[PDF] Seconde Fonctions Tétraèdre mobile



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Seconde Fonctions Tétraèdre mobile

Seconde Fonctions

Tétraèdre mobile

x est un réel ; 6 ].

R est le point du segment [AB] tel que AR = x.

S est le point du segment [AD] tel que AS = x.

T est le point du segment [AE] tel que ET = x.

f ( x ) est le volume du tétraèdre STAR.

Partie A Etude expérimentale

1. logiciel de géométrie dynamique, réaliser une figure.

2. Conjecturer la valeur du réel x pour laquelle le volume du tétraèdre STAR est maximal.

3. Conjecturer les valeurs du réel x pour lesquelles le volume du tétraèdre STAR est la moitié

du volume maximal. Partie B Etude théorique pour la première conjecture

1. Exprimer f ( x ) en fonction de x pour tout réel x de [ 0 ; 6 ].

2. La fonction g est définie sur [ 0 ; 6 ] par g ( x ) = 6 x 2 x 3.

a. , conjecturer la valeur de x qui rend g ( x ) maximal. b. On pose u ( x ) = g ( 4 ) g ( x ) pour tout réel x de [ 0 ; 6 ]. Vérifier que u ( x ) = ( x + 2 ) ( x 4 ) 2 pour tout réel x de [ 0 ; 6 ]. c. En déduire la valeur de x pour laquelle g ( x ) est maximale.

3. a. Pour quelle valeur de x, f ( x ) est-il maximal ?

b. Quelle est la valeur maximale M de f ( x ) ? Partie C Etude théorique pour la seconde conjecture

1. Montrer que f ( x ) =

M 2

équivaut à g ( x ) = 16.

2. a. , conjecturer le ng.

b. Justifier que g ( x ) = 16 si et seulement si ( x 2 ) ( x 2 4 x 8 ) = 0. c. Vérifier que x 2 4 x 8 = ( x 2 ) 2 12 pour tout réel x. d. ion g ( x ) = 16 dans [ 0 ; 6 ].

3. En déduire les valeurs du réel x pour lesquelles le volume du tétraèdre STAR est la moitié

de son volume maximal.

Seconde Fonctions

Tétraèdre mobile avec le logiciel GeoGebra

Répondre aux questions sur une feuille.

Dans Options, Arrondi, 5 décimales.

Afficher le graphique 3D et le graphique 2.

Dans le graphique 2

Créer un curseur : nombre t , min = 0 , max = 6 , incrément = 0.1.

Dans le graphique 3D

Créer les points A = ( 0 , 0 , 0 ) ; B = ( 6 , 0 , 0 ) ; C = ( 6 , 6 , 0 ) ; D = ( 0 , 6 , 0 ). Créer le polygone ABCD nommé q1. Colorier q1 en bleu. Créer Prisme ( q1 , 6 ) nommé cube6. Colorier cube6 en bleu. Créer les points R = ( t , 0 , 0 ) ; S = ( 0 , t , 0 ) ; T = ( 0 , 0 , 6 t ). Créer Pyramide ( S , T , A , R ) nommée pyra. Colorier pyra en rouge.

Créer le nombre v = Volume ( pyra ).

Question 1

Bouger le curseur t

Dans le graphique 2

Régler la fenêtre.

Clic droit sur le graphique, sélectionner Graphique : xMin = 2 ; xMax = 8 , yMin = 2 , yMax = 8.

Créer le point M = ( t , v ).

Créer f = Fonction ( x 2 ( 6 x ) / 6 , x , 0 , 6 ). Clic droit sur f, propriétés, dans Légende écrire C_f puis Entrée.

Question 2

Bouger le curseur t Que peut-on remarquer ?

Créer Max ( f , 0 , 6 ) qui donne un point nommé Z. Clic droit sur le point Z, propriétés, dans étiquette choisir Nom & Valeur.

Question 3

Lire les coordonnées du point Z.

Créer la droite L : y = 8 / 3.

ection de la droite L et de la courbe C f nommés U et V.

Question 4

Lire les coordonnées des points U et V.

Seconde Fonctions

Tétraèdre mobile

Partie A Etude expérimentale

1.

2. On conjecture que le volume du tétraèdre STAR est maximal si et seulement si x = 4.

3. On conjecture que le volume du tétraèdre STAR est la moitié du volume maximal

pour x = 2 ou x

Seconde Fonctions

Tétraèdre mobile

Partie B Etude théorique pour la première conjecture

1. volume ( STAR ) =

1 3 AT aire ( RAS ). aire ( RAS ) = 1 2 AR AS. volume ( STAR ) = 1 6 AT AR AS = 1 6 ( 6 x ) x x = 1 6 x 2 ( 6 x ).

Pour tout réel x de [ 0 ; 6 ], f ( x ) =

1 6 x 2 ( 6 x ).

2.a. On conjecture que g ( x ) est maximal pour x = 4.

2.b. Pour tout réel x de [ 0 ; 6 ],

u ( x ) = g ( 4 ) g ( x ) donc u ( x ) = 32 x 2 ( 6 x ) donc u ( x ) = 32 6 x 2 + x 3 donc u ( x ) = x 3 6 x 2 + 32. ( x + 2 ) ( x 4 ) 2 = ( x + 2 ) ( x 2 8 x + 16 ) donc ( x + 2 ) ( x 4 ) 2 = x 3 8 x 2 + 16 x + 2 x 2 16 x + 32 donc ( x + 2 ) ( x 4 ) 2 = x 3 6 x 2 + 32 donc ( x + 2 ) ( x 4 ) 2 = u ( x ).

2.c. Pour tout réel x de [ 0 ; 6 ],

x + 2 > 0 et ( x 4 ) 2 donc ( x + 2 ) ( x 4 ) 2 donc u ( x donc g ( 4 ) g ( x donc g ( x g ( 4 ). On en déduit que g ( x ) est maximal si et seulement si x = 4.

3.a. f ( x ) est maximal ssi

1 6 g ( x ) est maximal ssi g ( x ) est maximal ssi x = 4.

3.b. M = f ( 4 )

donc M = 1 6

4 2 ( 6 4 )

donc M = 1 6 32
donc M = 16 3

Seconde Fonctions

Tétraèdre mobile

Partie C Etude théorique pour la seconde conjecture

1. f ( x ) =

M 2 ssi 1 6 g ( x ) = 8 3 ssi g ( x ) = 16.

2.a. On conjecture que 16 possède deux antécédents par g.

2.b. g ( x ) = 16

ssi x 2 ( 6 x ) = 16 ssi 6 x 2 x 3 = 16 ssi 0 = x 3 6 x 2 + 16. ( x 2 ) ( x 2 4 x 8 ) = x 3 4 x 2 8 x 2 x 2 + 8 x + 16 donc ( x 2 ) ( x 2 4 x 8 ) = x 3 6 x 2 + 16. On en déduit que g ( x ) = 16 ssi ( x 2 ) ( x 2 4 x 8 ) = 0.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3