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Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.49 Chapitre4.Valeursprop res,ve cteurspropres.Diagon alisation. Etantdonn´ee unematricecarr´eeA,oncherche`alamettresousuneformesemblable(au sensduch ap.1, (4.4))particuli` erementsim ple,`asavoirunefo rmediagonale.Autre ment ditonche rcheunebas edanslaquelleseuls les ´el´ement sdiagonauxdelamat riceson t nonnuls. Onverraquece lan'est pastoujourspossibl e,mais quelesv aleurssus ceptibles ment. Lesim plicationsphysiquesdecetteop´erationde "diagonalisation",dansdesprobl`e mes impliquantdesoscillateursm´ ecaniques ou´electriquescoupl´es,sontimportanteset seront discut´eesensuite.Maisilexist ebiend'autresprobl`eme sphysiqueso`ucesconceptssont importants.Signalonsainsiqu'enPhys iqueQuantique,o`ulesquan tit´esobservablessont Exemplesquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
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![Chapitre 4 Valeurs propres vecteurs propres Diagonalisation Chapitre 4 Valeurs propres vecteurs propres Diagonalisation](https://pdfprof.com/Listes/17/24855-17LP207_4.pdf.pdf.jpg)
repr´esent´eespardesop´erateurslin´eairesa gissantsu rl'espacevectorieldes´etats(oudes
"fonctionsd'onde"),lesvaleu rspropresdecesop´erateu rsconstituentlesvaleurssuscepti- blesd'ˆetre observ´eesdansuneexp´e rience...1.Ve cteursetvaleurspropres
1.1.D´efi nitionsdebase
Consid´eronsunematricecarr´eediag onalen!n,c'est-`a-diredelaforme a ij i ij cequ 'on´ecriraencoreA=diag(! 1 n Si#e i ,i=1,···,nd´esignentlesvecteursdela baseo`uAacetteforme,onvoitque Ae i i e i o`ue i estla matrice colonnerepr´esentant#e i ,soit(e i j ij Celanousm` ene`alad´efin itionsuivante, pourun ematri ceAcarr´eequelconque D´efinition:SoitAunema tricecarr´ee,soitXunve cteur(matricecolonne) nonnultel queAX=!X,(1.1)
J.-B.Z.23F´ evrier2013
50M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207
avec!unnom brer´eel(ouco mplexe,voirplusbas ).OnditqueXestvecteurpropredeA pourlavaleurpropre!. Onvi entdevoirquesil amatri ceAestdi agonale,alorschaquevecteurdeba seestun vecteurproprepourla valeurpropredonn´ eeparleterme correspondantdeladiagonale deA. R´eciproquement,supposonsquel'onaittrouv´e nvecteurspropreslin´ eairementind´ependants X i (unehypoth `esepasinnocente,commeonvale voir).Alor scesX i peuventˆetrechoisis commenouvelleb asedel'espacevectoriel,etdan scettebase,Aestd iagonale.Unetelle matriceestditediagonalisable.Autrementdit,silamatriceAestdi agonalisable,ilexiste unema triceVtellequeV !1AVsoitunemat ricediagon aledevaleurspropres,
V !1AV=!=diag(!
1 2 n 10···0
0! 2···0
00···!
n "#A=V!V !1 (1.2) Maistoutema tricen'estpasdia gonalisable.Ainsicommeonvale voirpl usbas,lamatr ice "triangulairesup´erieure" 1a 01 n'estpasdiagonalisable.1.2.Valeu rspropresd'unematricesi nguli`ere
Supposonsquelamatric eAestsin guli`ere.CelasignifiequesesnvecteurscolonnesA j ne sontpasind ´ependants( cfchap.1,Th´eor`emedu§4.6),doncqu' ilexistennombresnon tousnulsx j telsque j x j A j =0,soitencore $i=1,···,n j a ij x j =0.(1.3)Celaexprim equelevecteurXdeco mposantesx
j estvect eurpropredeApourlavale ur proprenulle.Lar ´eciproqueest´ev idente: lacondition(1.3)expr imelad´ependancelin´ea ire descolo nnesdeA,donclefaitqu'elleestsinguli`ere. Proposition1:Unematri ceestsinguli`ere(no ninversi ble)ssielleadmetlava leurpropre 0.23F´ evrier2013J.-B.Z.
Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.511.3.Sous- espacepropre.
SoientXetYdeuxvect eurspropresdeAdemˆ emevaleurpropre:AX=!X,AY=!Y. Iles tclairque toutecombinais onlin´eai redeXetYestau ssivecteurprop repourlavaleu r propre!:A($X+%Y)=!($X+%Y).Le svecteursp ropresdeApouruneva leurpropr e donn´ee!formentdoncunsous-e spacevector iel,ap pel´eespacepropredel avaleurpropre Proposition2:Deuxvecteu rsproprespourdeuxvaleur spropres!%=µsont n´ecessairementind´ependants. Preuve.SoientXunv ecteurproprepourlavale urpropre!etYunve cteurpropre deuxnombre saetbnontousde uxnuls:suppos onsparex emplebnonnul.A ppliquant A`ac ett ere lat ion ,on aur ait 0=A(aX+bY)=a!X+bµY=0,soituneautrerelation lin´eaireentreXetY.Encombinantcesdeuxrelations(parexemple,!foislaprem i`ere moinslasecond e),ona uraitb(!&µ)Y=0,avecb%=0etY%=0,cequiimplique!=µ contrairement`al'hypoth`ese.Laproposi tionest d´emontr´ee. Plusg´en´e ralementond´emontre(parr´ecurrence)queqvecteursproprescorresp ondant`aq valeurspropresdisti nctessontn´ecessaire mentlin´eairementind´epen dants. Corollaire1:Siunem atr icecarr´een!nposs`edenvaleurspropresdisti nctes,cette matriceestdiagona lisable. Ene etelle poss`edealorsnvecteurspropresind´epe ndants(Prop.2),onpeu tleschoisir commebase,etlama triceestdonc di agonal isable. Proposition3:Unematri ceestdiagonalisabl essilaso mmedesdimensionsdesesespaces propresest´egale` an.1.4.Polyn ˆomecaract´eristique
Soit!uneva leurpropredeA.Nousr´ecrivonslacondition(1.1)souslaforme (A&!II)X=0.(1.4) Commeonl'avu` alapro position1 ci-de ssus,l 'exist enced'unve cteurXsatisfaisant(1.4) estla conditi onn´ecessaireetsu santepourque A&!IIso itsinguli`er e.Maisserappelant leTh ´eor`emefondamentalduchapitre2 (§3),cela est´equivale nt`adet(A&!II)=0.J.-B.Z.23F´ evrier2013
52M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207
Pourunemat ricecarr´ een!n,l'expression
P(z)=det(A&zII)(1.5)
estun polynˆ omedelavariablez,dedegr´enenr aisondelamultili n´earit ´edud´ eterminant.
D´efinition:Cepo lynˆomeestappel´epolynˆomecaract´eristiqu edeA. Onvi entdevoirquetou tevale urpropreest uneracine dupolynˆomecaract´e ristique. R´eciproquement(grˆaceaufaitquetoutesles propositionsimpliqu´eessontdesconditions n´ecessairesetsu santes),touteracinede P(z)estunevaleurpropredeA. Th´eor`eme1:Lesva leurspropressontlesra cinesdupolynˆomecara ct´eristique. Selonquel'ontr availl esurR,ensembledesnombresr´eels,ousurC,leschosessont unpe udi ´erentes.SurClepo lynˆomecaract´eristiqueaex actementnracines,distinctes ounon ("th´e or`emefondamentaldel'alg`ebre").Onp eutdonc´e crire