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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

MULTIPLES, DIVISEURS, NOMBRES PREMIERS

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9l4EvLS0ezA

Partie 1 : Multiples et diviseurs

Définition : Soit í µ et í µ deux entiers naturels.

On dit que í µ est un multiple de í µ s'il existe un entier í µ tel que í µ=í µí µ.

Remarque : On dit alors que í µ est un diviseur de í µ.

Exemple :

15 est un multiple de 3, car 15=í µÃ—3 avec í µ=5.

Méthode : Démontrer qu'un nombre est un multiple ou un diviseur

Vidéo https://youtu.be/umlnJooSDas

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1) 36 est un multiple de 12.

2) 28 est un multiple de 8.

3) 6 est un diviseur de 54.

4) 7 est un diviseur de 24.

Correction

1) VRAI : 36 est un multiple de 12, car 36=í µÃ—12 avec í µ=3.

2) FAUX : 28 n'est pas un multiple de 8 car il n'existe pas d'entier k tel que 28=í µÃ—8.

3) VRAI : 6 est un diviseur de 54, car 54=í µÃ—6 avec í µ=9.

4) FAUX : 7 n'est pas un diviseur de 24 car il n'existe pas d'entier í µ tel que 24=í µÃ—7.

Propriété : La somme de deux multiples d'un entier í µ est un multiple de í µ.

Exemple :

700 et 21 sont des multiples de 7 donc :

721 = 700 + 21 est un multiple de 7.

Démonstration au programme : avec í µ=3

Vidéo https://youtu.be/4an6JTwrJV4

Démontrons que la somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3.

Soit í µ et í µ deux multiples de 3.

Comme í µ est un multiple de 3, il existe un entier í µ tel que í µ=3í µ Comme í µ est un multiple de 3, il existe un entier í µ tel que í µ=3í µ

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Alors : í µ+í µ=3í µ

+3í µ =3(í µ )=3í µ,í µí µÌ€í µ=í µ 2 est un entier car somme de deux entiers, donc í µ+í µ=3í µavec í µentier. í µ+í µest donc un multiple de 3. Méthode : Résoudre un problème avec des multiples ou des diviseurs

Vidéo https://youtu.be/7nU2M-zhAjk

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Correction

Soit trois entiers consécutifs qui peuvent donc s'écrire sous la forme : í µ, í µ+1 et í µ+2, où í µ est un entier quelconque.

Leur somme est :

Donc í µ=í µÃ—3, avec í µ=í µ+1 entier.

On en déduit que í µ est un multiple 3.

Partie 2 : Nombres pairs, nombres impairs

Définition : Un nombre pair est un multiple de 2. Un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair.

Exemples :

• 34 est pair, car c'est un multiple de 2, on a 34=17×2 • 57 est impaire car il n'existe pas d'entier í µ tel que 57=í µÃ—2. Propriétés : Un nombre pair s'écrit sous la forme 2í µ, avec í µ entier. Un nombre impair s'écrit sous la forme 2í µ+1, avec í µ entier.

Exemples :

• 34=2Ã—í µ, avec í µ=17. • 57=2Ã—í µ+1, avec í µ=28.

Propriétés :

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer la parité d'un nombre

Vidéo https://youtu.be/cE3gOMZ0Kko

Quelle est la parité de 5678984

+1

Correction

5678984

=5678984×5678984

PAIR PAIR

Donc 5678984

est pair car PAIR ×PAIR → PAIR

On peut donc écrire 5678984

=2í µ, avec í µ entier.

Et donc :

5678984

+1=2í µ+1 est impair. Propriété : Le carré d'un nombre impair est impair.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/eKo1MpX9ktw

Soit í µest un nombre impair. Alors il s'écrit sous la forme í µ=2í µ+1, avec í µentier.

Donc í µ

2í µ+1

=4í µ +4í µ+1=2(2í µ +2í µ)+1=2í µ'+1, avec í µ'=2í µ +2í µ. í µ' est entier car somme de deux entiers, donc í µ s'écrit sous la forme í µ =2í µ'+1et donc í µ est impair. Méthode : Résoudre un problème avec des nombres pairs ou impairs

Vidéo https://youtu.be/xCLLqx11Le0

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