[PDF] EXERCICE 1 (6 points) (commun à tous les candidats) Partie A



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EXERCICE 1 (6 points) (commun à tous les candidats) Partie A

Amériquedusud2015.Ensei gneme ntspécifiq ue

EXERCICE1(6points)(c ommu nàtousl escandidats)

PartieA

Danslepla nmunid 'unrepèreort honormé

O, i, j ,ondésigneparC u lac ourbereprésentative delafonctionu définiesurl'in terva lle]0,+∞[par: u(x)=a+ b x c x 2 oùa,betcsontdesrée lsfixés.

Onat rac ésurlegraphique ci-desso uslaco urbeC

u etla droite Dd'équationy=1. A BO i j C u D

Onpr écisequelacourbeC

u passeparlespoi ntsA(1,0)etB(4,0)etqu el'axedes ordonnéesetladroit eDsont asymptotesàlacourbeC u

1)Donnerlesvaleur sdeu(1)etu(4).

2)Donnerlim

x→+∞ u(x).Endéduirelavaleurdea.

3)Endé duireque,pourtoutrée lxstrictementpositif,u(x)=

x 2 -5x+4 x 2

PartieB

Soitflafo nctiondéfiniesurl'intervalle]0,+∞[par: f(x)=x-5lnx- 4 x quelim x→0 xlnx=0.

3)Démontrerque,pourtoutréel xstrictementpositif,f

(x)=u(x).

Endé duireletableaudevari ationd elafonctionfenpr écisantleslimitesetlesvaleur spart iculières.

PartieC

1)Déterminerl'aireA,expriméeenunitéd'aire,dudomainehachurésurlegraphiquedel apartieA.

2)Pourtoutré elλsupérieurouégalà4,onnoteA

l'aire,expriméee nunitéd'aire,dudomainefo rmépar lespoints

Mdeco ordonnées(x,y)tellesque

4!x!λet0!y!u(x).

Existe-t-ilunevaleurdeλpourlaquel leA

=A?

Danscette question,toutet racederecherche,mêmeincomp lète,oud 'initi ative,mêmenonfructueuse,seraprise

encom ptedansl'évaluat ion. http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2015.Tousd roitsréservés.

AmériqueduSud2015.Ensei gneme ntspécifiq ue

EXERCICE1:corrigé

PartieA

1)u(1)=u(4)=0.

2)Ladr oited'équationy=1estasym ptoteàlacourbeC

u en+∞.Donclim x→+∞ u(x)=1.

D'autrepart,lim

x→+∞ b x =0etlim x→+∞ c x 2 =0.Donc,lim x→+∞ u(x)=a.Onendéduitque a=1.

3)Pourtoutré elx>0,u(x)=1+

b x c x 2 .L'égalitéu(1)=0fournit1+b+c=0etl' égalitéu(4)=0fournit 1+ b 4 c 16 =0.Ensuite,

1+b+c=0

1+ b 4 c 16 =0 b+c=-1

4b+c=-16

3b=-15(( II)-(I))

4b+c=-16

b=-5quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3