Chapitre 23 – Le produit vectoriel - Collège de Maisonneuve

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Chapitre 23 – Le produit vectoriel - Collège de Maisonneuve

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1

Chapitre 2.3 - Le produit vectoriel

La définition du produit vectoriel

Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat

est un vecteur. On utilise l'opérateur "

× » pour désigner le produit vectoriel.

En géométrie euclidienne

1, le produit vectoriel entre une vecteur Av et Bv correspond au

produit des modules des composantes perpendiculaires entre les vecteurs

Av etBv dont

l'orientation du vecteur résultant se doit d'être perpendiculaire à

Av et Bv simultanément.

On utilise la fonction sinus et l'angle

θ entre les vecteurs Av et Bv pour obtenir les

composantes perpendiculaires d'un vecteur par rapport à l'autre : )sin(θBABAvvvv=× où BAvv× : Module du produit vectoriel entre le vecteur Av et Bv.

Av : Module du vecteur Av (222

zxAAAAy++=v)

Bv : Module du vecteur Bv (222

zxBBBBy++=v)

θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.

Pour identifier l'orientation du l'orientation du vecteur

BAvv×, il

suffit d'identifier un plan formé à l'aide du vecteur

Av et Bv et de

trouver un vecteur perpendiculaire à ce plan. Puisqu'il y a deux choix possibles, la règle de la main droite choisie l'orientation pointant dans la direction tel qu'illustré sur le schéma ci-contre.

On utilise le vecteur unitaire

nˆ pour désigner l'orientation du produit vectoriel :

BABAnvv

vv Ar Br

BArr×

Orientation du produit vectoriel

BAvv× à l'aide de la main droite.

Exemple :

Ar Br

BArr×

nˆ Ar Br BArr nˆ Ar Br

BArr×

nˆ

1 L'espace euclidien permet d'évaluer les distances par le théorème de Pythagore (22yxd+=) .

Av Bv

θsinBv

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 En algèbre vectorielle euclidienne dans un plan cartésien xyz en trois dimensions, on

définit le produit vectoriel de la façon suivante : ( )( )( )kBABAjBABAiBABAnBABAxyyxxzzxyzzy vvv vvvv -+---==×ˆsin où

BAvv× : Produit vectoriel entre Av et Bv.

Av : Module du vecteur Av

Bv: Module du vecteur Bv

θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.

ˆ : Vecteur unitaire orientation

et kAjAiAAzyx vvvv++= kBjBiBBzyx vvvv++= Av Bv x y xA xB yA θ yB

BAvv×

Propriétés du produit vectoriel

Voici quelques propriétés du produit scalaire : ⮚ Distributif ()()CABACBAvvvvvvv×+×=+×)( ⮚ Anticommutatif ABBAvvvv×-=×

⮚ Produit unitaire : kjivvv=×, ikjvvv=×, jikvvv=× (sens horaire)

kijvvv-=×, ijkvvv-=×, jkivvv-=× (sens anti-horaire) ⮚ Produit nul : 0=×iivv, 0=×jjvv, 0=×kkvv, 0ˆˆ=×nn Situation A : Le vecteur perpendiculaire. À partir de la définition du produit vectoriel, trouvez un vecteur perpendiculaire au vecteur kjiAvvvv263-+= et au vecteur kjiBvvvv52++-= simultanément.

Évaluons le produit vectoriel entre le vecteur

Av et Bv afin d'obtenir un vecteur

perpendiculaire à

Av et Bv simultanément :

()()()kBABAjBABAiBABABAxyyxxzzxyzzy vvvvv-+---=× ? ()()()()[]()()()()[]()()()()[]kjiBAvvvvv162312532256--+------=× ? ()()()kjiBAvvvvv66215430--+----=× ? kjiBAvvvvv121334+-=× iv jv kv Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3

Exercice

Exercice 1 : Le calcul du produit vectoriel. À partir du vecteur kjiAvvvv235-+=et du vecteur kjiBvvvv++-=42 , on désire évaluer (a) le produit BAvv× et (b) l'angle θ entre le vecteur

Av et Bv.

Solution

Exercice 1 : Le calcul du produit vectoriel.

Évaluons le produit vectoriel BAvv× :

()()()kBABAjBABAiBABABAxyyxxzzxyzzy vvvvv-+---=× ? ()()()()[]()()()()[]()()()()[]kjiBAvvvvv234522154213--+------=× ? ()()()kjiBAvvvvv6204583--+----=× ? kjiBAvvvvv2611+-=× b) Évaluons l'angle θ entre le vecteur Av et Bv : ⮚ ( ) ( )222)2(35-++=Av ? 38=Av ⮚ ( ) ( )22214)2(++-=Bv ? 21=Bv ⮚ ( ) ( )22226)1(11+-+=×BAvv ? 798=×BAvv ⮚ ()()2138=BAvv ? 798=BAvv À partir de la définition du module du produit vectoriel : ()θsinBABAvvvv=× ? ( )BABAvv vv×=θsin ? ( )()( )798798sin=θ ? ()1sin=θ ? °=90θquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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