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Intégrales dépen-
dant d"un paramètreTrès souvent, la solution d"une équation différentielle aboutit au calcul d"une primitive :
F(x) =Z
b af(x,t)dt.Dans de nombreux cas, il n"y a pas de forme explicite pour cette primitive et il faut donc étudier la fonctionF(x)
telle qu"elle nous est donnée, c"est-à-dire sous la forme d"une intégrale, qui dépend du paramètrex. Dans ce chapitre
nous donnons des conditions afin que cette fonctionF(x)soit continue et dérivable. Le point-clé des démonstrations
sera la continuité uniforme. Nous appliquons ces méthodes à la transformation de Laplace et à celle de Fourier. Ne
vous lancez pas dans ce chapitre sans de solides bases d"analyse : révisez les chapitres sur les limites, la continuité, la
dérivabilité, et l"intégration.1. Continuité et dérivabilité d"une intégrale dépendant d"un para-
mètre1.1. Fonction définie par une intégrale
Soitf:(x,t)7!f(x,t)une fonction de deux variables,xett. Nous considéronsxcomme un paramètre ett2[a,b]
comme une variable d"intégration. Cela nous permet de définirF(x) =Z
b a f(x,t)dt.Unxétant fixé, pour queF(x)existe, il suffit que l"application partiellet7!f(x,t)soit continue sur[a,b]. Mais ceci
ne garantit pas la continuité de la fonctionF. Nous donnons des conditions suffisantes pour queFsoit continue, puis
dérivable.1.2. ContinuitéThéorème 1.
SoientIun intervalle deRetJ= [a,b]un intervalle fermé borné. Soitfune fonction continue surIJà valeurs
dansR(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I parF(x) =Z
b a f(x,t)dt est continue sur I.Exemple 1. SoitF(x) =Z
0 sin(x+t)ext2dt, définie pourx2I=R. La fonction(x,t)7!f(x,t) =sin(x+t)ext2est continue surR[0,], donc la fonction x7!F(x)est continue surR.INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2On calcule queF(0) =R
0sin(t)1dt=
cos (t) 0 =2. Même si on n"a pas de formule pourF(x)en général, on déduit de la continuité queF(x)!F(0) =2 lorsquex!0.Les démonstrations de cette section utilisent la continuité uniforme, qui fait l"objet de la section suivante.
Démonstration.
Soitx0un point deI. Quitte à restreindre l"intervalle en considérantI\[x0,x0+], on supposequeIest un intervalle fermé borné. Le théorème de Heine (théorème6 ) s"applique alors à la fonctionfsurIJ:
elle est donc uniformément continue. En particulier, pour tout >0, il existe >0 tel que,pour tout t2J,
jxx0j< =)f(x,t)f(x0,t)6ba.Dans ce cas,
F(x)F(x0)=
Z b a f(x,t)f(x0,t)dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)dt6(ba)ba=.
DoncFest continue enx0.1.3. Dérivabilité
Théorème 2.
Soient I un intervalle deRet J= [a,b]un intervalle fermé borné. On suppose que : (x,t)7!f(x,t)est une fonction continue sur IJ (à valeurs dansRouC), la dérivée partielle(x,t)7!@f@x(x,t)existe et est continue sur IJ. Alors la fonction F définie pour tout x2I par F(x) =Z b a f(x,t)dt est de classeC1sur I et :F0(x) =Z
ba@f@x(x,t)dt.On peut retenir l"abréviation mnémotechnique d"interversion dérivée/intégrale :
ddxZ b a =Z b a@@xExemple 2.
ÉtudionsF(x) =R1
0dtx2+t2pourx2]0,+1[. Posonsf(x,t) =1x
2+t2. Alors :
fest continue sur]0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2x(x2+t2)2est continue sur]0,+1[[0,1].On aura donc
F0(x) =Z
102x(x2+t2)2dt.
Pour cet exemple on peut calculer explicitementF(x):F(x) =1x
2Z 10dt1+tx
2=1x h arctantx i t=1 t=0=1x arctan1x 1x arctan1x =1x2arctan1x
1x311+x2.
Ce qui prouveZ
102x(x2+t2)2dt=1x
2arctan1x
1x(1+x2).
INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE3
Démonstration.Soitx02I. Pour simplifier l"écriture nous supposerons quex0n"est pas une extrémité deI. Nous
devons démontrer que, pour tout >0, il existe >0 tel que, pour toutx2[x0,x0+]etx6=x0:F(x)F(x0)xx0Z
b a@f@x(x0,t)dt 6.Écrivons :
F(x)F(x0)(xx0)Z
b a@f@x(x0,t)dt Z b f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t) dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t)dt.Par le théorème des accroissements finis, pour toutt2[a,b], il existex1strictement compris entrex0etxtel que
f(x,t)f(x0,t) = (xx0)@f@x(x1,t).Fixons >0tel que[x0,x0+]soit inclus dansI: la dérivée partielle@f=@xest uniformément continue sur
[x0,x0+][a,b], d"après le théorème de Heine (théorème6 ). Il existe donc >0tel que, pour toutxvérifiant
jxx0j< et pour tout t2[a,b],@f@x(x,t)@f@x(x0,t)6jxx0jba.
Il reste à intégrer par rapport àtentreaetb:F(x)F(x0)(xx0)Z b a@f@x(x0,t)dt 6Z b a jxx0jbadt=jxx0j, d"où le résultat en divisant parjxx0j.Exemple 3.Calculonsl"intégrale de Gauss:Z
+1 0 et2dt=p 2e t2Posons, pourx2I= [0,+1[:F(x) =Z
1 0e x2(t2+1)t2+1dt G(x) =Z
x 0 et2dt 2H(x) =F(x)+G(x)
1.Étude deF(x).
En posantf(x,t) =ex2(t2+1)t
2+1, on note que :
fest une fonction continue sur[0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2xex2(t2+1)est aussi continue.Donc, par le théorème
2 ,Fest continue, dérivable et F0(x) =Z
10@f@x(x,t)dt=2Z
1 0 xex2(t2+1)dt=2xex2Z1 0 ex2t2dt.INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE4
2.Étude deG(x).
Gn"est pas à proprement parler une intégrale dépendant d"un paramètre. Si on noteG0(x) =Rx
0et2dt,G0est
simplement une primitive dex7!ex2etG(x) =G0(x)2. CommeG00(x) =ex2(la dérivée d"une primitive est la
fonction elle-même), on a : G0(x) =ddxG0(x)2=2G0
0(x)G0(x) =2ex2Zx
0 et2dt=2xex2Z1 0 ex2u2duPour la dernière égalité, on a posé le changement de variablet=xu(et doncdt=xdu,u=txetuvarie de0à1
lorsquetvarie de 0 àx).3.Étude deH(x).
Par nos calculs précédents, on trouveH0(x) =F0(x)+G0(x) =0, pour toutx2[0,+1[. Cela veut dire que la
fonctionHest une fonction constante. OrH(0) =F(0)+G(0) =Z
1 01t2+1dt+0="
arctant 1 0=4DoncHest la fonction constante égale à4
4.Limite deH(x)en+1.
Lorsquex!+1, alorsG(x)!R+1
0et2dt
2.EtF(x)!0 car
F(x)= Z 1 0e x2(t2+1)t 2+1dt 6Z 1 0 ex2dt=ex2Z1 01dt=ex2!0.
DoncH(x) =F(x)+G(x)!R+1
0et2dt
2.5.Conclusion.
Hest une fonction constante :H(x) =4, sa limite en+1est donc aussi4. Mais on a calculé cette limite d"une
autre façon, ce qui prouve :Z+1 0 et2dt=squotesdbs_dbs24.pdfusesText_30