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Exercices10 mars 2016

Intégration et primitives

Notion d'intégrale

Exercice1

Pour chaque fonction affine définie par morceauxf, représentée ci-dessous, calculer, en utilisant les aires, l'intégrale I defsur l'intervalle de définition def.

0.51.0

-0.5 -1.01 2 3-1-2-3OC f 123

1 2 3 4 5 6 7 8 9

OC f??

Exercice2

Polynésie juin 2013

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=(x+2)e-x On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal. On noteDle domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbeCet les droites d'équa- tionx=0 etx=1. On approche l'aire du domaineDen calculant une somme d'aires de rectangles. a) Dans cette question, on découpe l'intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur : •Sur l'intervalle?

0 ;14?

, on construit un rec- tangle de hauteurf(0) •Sur l'intervalle?14;12? , on construit un rec- tangle de hauteurf?1 4? •Sur l'intervalle?12;34? , on construit un rec- tangle de hauteurf?1 2? •Sur l'intervalle?34; 1? , on construit un rec- tangle de hauteurf?3 4?

Cette construction est illustrée ci-contre.

C 12 1 O paul milan1 TerminaleS exercices

L'algorithme ci-contre permet d'obtenir

unevaleurapprochéedel'airedudomaine

Den ajoutant les aires des quatre rec-

tangles précédents.

Donner une valeur approchée à 10

-3 près du résultat affiché par cet algorithme.

S'agit-il d'une valeur par excès ou par dé-

faut?Variables:Ientier etSréel

Entrées et initialisation

0→S

Traitement

pourIvariant de 0 à 3faire

S+14f?I4?

→S fin

Sorties: AfficherS

b) Dans cette question,Nest un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle [0 ; 1] enNintervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question a). Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires desN rectangles ainsi construits. Faites le calcul pourN=100.

c) Vérifier le résultat en calculant la valeur approchée de l'intégrale defde 0 à 1. Quelle

est l'erreur commise en prenantN=4, valeur trouvée en a).

Exercice3

Dans chaque cas, la fonctionfest représentée par sa courbeCf, dont une équation est indiquée.

1) Prouver queCfest un demi-cercle. Préciser son centre et son rayon.

2) En déduire l'intégrale I defsur son intervalle de définition. En donner ensuite une

valeur approchée puis vérifier le résultat sur votre calculette. 12

1 2 3-1-2

Cfy=⎷4-x2

O1+⎷21-⎷2

Cfy=1+?2-(x-1)2

O11

Exercice4

Les fonctions affines par morceauxfetgsont définies sur l'intervalle [-1;5] par : -x+3 si 02x+32si-1?x?1 1

4x+54si 1

1) Tracer séparément les fonctionsfetg

2) Calculer les intégrales I et J sur [-1;5] defetg.

3) En déduire les intégrales sur [-1;5] des fonctionf+4get 5f-2g

paul milan2 TerminaleS exercices

Primitive

Exercice5

Prouver dans les cas suivantes que la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur un intervalleI.

1)f(x)=2(x4-1)

x3;F(x)=x2+1x2;I=]0;+∞[

2)f(x)=1

1+ex;F(x)=x-ln(1+ex);I=R

3)f(x)=1

xlnx;F(x)=ln(lnx);I=]1;+∞[

4)f(x)=cosx-xsinx;F(x)=xcosx;I=R

Exercice6

Montrer que les fonctionFetGsont deux primitives de la même fonctionfsur un intervalleI. Pouvait-on prévoir ce résultat?

F(x)=x2+3x-1

x-1;G(x)=x2+7x-5x-1;I=]1;+∞[.

Calcul de primitive

Pour les exercices de 7 à 13, donner une primitive de la fonction f sur l'intervalle I.

Exercice7

Linéarité de la primitive

1)f(x)=x4-4x3+x2-4x+3,I=R

2)f(x)=x2-2x+1

3,I=R

3)f(x)=1-1

x3,I=]0;+∞[4)f(x)=-1 x3+4x2-1,I=]0;+∞[

5)f(x)=4

x+2ex,I=]0;+∞[

Exercice8

Formeu'un

1)f(x)=(x+2)3,I=R

2)f(x)=2x(1+x2)5,I=R

3)f(x)=(x-1)5

3,I=R4)f(x)=2x(3x2-1)3,I=R

5)f(x)=sinxcosx,I=R

Exercice9

Formeu'u

1)f(x)=1

x-4,I=]4;+∞[ 2)f(x)=1x-4,I=]- ∞;4[ paul milan3 TerminaleS exercices

3)f(x)=2x-1x2-x,I=]0;1[

Exercice10

Formeu'un,n?2

1)f(x)=2

(x+4)3,I=]-4;+∞[

2)f(x)=1

(3x-1)2,I=?- ∞;13?

3)f(x)=2x-1

(x2-x+3)2,I=R4)f(x)=x-1 (x2-2x-3)2,I=]-1;3[

5)f(x)=4x2

(x3+8)3,I=]-2;+∞[

Exercice11

Formeu'⎷u

1)f(x)=2

Exercice12

Formeu'eu

1)f(x)=e-x+1,I=R

2)f(x)=2e3x-2,I=R3)f(x)=xe-x2

2,I=R

4)f(x)=sinx×ecosx,I=R

Exercice13

Formeu(ax+b)

1)f(x)=cos(3x)+sin(2x),I=R

3-2x? ,I=R

Exercice14

donnée sur un intervalleIà préciser.

1)f(x)=x4+3x2-4x+1,F(2)=0

2)f(x)=2

x2+x,F(1)=0

3)f(x)=1

(2x+1)2,F(0)=0

4)f(x)=-1

3-x,F(1)=15)f(x)=x

(x2-1)2,F(0)=0

6)f(x)=e3x+1,F(-1)=0

7)f(x)=xe-x2,F(⎷

ln2)=1 paul milan4 TerminaleS exercices

8)f(x)=1x-1+1x+1,F(2)=0

9)f(x)=sin?

2x-π

4? ,F?π2? =010)f(x)=cosxsin2x,F?π 2? =1

11)f(x)=2cosx

2-3sinx2,F?π2?

=0

Calcul de primitive plus difficile

Exercice15

Calculer une primitive de la fonctionfsur l'intervalle indiquée.

1)f(x)=x2

x3-1I=]- ∞;1[

2)f(x)=cosx

sinxI=]-π;0[

3)f(x)=1

x2e-2 xI=]0;+∞[

4)f(x)=xcosx-sinx

x2I=]0;+∞[5)f(x)=lnx-1 x2I=]0;+∞[

6)f(x)=lnx

xI=]0;+∞[

7)f(x)=1

xlnxI=]1;+∞[

8)f(x)=ex-e-x

ex+e-xI=R

Exercice16

fdésigne une fonction rationnelle définie sur un intervalleI. Déterminer une primitive de fà l'aide de la décomposition proposée

1)f(x)=4x+5

2x+1I=?

-12;+∞? . Montrer quef(x)=a+b2x+1

2)f(x)=2x2-3x-4

x-2I=]2;+∞[. Montrer quef(x)=ax+b+cx-2

3)f(x)=1

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