[PDF] Exercice : étude d’une suite récurrente d’ordre 1



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Exercice : étude d’une suite récurrente d’ordre 1 Exercice : étude d"une suite récurrente d"ordre 1

Valentin Melot - Terminale spé maths A

4 avril 2021

Problème ouvert (version non-guidée)

Soit(un)n2Nla suite définie par récurrence en posantu02[0;1]et pour tout n2N,un+1=p1un. Étudier la convergence de la suite(un)n2Nen fonction de la valeur deu0.On pourra s"intéresser aux suites(u2n)n2Net(u2n+1)n2N.Exercice (version guidée) 1. Soit f:x7!p1xdéfinie sur[0;1]. Vérifier quefprend ses valeurs dans [0;1], puis étudier ses variations et sa continuité. 2. Mon trerque fadmet un unique point fixe, que l"on appelle, et justifier que si(un)n2Nconverge, alors sa limite est nécessairement égale à.

On suppose jusqu"à nouvel ordre queu02]0;[.

3.

Justifier que (un)n2Nn"est pas monotone.

Soitg=ff, définie sur]0;1[.

4. Étudier les v ariationset la con tinuitéde g. 5. Étudier le signe de g(x)xsur[0;1]. On pourra commencer par déterminer trois valeurs dexpour lesquelles cette quantité s"annule. 6. Soit x2[0;1]. Justifier que six < , alorsx < g(x)< < f(x), et que si x > , alorsf(x)< < g(x)< x.

On pose pour toutn2N,vn=u2netwn=u2n+1.

7. Mo ntrerpar récurrence que p ourtout n2N,vn< vn+1< < wn+1< wn. 8. En déduire que (vn)n2Net(wn)n2Nconvergent toutes deux vers.

9.(Difficile)En déduire que(un)n2Nconverge vers.

10. Co nclurequan tau comp ortementde la suite (un)n2Nen fonction de la valeur deu02[0;1].1

Question 1

Pour toutx2[0;1],06x61, donc061x61, donc06p1x61(car la fonctionx7!pxest croissante). Doncfprend bien ses valeurs dans[0;1],ce qui assure que(un)n2Nest bien définie. La fonctionx7!1xest affine donc continue sur[0;1], et prend sur cet inter- valle ses valeurs dansR+. La fonctiony7!pyest continue surR+. Par composition, fest continue sur[0;1].Enfin, pour tousx;y2[0;1]tels quex < y,1y <1xdoncp1y Pour toutx2[0;1], x=f(x)()x=p1x ()x2= 1xcarx>0 ()x2+x1 = 0: Ce dernier trinôme a pour discriminant = 5, et donc pour racines=p512 et =p5+1 2 <0. Puisque5>1, >0. Donc finalement, x=f(x)()x= donc=p512

est l"unique point fixe def.Si(un)n2Nconverge vers une limite`2[0;1], alors(un+1)n2Nconverge également vers

`, c"est-à-dire que(f(un))n2Nconverge vers`. Or,fest continue en`, donc(f(un))n2N converge versf(`). Par unicité de la limite,`=f(`), et donc`=.

Si(un)n2Nconverge, alors sa limite est.Question 3

Par hypothèse,u0< . Or,fest strictement décroissante sur[0;1], doncf(u0)> f(), c"est-à-dire queu1> . De même,f(u1)< f(), soitu2< . On a donc : -u0< < u1, -u2< < u1,

et donc(un)n2Nn"est pas monotone.Remarque : l"on sait pas, à ce stade, siu0est plus petit queu2ou non.

Question 4

fest continue sur[0;1]. Par composition,ffest continue également sur[0;1],

c"est-à-dire quegest continue sur[0;1].Soientx;y2[0;1]avecx < y. Par stricte décroissance def,f(x)> f(y), puis

f(f(x))< f(f(y)). Aussi,g(x)< g(y). Doncgest strictement croissante sur[0;1].2

Question 5

On remarque quef(0) = 1etf(1) = 0. En conséquence,g(0) = 0etg(1) = 1. En outre, on a montré quef() =, doncg() =. Aussi,g(x)xs"annule en0,et1.Soitx2[0;1]. On a : g(x)x60()g(x)6x ()q1p1x6xcary7!y2est croissante sur[0;1] et les deux membres sont positifs ()1p1x6x2 ()1x26p1x ()(1x2)261xcary7!y2est croissante sur[0;1] et les deux membres sont positifs ()12x2+x461x g(x)x60()x42x2+x60: On démontre de même queg(x)x= 0()x42x2+x= 0(car aucune division parxn"a été faite). SoitP:x7!x42x2+x. Immédiatement,0et1sont des racines deP. On factorise doncPpar(x1)etx. On trouve (par identification, ou bien en appliquant la méthode de Horner) que pour toutx2[0;1],

P(x) =x(x1)(x2+x1)

Et donc, en utilisant la factorisation de la question 2,

P(x) =x(x1)(x)(x)

avec=p5+1 2 <0. Remarque : d"après ce qui précédait, puisqueg() =, il était immédiat queP() =. On aurait donc pu factoriser également par(x), et trouver le dernier facteur de degré

1 par la méthode de Horner.

On peut donc répondre en réalisant le tableau de signe ci-dessous :x x x1xxP(x)g(x)x01 0++ 0 0+ 0+00 0+00 3

Autrement dit,

g(x)xest positif pourx2]0;[, négatif pourx2];1[, et s"annule en0,et1.Question 6 D"après ce qui précède, six < , alorsg(x)x >0, doncg(x)> x. En outre,f étant strictement décroissante, d"après le raisonnement fait à la question 3,f(x)> et g(x)< . On a donc bien : Six < , alorsx < g(x)< < f(x).De même, six > , alorsg(x)x <0, doncg(x)< x. En outre,f(x)< , et < g(x). Donc :

Six > , alorsf(x)< < g(x)< x.Question 7

On remarque que pour toutn2N,

v n+1=u2n+2=f(u2n+1) =f(f(u2n)) =g(u2n) =g(vn):

De même,wn+1=g(wn).

Soit pour toutf2N,Hn:vn< vn+1< < wn+1< wn.

Initialisation : d"après la question 6, en prenantx=u0, on a : u

0< g(u0)< < f(u0)

soit : u

0< u2< < u1:

En outre, toujours d"après la question 6, en prenantx=u1> , on a : f(u1)< < g(u1)< u1 soitquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3