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Mathematiques { Enseignement obligatoire Methodologie Raisonnement par recurrence

Raisonnement par recurrence

UtilisationUn raisonnement par recurrence peut permettre d'etablir qu'une proprieteP, dependant d'un entier naturelnest vrai

pour tout entiernsuperieur ou egal a un entier donne.

ExemplesPour tout entier natureln, 4n+ 5 est un multiple de 3.Pour tout entier natureln6, 2n(n+ 2)2.Exemples de demonstrations par recurrence

Exemple 1ProprieteP:pour tout entier natureln, 4n+ 5 est un multiple de 3.{Constat au rang 0 :{4

0+ 5 = 1 + 5 = 6 ; 6 est un multiple de 3 ;Pest vrai au rang 0.{Heredite :{S upposonsl apr oprietePvrai au rangk0, c'est-a-dire supposons 4k+ 5 multiple de 3.{D emontronsal orsq uePest vrai au rangk+ 1, c'est-a-dire que 4k+1+ 5 est un multiple de 3.{P uisque4

k+ 5 est un multiple de 3, il existe un entierptel que 4k+ 5 = 3p.{D 'ou4 k= 3p5. Or 4k+1+ 5 = 44k+ 5. Donc 4k+1+ 5 = 4(3p5) + 5 et 4k+1+ 5 = 12p15 = 3(4p5).{4

k+1+ 5 est donc un multiples de 3.{Conclusion :{La p roprietePest vrai pour tout entier natureln.Exemple 2

ProprieteP:pour tout entier natureln6, 2n(n+ 2)2.{Constat au rang 6 :{2

6= 64 et (2 + 8)2= 64 doncPest vrai au rang 6.{Heredite :{S upposonsl apr oprietePvrai au rangk6, c'est-a-dire supposons 2k(k+ 2)2.{D emontronsal orsq uePest vrai au rangk+ 1, c'est-a-dire que 2k+1(k+ 1 + 2)2.{2

k+1= 22k. Puisque 2k(k+ 2)2, 2k+1(k+ 2)2.{M ontronsq ue2( k+ 2)2(k+ 3)2est positif.{2( k+ 2)2(k+ 3)2= 2k2+ 8k+ 8k26k9{ 2(k+ 2)2(k+ 3)2=k2+ 2k1{ 2(k+ 2)2(k+ 3)2= (k+ 1)22 ork6 donc (k+ 1)22470.{D 'ou2( k+ 2)2(k+ 3)2et 2k+1(k+ 3)2.{Conclusion :{La p roprietePest vrai pour tout entier natureln6.Mise en uvre d'un raisonnement par recurrence

Pour demontrer qu'une proprietePest vraie pour tout entier natureln, on procede par etapes :

1)Constat: on verie quePest vraie au rang 0.

2)Heredite: on suppose que la proprietePest vraie pour un rangk(k0) puis, a l'aide de cette hypothese, on

demontre que la proprietePest vraie au rangk+ 1.

3)Conclusion: on conclue que la proprietePest vraie pour tout entiern.

Remarque

Dans la deuxieme etape, l'hypothese \Supposons que la proprietePest vraie au rangk" est appelee hypothese derecurrence.

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