-a)22b2,x ?]-∞ ,+∞[. V´erifierquecetteloiest biennormalis ´ee. Calculer?X?etσ2Xdf=?(X-? X?)2?.5Sommede variables al´eatoires
Unmarc heurprogressetoujoursdans lam ˆeme direction.Ses pason tunelongueurvariant del-a `al+a.On appelle Xjlav ariableal´eatoire indiquantlalongueurduj-`emepas;elle ob´ eit` aune loi deprobabilit ´euniforme,quelquesoit j.1.Calculerla densit´ edeprobabilit´ede Xjenfonction dea.Calculer lav aleurmo yenneetl" ´ecart
quadratiquemo yendeXj.2.L"hommefait npas.Son d´ eplacementestd´esign´e parSdf=PXjeton suppose queleslongueurs
dec haquepassont desv ariablesal´eatoires ind´ ependantes.Calculer lavaleurmoyenne etl"´ecart
quadratiquemo yendeS.6Limitenormale
Onreprend laprobabilit ´e PN(n)de npileslors dujet deNpi`eces.Montrerque lorsqueNestgrand, on peutapproximer ladistributionbinomialeau voisinage de?n?parune loinormale dem ˆeme moy enne etv ariance.Montrerque l"onpeuttraiter ncommeune variable quasi-continuesi NpetNqsont?1.7Fonctiond"unev ariableal ´eatoire
Enun poin td"unplanexisteunc hampmagn ´etique Bal´eatoire,appartenantau plan,demodule constantb0,et dont lesdirectionssont ´egalemen tprobables.1.Quelleest laprobabilit ´e pourquelaprojection duchampsur l"axeˆxsoitcomprise entre bxetbx+dbx?
2.Quelleest laprobabilit ´e pourquecetteprojection soitcompriseentre 0et b0/2?
2Paris7, Phy.Stat. 1: prob abilit´ es.8Distributionde Maxwell
Maxwellamo d´ elis´elecomportementd"ungazparfait,autrement ditconstitu ´ed"untr`es grand(?)nombredemol ´ecules sans(?)interaction.La vitesseVd"unemol ´eculeestainsiunev ariableal ´eatoire,
etla probabilit´ epourquecettevitesse soitdanslepa v´ e( v,d3v)est dela forme d3P³
V?(v,d3v)´
=F(v)d3v, ouencore : d3P³
V x?[vx,vx+d vx[,Vy?[vy,vy+d vy[,Vz?[vz,vz+d vz[´ =F(vx,vy,vz)dvxdvydvz.1.Maxwellsuppose queladistributiond"une composan tede lavitesse estind ´ependantedesv aleursdes
autrescomp osantes.Montrezquecela impliquequeFsoitde laforme F(vx,vy,vz)= f(vx)g(vy)h(vz).2.Maxwellsuppose encorequeladistribution estisotrop e.Quelle formecela impliqueimm ´ediatemen t
pourF(vx,vy,vz)?3.Maisl"isotropie ad"autres cons´ equences,pas seulementsurl"´equivalence desdirections ˆx,ˆy,ˆz,mais
detoutedirection.Autremen tdit: v2x+v2y+v2z=cte ?F(vx,vy,vz)= cte.
i)En d´ eduirelaformediff´ erentielle decette implication. ii)Com bienya-t-il,dans cesconditions, dev ariationsd vx,d vy,d vzind´ependantes? iii)Calculez, justep ourv oir,(1/F)(∂F/∂vx). iv)Mon trezquel"ondoit av oir: ³1 f(vx)dfdvx+λvx´ dvx+³1f(vy)dfdvy+λvy´ dvy+³1f(vz)dfdvz+λvz´ dvz=0 , quelsque soientdvy,d vz(parexemple) etλ(vx,vy,vz). v)Mon trezqu"unchoix conv enabledeλimpliquela conditionpr ´ec ´edentequellesquesoient les variationsdvx,d vyetd vz.vi)En d´ eduireune´equationdiff ´eren tiellequedoitsatisfaire f.Mon trezqueλdoitˆ etreuneconstante.
vii)In t´egrezcette´equationdiff ´eren tiellepourtrouv erlaformedef.Quel doitˆ etrele signedeλ?
Calculezle facteurde normalisationp ermettant d"achev erlad´eterminationde fenterme deλ.4.L"enceintedev olumeVcontientNmol´ecules.
i)Calculez lenom bremo yend4Ndemol ´ecules -don tlacomposan teVxdela vitesseest dans[ vx,vx+d vx[, -qui viennent frapperl"´ el´ement d"aired2Ad"uneparoi perp endiculaire`al"axeˆx,
-p endantladur´ee dt. ii)Chaque mol´ ecule`aunemassemetles cho csaveclaparoi sont´elastiques.Calculezla composan teselonˆxdela quantit ´edemouvementdel"ensem blede cesmol´eculesav ant lechoc surla paroi,soit d4Pi.
Calculezde mˆ emelacomposantesur ˆxdela quantit ´edemouvementdecesmol ´eculesapr`esle cho c,
soitd 4Pf.iii)En d´ eduirelaforcemoyenne d3Fm/pexerc´eeparcetensem blede mol´ eculessurl"´ el´ ementd"aire
d2Adela paroi.
iv)En d´ eduirelaforcemoyenne d2Fm/pexerc´eepartoutesles mol´ eculesqui frappen tl"´el´emen t
d"aired 2A. v)En d´ eduirel"expressiondelapressionpdugaz. vi)En d´ eduirel"expression(th´eorique,il esttemps delerappeler)dupro duitpVentermes deN,m etλ.