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COMPLÉMENT II
Statistiques d"ordre
(Biblio : Cottrell p. 53) On considèrenvariables aléatoires(X1;:::;Xn)indépendantes de même loi de
densitéfsurR, de fonction de répartitionF.Proposition 1.Les(Xi)1insont presque sûrement tous distincts.Démonstration.En effet soiti6=j.P(Xi=Xj) =R
R210(xy)f(x)f(y)dxdy=R
Rf(x)(R
R1x(y)f(y)dy)dx
d"après Fubini. La deuxième intégrale est nulle car le singletonfxgest de mesure de Lebesgue nulle. On
en déduitP(9(i6=j);Xi=Xj) =P([i6=j(Xi=Xj))P
i6=jP(Xi=Xj) = 0 Par conséquent on peut définir pour presque tout!2 la permutation(!)telle que X (!)(1)(!)< X(!)(2)(!)<< X(!)(n)(!).Proposition 2.est une variable aléatoire à valeurs dans l"ensemble des permutationsSn, de loi uniforme
surSn.Démonstration.On commence par montrer queest bien une variable aléatoire : puisqueSnest un ensemble fini, il suffit de montrer que siest une permutation,1(fg)est mesurable. Or1(fg) =f!2
;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)(!)g=f!2 ;(X1;:::;Xn)2B(!)g, où B =f(x1;x2;:::;xn)2Rn;x(1)< x(2)<< x(n)g.Best bien un borélien deRn, par conséquent f!2 ;(X1;:::;Xn)2Bgest bien mesurable etest donc bien une variable aléatoire. Pour vérifier quea bien une loi uniforme, on va montrer que siest une permutation quelconque de S n,P(=)ne dépend pas de. En effetP(=) =P(f!2
;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)!g). Or la densité dun-uplet(X1;:::;Xn)est f(x1):::f(xn): elle est invariante par permutation des coordonnées, et len-uplet(X(1);:::;X(n))a donc même loi que(X1;:::;Xn). Par conséquent, P(f!2 ;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)!g) =P(f!2 ;X1(!)< X2(!)< :::Xn(!)g) ne dépend pas de.On note souvent pour simplifier les notationsX(i)(!) =X(!)(i).X(i)est appelé statistique d"ordre de
rangide l"échantillon(X1;:::;Xn). En particulier,X(1)= min(Xi)etX(n)= max(Xi). Égalementsouvent étudiée, sinest impair,X(n+1)=2est la médiane desXi. Il est facile de déterminer la loi deX(1)
et celle deX(n). Le résultat se généralise :Proposition 3.
L en-uplet(X(1);X(2);:::;X(n))a pour densitén!1x12Complément II. Statistiques d"ordre
Démonstration.-En effet, si Best un borélien deRn,P((X(1);X(2);:::;X(n))2B) =P
2SnP((X(1);X(2);:::;X(n))2Bet=)
=P2SnP((X(1);X(2);:::;X(n))2Bet(X(1)< X(2)< X(n)))
Or siest une permutation deSn,(X(1)< X(2)< X(n))a même loi que(X1;:::;Xn). Ainsi chacun desn!événements de la somme a la même probabilitéP((X1;X2;:::;Xn)2Bet(X1< X2<< Xn)) =R
B1x1 densité de(X(1);X(2);:::;X(n)est donc bienn!1x1Une fois qu"on a la densité du n-uplet, on pourrait trouver la densité d"une coordonnée en intégrant sur les autres : ainsi si1in, la densité deX(i)est : n!R R Néanmoins il est plus simple de s"inspirer du calcul classique dans les cas particuliersi= 1oui=n et de calculer la fonction de répartition deX(i): six2R, l"événementfX(i)xgest la réunion
(disjointe) pour tous leskides événements "Il y a exactementkéléments du n-uplets inférieurs àx
etnksupérieurs strictement àx". De plus, siK f1;:::;ngvérifiejKj=k, P(8j2K;Xjxet8j =2K;Xj> x) =F(x)k(1F(x))nkne dépend pas deK, mais uniquement de son cardinalk. Puisqu"il y an k parties de cardinalk, on a finalement P(X(i)x) =Pn
k=in k F(x)k(1F(x))nk)
Pour trouver la densité, il ne reste plus qu"à dériver par rapport àx: f X(i)(x) =f(x)Pn
k=ikn k F(x)k1(1F(x))nk)f(x)Pn
k=i(nk)n k F(x)k(1F(x))nk1)
En utilisant les égalitéskn
k =nn1 k1 et(nk)n k =nn1 k il vient f X(i)(x) =nf(x)Pn
k=in1 k1 F(x)k1(1F(x))nk)nf(x)Pn
k=in1 k F(x)k(1F(x))nk1)
Il reste à effectuer un changement de variable dans la première sommej=k1et à simplifier pour
obtenir enfin : f X(i)(x) =nf(x)n1
i1 F(x)i1(1F(x))ni=in
i f(x)F(x)i1(1F(x))ni. Deux cas particuliers sont souvent regardés :
(1) Cas où les Xisont uniformes sur[0;1]. La densité dun-uplet(X(1);X(2);:::;X(n))est alors n!10Rappels
quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30
et de calculer la fonction de répartition deX(i): six2R, l"événementfX(i)xgest la réunion
(disjointe) pour tous leskides événements "Il y a exactementkéléments du n-uplets inférieurs àx
etnksupérieurs strictement àx". De plus, siK f1;:::;ngvérifiejKj=k, P(8j2K;Xjxet8j =2K;Xj> x) =F(x)k(1F(x))nkne dépend pas deK, mais uniquement de son cardinalk. Puisqu"il y an k parties de cardinalk, on a finalementP(X(i)x) =Pn
k=in kF(x)k(1F(x))nk)
Pour trouver la densité, il ne reste plus qu"à dériver par rapport àx: fX(i)(x) =f(x)Pn
k=ikn kF(x)k1(1F(x))nk)f(x)Pn
k=i(nk)n kF(x)k(1F(x))nk1)
En utilisant les égalitéskn
k =nn1 k1 et(nk)n k =nn1 k il vient fX(i)(x) =nf(x)Pn
k=in1 k1F(x)k1(1F(x))nk)nf(x)Pn
k=in1 kF(x)k(1F(x))nk1)
Il reste à effectuer un changement de variable dans la première sommej=k1et à simplifier pour
obtenir enfin : f