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Année 2018-2019

L2 ÉCONOMIEMODULE2 - OUTILSQUANTITATIFS

STATISTIQUES ETANALYSE DEDONNÉES1

Compléments de probabilités

et Statistique InférentielleJulie Scholler

Table des matières

1.1 Cadre et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Loi jointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Cas à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2 Caractérisations dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3 Caractérisations dans le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Vecteurs aléatoires à valeurs dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Loi jointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.2 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.4 Espérance et variance d"une somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.5 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Échantillon et statistique de l"échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Moyenne et variance empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Statistiques d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Cas particulier : loi mère gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Variance empirique corrigée et loi du Khi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3 Lien entre la moyenne empirique et la variance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Loi mère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Application fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Application à une loi mère de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Une approche intuitive : la méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Qualités d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Biais d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Erreur quadratique moyenne d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Estimateur convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Choix d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.1 Estimateur admissible au sens de l"erreur quadratique moyenne . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.2 Choix parmi les estimateurs sans biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Discussion autour de l"extension à un paramètre de dimensionk >1. . . . . . . . . . . . . . 42

1

TABLE DES MATIÈRES

A.1 Notation matricielle des vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.2 Loi de Gauss multivariée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

irons un peu plus loin dans l"étude simultanée de deux variables aléatoires, nous considèrerons également

le cas de variables aléatoires à densité et nous finirons par une généralisation aux vecteurs oun-uplets de

variables aléatoires. Ce sera l"occasion de revoir les règles de manipulation des espérances, des variances et

des covariances.

Toute situation probabiliste commence par une expérience aléatoire. Suite à une expérience aléatoire, on

note : •Ω: univers, ensemble de toutes les issues possibles; E : ensemble de tous les événements découlant deΩ; •P:E →R: loi de probabilité définie sur(Ω,E). Le triplet(Ω,E,P)est appelé espace probabilisé.

Sur un espace probabilisé, on peut définir des variables aléatoires réelles, c"est-à-dire des fonctions qui, à une

issue, associent un nombre réel.

SoitXune variable aléatoire réelle définie sur l"universΩmuni de la probabilitéP. On appelle support ou

univers image l"ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoireXet on note cet ensembleX(Ω).

•SiXest une variable aléatoire discrète, alors sa loi est donnée par l"applicationfX:X(Ω)→Rdéfinie

par : ?x?X(Ω), fX(x) :=P? [X=x]? =P(X=x).

SiXest une variable aléatoire à densité (ou continue), alors sa loi est donnée par sa densité que nous

Uncouple de variables aléatoiressur(Ω,E,P)est un couple(X,Y), oùXetYsont des variables aléatoires réelles sur(Ω,E,P).

Dans ce qui suit on désignera de façon générale par(X,Y)un couple de variables aléatoires. On ne considèrera

que des couples où les deux variables sont de même nature, discrètes ou continues, et on ne s"intéressera pas

au cas mixte. 1.

On lance deux dés à 6 faces (un jaune et un rouge). On considère les deux variables aléatoiresXetY

représentant respectivement le plus petit résultat et le plus grand résultat. Alors(X,Y)est un couple

fini tel queX(Ω) =J1;6KetY(Ω) =J1;6K. 2.

On choisit un étudiant de l"université de Tours au hasard. On considère les deux variables aléatoiresX

etYreprésentant respectivement sa taille et son poids. Alors(X,Y)est un couple de variables aléatoires

continues. On considère queX(Ω) =Y(Ω) =R?+. 3 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES {X=x} ∩ {Y=y}. Attention, cet événement peut être vide.

En effet, dans le premier exemple avec les dés, l"événement{X= 4,Y= 3}est impossible, même si les

On appellesupportouunivers imagedu couple(X,Y), noté(X,Y)(Ω), l"ensemble des valeurs prises par(X,Y): (X,Y)(Ω) :=??

X(ω),Y(ω)?

.Le support d"un couple peut être difficile à déterminer. Cependant il est inclus dansX(Ω)×Y(Ω). En effet on a : (X,Y)(Ω) :=??

X(ω),Y(ω)?

X(ω),Y(ω?)?

= (X×Y)(Ω) =X(Ω)×Y(Ω).

On se contentera donc de déterminerX(Ω)×Y(Ω)et de tenir compte des événements impossibles.

1.

Minimum et maximum de deux dés. On aX(Ω)×Y(Ω) =J1;6K2. Cependant l"ensemble des événements

qui peuvent se réaliser est(X,Y)(Ω) =? (i,j)?J1;6K2, i6j? 2.

T ailleet p oidsd"un étudian t.A priori il n"y a pas de restriction (X,Y)(Ω) =X(Ω)×Y(Ω) =?R?+?

2.

La fonction de répartition jointe est un instrument fondamental pour donner la probabilité d"une région

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires. On appellefonction de répartition jointede(X,Y), notéeF(X,Y)ouFX,Y, la fonction définie surR2par : Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes. On appelleloi du couple(X,Y)ouloi jointe des variables aléatoiresX etY, et on notef(X,Y), l"applicationf(X,Y):X(Ω)×Y(Ω)→[0,1] définie par ?x?X(Ω),?y?Y(Ω), f(X,Y)(x,y) =P? (X,Y) = (x,y)? =P? [X=x]∩[Y=y]? =P(X=x,Y=y).4 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES

XetYdésignent le plus petit et le plus grand résultat lors du lancer de deux dés équilibrés à6faces.

Par équiprobabilité, pour tous entiersietjdansJ1;6K, on a {X=i,Y=j}=? ?????sii > j ?(i,i)?sii=j ?(i,j),(j,i)?sii < jce qui entraîneP(X=i,Y=j) =? ??????0sii > j 136
sii=j 236

Donner la loi d"un couple(X,Y), c"est

•donnerX(Ω)×Y(Ω)(ou les valeurs(X,Y)(Ω)prises par(X,Y)); •puis pour tout couple(x,y)dansX(Ω)×Y(Ω)(ou(X,Y)(Ω)), donner la probabilité Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes. Alors 1 = (x,y)?(X,Y)(Ω)f (X,Y)(x,y) =? x?X(Ω),y?Y(Ω)P(X=x,Y=y) =? x?X(Ω)? y?Y(Ω)P(X=x,Y=y).

Vérifions cette formule dans l"exemple précédent du minimum et maximum de deux dés équilibrés lancés

successivement. (i,j)?J1,6K2P(X=i,Y=j) =6? i=1136

16i = 6×136 + 15×236

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires à densité. On appellefonction de densité de proba-

bilité jointela fonction positive ou nulle définie surR2notéef(X,Y)telle que F (X,Y)(x,y) =? y ?x -∞f(X,Y)(u,v) du? dv.

Lorsque l"on parlera d"un couple de variables aléatoires à densité, on supposera l"existence de cette fonction.

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires à densité. 1 = (x,y)?(X,Y)(Ω)f(X,Y)(x,y) dxdy=? -∞f(X,Y)(x,y) dx? dy 5 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES

On va s"intéresser au couple de variables aléatoires à densité(X,Y)dont la fonction de densité jointe est :

f(x,y) =1e-2yexy×1]0:1[2(x,y) =? ?1e-2yexysi0< x <1et0< y <1,

0sinon.

On a :

]0:1[

2yexydxdy=?

1 0y?1y exy?1 0 dy=? 1

0(ey-1) dy= [ey-y]1

0= (e-1)-(1-0) =e-2

Donc [0;1]

21e-2yexydxdy= 1.

Là où la fonction de répartitionF(X,Y)estC2, on af(X,Y)(x,y) =∂2F∂x∂y (x,y).

???? ??? ???????Si l"on s"intéresse à un événement surXquelle que soit la valeur prise parY, on retombe sur la loi de la

variable aléatoireXqui, dans le contexte du couple, est appelée loi marginale deX. Pour tout couple(X,Y)de variables aléatoires discrètes sur(Ω,E,P), on appelle

1.première loi marginale du couple(X,Y)l"applicationfX:X(Ω)→[0;1]définie par

?x?X(Ω), fX(x) =P(X=x).

2.deuxième loi marginale du couple(X,Y)l"applicationfY:Y(Ω)→[0;1]définie par

Les lois marginales du couple(X,Y)sont exactement les lois des variables aléatoiresXetY. Pour tout couple(X,Y)de variables aléatoires discrètes sur(Ω,E,P), 1. la première loi marginale du couple (X,Y)vérifie, pour toutxdansX(Ω),

P(X=x) =?

y?Y(Ω)P? [X=x]∩[Y=y]? y?Y(Ω)P? (X,Y) = (x,y)? 2. la deuxième loi marginale du c ouple(X,Y)vérifie, pour toutydansY(Ω),

P(Y=y) =?

x?X(Ω)P? [X=x]∩[Y=y]? x?X(Ω)P? (X,Y) = (x,y)? .6 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES Reprenons l"exemple des minimumXet maximumYlors du lancer de deux dés à6faces. ?i?J1;6K,P(X=i) =6? j=1P(X=i,Y=j) =P(X=i,Y=i) +6? j=i+1P(X=i,Y=j) 136
+6? j=i+1236 =1 + 2(6-i)36

On en déduit queP(X=i) =136

+6? j=i+1236 =13-2i36 la ligneX=iet à la colonneY=jestP(X=i,Y=j).

Pour obtenir la loi deX(respectivement deY), on fait la somme sur chaque ligne (respectivement colonne).

On considère une urne contenant une boule noire et deux boules blanches.

On tire successivement deux boules dans cette urne, soit avec remise, ce qui constituera un premier mode de

tirage, soit sans remise, ce qui constituera un deuxième mode de tirage.

On noteXla variable aléatoire égale à 0 si la première boule tirée est noire et à 1 si elle est blanche.

On noteYla variable aléatoire égale à 0 si la deuxième boule tirée est noire et à 1 si elle est blanche.

La loi du couple(X,Y)est donnée par le tableau suivant.

Tirage avec remiseH

HHHHHXY01loi deX01

92
91
3 12 94
92
3 loi deY1 32

31Tirage sans remise

H

HHHHHXY01loi deX001

31
3 11 31
32
3 loi deY1 32
31
On remarque que les lois marginales sont égales mais que la loi du couple est différente.

Il n"est pas possible d"obtenir la loi d"un couple à partir de ses marginales. Il manque la connaissance des lois

conditionnelles qui donnent des informations sur les dépendances entre les variablesXetY.

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires réelles à densité sur(Ω,E,P). On appellefonctions de

densité marginalesdes variablesXetY, notéesfXetfY, les fonctions deRdansRdéfinies par : f

X(x) =?

-∞f(X,Y)(x,y) dyetfY(y) =? -∞f(X,Y)(x,y) dx.7 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES la loi marginale deYen calculant sa densité marginale.

Soity?]0;1[.

On afY(y) =?

-∞1e-2yexy×1]0:1[2(x,y) dx=? 1

01e-2yexydx=1e-2y?1y

exy?1 0 =1e-2(ey-1).quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35