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Prof/ATMANI NAJIB 1 Cours arithmétique avec Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS entier naturel III)Les nombres pairs et impairs IV)Les nombres premiers V) le plus grand commun diviseur VI) le plus petit commun multiple I
1)Définition : Tous les nombres entiers naturels composent un ensemble. On note : `0;1;2;...
: 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers naturels Par contre -45 n'en est pas un. Remarque : 1) On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l'on utilise naturellement dans la vie de tous les jours. 2)Il existe une infinité d'entiers naturels 2)Vocabulaire et symbole : a) Le nombre 0 est le nombre entier naturel nul. b)Les nombres entiers naturels non nuls composent un ensemble, nous le notons par le symbole : `^`1;2;... 0
c)7 est un nombre entier naturel, on écrit : 7 on lit : 7 appartient a d)(-3 on lit : -Exercice : compléter par : ; ; ; 4...
; 2...3 ; 2... ; 8...2 ; 15...3 ; 12 32... ; 25... ; 2,12... ; 0... : 100...32.12...
; `1;2;7 ... ; `4; 2;12 ...Solutions : 4.
; 2 3 ; 2 ; 8 2 ; 15 3 ; 12 32 ; 25 ; 2,12 ; 0 1002 ;2.12 ; `1;2;7 ; `4; 2;12
naturel 1)Définition :Soit a IN, b IN* : On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a b On dit aussi que b est un diviseur de a. Remarque : tout nombre entier naturel non nul a admet au moins deux diviseurs, 1 et a. Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels. - Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels. Exemple : On a : 145 = 5*29 alors : 5 et 29 sont des diviseurs de 145 12 = 4 3 = 1 12 = 6 2 4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12 12 5 IN Exercice : déterminer les multiples de 9 comprises entre :23 et 59 Solutions : : 9k avec : k
23 9 59k donc : 23/9 59/9k donc : 2.5 6.5k donc : `3;4;5;6k donc : les multiples de 9 comprises entre :23 et 59 sont : 93 ; 94; 95; 96 Cad : 45 ;36 :45 ;54 2)Critères de divisibilité soit n un nombre entier naturel , n est divisible par : a)2 si et seulement si son nombre 0, 2, 4, 6 ou 8. b)3 si et seulement si la somme de ces chiffres est divisible par 3 . c)4 si et seulement si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est divisible par 4. e)9 si et seulement si la somme de ces chiffres est divisible par 9 . Exemples :-Le nombre 4725 est divisible par 5 car se termine par 5 . - Le nombre 4725 est divisible par 3 et 9 car le nombre 18= (4+7+2+5) est un multiple de 3 et de 9 . - est 2 . - Le nombre 1628 est un multiple de 4 car le nombre 28 formé par ces deux derniers chiffres est un multiple de 4 . Exercice : déterminer le chiffre x pour que le nombre : 532xSoit divisible par 9 Solutions : on a 09x le nombre :532xest divisible par 9 ssi : 5 3 2 10xx est un multiple de 9 donc : on donnant a x les valeurs entre 0 et 9 on trouve que 8x P MPOP P N N P
Prof/ATMANI NAJIB 2 Exercice :on pose : et Sans calculer xet ymonter que : 1)75 divise y 2)105 divise x Solutions : 1)on a cad Donc : 75 divise y 2) on a cad Donc : 105 divise x III)Les nombres pairs et impairs Activité : Ecris ces nombres sous la forme 2x ... ou (2x ...) +1 les nombres suivants : 68 ;69; 86 ; 87 ; 92; 93 Solutions : 68 = 2 x 34 69 = (2 x 34) + 1 86 = 2 x 43 87 = (2 x 43) + 1 92 = 2 x 46 93 = (2 x 46) + 1 Règle 1 : Les nombres pairs sont terminés par 0, 2, 4, 6, 8 Les nombres impairs sont terminés par 1, 3, 5, 7, 9 Règle 2 : un nombre impair Définition1 : on un multiple de 2 existe un Entier naturel k tel que n = 2.k Exemple : 6 = 2 x 3 k =3 donc 6 est nombre pair Définition2 : on entier naturel k tel que n = 2.k+1 Exemple : 11 = 2 x 5+1 k =5 donc 11 est nombre impair Exercice : a
et bMontrer que si aest pair etb impair alors la somme est un nombre impair. Solution : aest pair alors : 2akavec k
b Impair alors : 21bk avec kquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3