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C1 Suites récurrentes d'ordre 1 ou Équations aux différences

C1. SUITES RÉCURRENTES D"ORDRE1

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES

D"ORDRE1

Julie Scholler - Bureau B246

janvier 2020.

Suite récurrente

On dit qu"une suite(un)n?Nest unesuite récurrented"ordre p?N?s"il existe une fonctionftelle que ?n?N,un+p=f(un+p-1,un+p-2,...,un,n)Suite récurrente linéaire à coefficients constants On dit qu"une suite(un)n?Nest unesuite récurrente linéaire à coefficients constantsd"ordrep?N?s"il existe des réels a

1,...,ap,bet une fonctionftels que

u n+p-a1un+p-1-a2un+p-2- ··· -apun=f(n) I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Suites récurrentes linéaire d"ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant ?n?N,un+1=aun+bCas particuliers a=0 :suite constante égale àbà partir du rang 1• b=0 :suite géométrique de raisona• a=1 etb=0 :suite constante

a=1 etb?=0 :suite arithmétique de raisonb→Suites arithmético-géométriquesI. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Exemples

Compte épargne :

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

Évolution de capital :

K n+1= (1-δ)Kn+Iavec 0< δ <1Questions

Compte épargne :

•Combien d"argent aura-t-on sur le compte au bout d"un an (12 périodes)? •Au bout de combien de temps aura-t-on 1000 euros sur le compte? Évolution de capital : comportement sur le long terme I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Point d"équilibreUnpoint d"équilibreou une valeur stationnaire d"une équation aux différences finies est une valeur deu0pour laquelle le système est stationnaire, c"est-à-direun+1=un, pour tout entier positifn.Point fixe Un point d"équilibre est un point fixe de la fonctionfdéfinissant la relation de récurrence.I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Terme général d"une suite arithmético-géométrique

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

On pose?l"unique solution de l"équation?=a?+b.

Alors la suite de terme généralun-?est une suite géométrique de raisona pour tout entiernpositif ou nul, on a u n=an(u0-?) +?=an-1(u1-?) +? I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Limite

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

La suite(un)n?Nconverge si et seulement si|a|<1.

Si elle converge, alors sa limite est?=b1-a.Point d"équilibre Quand une suite arithmético-géométrique converge, sa limite est le point d"équilibre de l"équation aux différences finies vérifiée par la suite.I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Exemples

Compte épargne

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

u n→+∞+∞•

Évolution de capital

K n+1= (1-δ)Kn+Iavec 0< δ <1 I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Modèle de Cobweb

Demande :Qdt=α-βPt(α,β >0)

Offre :Qst=-γ+δPt-1(γ,δ >0)

Équilibre :Qdt=QstI. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements

Cas particuliers

Casa=1 :

divergence régulière?××××××

Casa=-1 :

divergence oscillatoire, oscillations entretenues?××× I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements : cas oùa>1

•a>1 etu0> ?: divergence régulièreu 0uquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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