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COMPLÉMENT II

Statistiques d"ordre

(Biblio : Cottrell p. 53) On considèrenvariables aléatoires(X1;:::;Xn)indépendantes de même loi de

densitéfsurR, de fonction de répartitionF.

Proposition 1.Les(Xi)1insont presque sûrement tous distincts.Démonstration.En effet soiti6=j.P(Xi=Xj) =R

R

210(xy)f(x)f(y)dxdy=R

Rf(x)(R

R1x(y)f(y)dy)dx

d"après Fubini. La deuxième intégrale est nulle car le singletonfxgest de mesure de Lebesgue nulle. On

en déduit

P(9(i6=j);Xi=Xj) =P([i6=j(Xi=Xj))P

i6=jP(Xi=Xj) = 0 Par conséquent on peut définir pour presque tout!2 la permutation(!)telle que X (!)(1)(!)< X(!)(2)(!)<< X(!)(n)(!).

Proposition 2.est une variable aléatoire à valeurs dans l"ensemble des permutationsSn, de loi uniforme

surSn.Démonstration.On commence par montrer queest bien une variable aléatoire : puisqueSnest un ensemble fini, il suffit de montrer que siest une permutation,1(fg)est mesurable. Or

1(fg) =f!2

;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)(!)g=f!2 ;(X1;:::;Xn)2B(!)g, où B =f(x1;x2;:::;xn)2Rn;x(1)< x(2)<< x(n)g.Best bien un borélien deRn, par conséquent f!2 ;(X1;:::;Xn)2Bgest bien mesurable etest donc bien une variable aléatoire. Pour vérifier quea bien une loi uniforme, on va montrer que siest une permutation quelconque de S n,P(=)ne dépend pas de. En effet

P(=) =P(f!2

;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)!g). Or la densité dun-uplet(X1;:::;Xn)est f(x1):::f(xn): elle est invariante par permutation des coordonnées, et len-uplet(X(1);:::;X(n))a donc même loi que(X1;:::;Xn). Par conséquent, P(f!2 ;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)!g) =P(f!2 ;X1(!)< X2(!)< :::Xn(!)g) ne dépend pas de.

On note souvent pour simplifier les notationsX(i)(!) =X(!)(i).X(i)est appelé statistique d"ordre de

rangide l"échantillon(X1;:::;Xn). En particulier,X(1)= min(Xi)etX(n)= max(Xi). Également

souvent étudiée, sinest impair,X(n+1)=2est la médiane desXi. Il est facile de déterminer la loi deX(1)

et celle deX(n). Le résultat se généralise :

Proposition 3.

L en-uplet(X(1);X(2);:::;X(n))a pour densitén!1x1Pour tout 1in,X(i)a pour densitéin if(x)(F(x))i1(1F(x))ni1

2Complément II. Statistiques d"ordre

Démonstration.-En effet, si Best un borélien deRn,

P((X(1);X(2);:::;X(n))2B) =P

2SnP((X(1);X(2);:::;X(n))2Bet=)

=P

2SnP((X(1);X(2);:::;X(n))2Bet(X(1)< X(2)< X(n)))

Or siest une permutation deSn,(X(1)< X(2)< X(n))a même loi que(X1;:::;Xn). Ainsi chacun desn!événements de la somme a la même probabilité

P((X1;X2;:::;Xn)2Bet(X1< X2<< Xn)) =R

B1x1 densité de(X(1);X(2);:::;X(n)est donc bienn!1x1Une fois qu"on a la densité du n-uplet, on pourrait trouver la densité d"une coordonnée en intégrant

sur les autres : ainsi si1in, la densité deX(i)est : n!R R Néanmoins il est plus simple de s"inspirer du calcul classique dans les cas particuliersi= 1oui=n

et de calculer la fonction de répartition deX(i): six2R, l"événementfX(i)xgest la réunion

(disjointe) pour tous leskides événements "Il y a exactementkéléments du n-uplets inférieurs àx

etnksupérieurs strictement àx". De plus, siK f1;:::;ngvérifiejKj=k, P(8j2K;Xjxet8j =2K;Xj> x) =F(x)k(1F(x))nkne dépend pas deK, mais uniquement de son cardinalk. Puisqu"il y an k parties de cardinalk, on a finalement

P(X(i)x) =Pn

k=in k

F(x)k(1F(x))nk)

Pour trouver la densité, il ne reste plus qu"à dériver par rapport àx: f

X(i)(x) =f(x)Pn

k=ikn k

F(x)k1(1F(x))nk)f(x)Pn

k=i(nk)n k

F(x)k(1F(x))nk1)

En utilisant les égalitéskn

k =nn1 k1 et(nk)n k =nn1 k il vient f

X(i)(x) =nf(x)Pn

k=in1 k1

F(x)k1(1F(x))nk)nf(x)Pn

k=in1 k

F(x)k(1F(x))nk1)

Il reste à effectuer un changement de variable dans la première sommej=k1et à simplifier pour

obtenir enfin : f

X(i)(x) =nf(x)n1

i1

F(x)i1(1F(x))ni=in

i f(x)F(x)i1(1F(x))ni.

Deux cas particuliers sont souvent regardés :

(1) Cas où les Xisont uniformes sur[0;1]. La densité dun-uplet(X(1);X(2);:::;X(n))est alors n!10Rappels

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