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Intégrales dépendant d"un paramètre

Plan du chapitre

I -Continuité des intégrales à paramètres...............................................................page 2

II -Dérivation des intégrales à paramètres..............................................................page 4III -Définition et étude de la fonctionΓ.................................................................page 7

c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr Dans ce chapitre, on va s"intéresser aux fonctions de la formeF:x?→? I f(x,t)dtoùfest une fonction de deux variables

et par exemple apprendre à dériver de telles fonctions. Il nefaut pas confondre avec une autre situation analysée en math

sup voire en terminale, les fonctions du typeF:x?→? x a f(t)dtoùfest une fonction d"une seule variable (qui est, quand fest continue, une primitive def).

Un problème se pose : nous allons le moment venudériverla fonction de deux variables(x,t)?→f(x,t)par rapport à la

variablex, ce qui n"a pas encore été étudié dans le cours de mathématiques (mais le sera dans le chapitre " fonctions de

plusieurs variables »). La théorie est délicate mais la pratique ne l"est pas. Dériver par rapport à la variablexla fonction

(x,t)?→f(x,t)consiste à fixer la variabletet à dériver la fonctiong:x?→f(x,t). Plus précisément, pour obtenir cette

dérivée partielle en(x0,t0), on fixetégal àt0et on calcule : lim x→x0f(x,t0) -f(x0,t0) x-x0=g?(x0).

En refaisant ensuite varier(x0,t0), le résultat obtenu contient les variablesxettet définit ainsi une fonction de deux

variables appelée dérivée partielle defpar rapport àxet notée∂f ∂x. Ainsi, pour tout(x,t), on a ∂f ∂x(x,t) =g?(x).

Par exemple, si pour tout(x,t)?R×]0,+∞[,f(x,t) =txe-t, alors pour tout(x,t)?R×]0,+∞[,∂f

∂x(x,t) = (lnt)txe-t et ∂f ∂t(x,t) =xtx-1e-t-txe-t= (x-t)tx-1e-t.

On prendra garde au fait que dans la notation

∂f ∂x(x,t), la lettrex, utilisée deux fois, ne désigne pas la même chose. Dans

∂x, elle indique la variable par rapport à laquelle on a dérivé et dans(x,t), elle précise en quel point on a évalué. Si on

évalue en(x0,t0), on obtient∂f

∂x(x0,t0)et non pas∂f∂x0(x0,t0). I - Continuité des intégrales à paramètres Théorème 1.(continuité des intégrales à paramètres)

SoientIetJdeux intervalles non vides deR. Soitf: (x,t)?→f(x,t)une fonction définie surJ×Ià valeurs dans

K=RouC. On suppose que

•pour chaquexdeJ, la fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux surI; •pour chaquetdeI, la fonctionx?→f(x,t)est continue surJ;

•il existe une fonction?, définie, continue par morceaux et intégrable surItelle que, pour chaque(x,t)?J×I,

|f(x,t)|??(t)(hypothèse de domination).

Alors, la fonctionF:x?→?

I f(x,t)dtest définie et continue surJ.

Démonstration.Soitx?J. La fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux surIet son module est majoré surIpar

la fonction?qui est continue par morceaux et intégrable surI. Donc, la fonctiont?→f(x,t)est intégrable surI. On en

déduit l"existence deF(x).

La fonctionFest donc définie surJ. Soita?J. Montrons queFest continue ena. Soit(xn)n?Nune suite d"éléments de

J, convergente, de limitea. Pourn?Nett?I, posonsgn(t) =f(xn,t). •chaque fonctiongn,n?N, est continue par morceaux surI;

•puisque pour chaquet?I, la fonctionx?→f(x,t)est continue surJet quexn→n→+∞a, on en déduit que pour

chaquet?I, la suite numérique(gn(t))converge versf(a,t)ou encore la suite de fonctions(gn)converge simplement

surIvers la fonctiont?→f(a,t). De plus, la fonctiont?→f(a,t)est continue par morceaux surI.

•Pour toutn?Net toutt?I,|gn(t)|=|f(xn,t)|??(t)où?est une fonction continue par morceaux et intégrable

surI. D"après le théorème de convergence dominée, la suite(F(xn))n?N=? I g n(t)dt? n?Nconverge et a pour limite I f(a,t)dt=F(a). c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr

On a montré que pour tout suite(xn)n?Nd"éléments deJ, convergente, de limitea, la suite(F(xn))n?Nconverge (et a

pour limiteF(a)). On sait alors que la fonctionFest continue ena. On a finalement montré que la fonctionFest continue surJ.

Exercice 1.Pourx?R, on poseF(x) =?

0 sin(xt)e-t2dt.

1)Montrer queFest définie surR.

2)Montrer queFest continue surR.

Solution 1.

1)Soitx?R. La fonctiont?→sin(xt)e-t2est continue sur[0,+∞[et est négligeable devant1

t2en+∞d"après un

théorème de croissances comparées. Donc, la fonctiont?→sin(xt)e-t2est intégrable sur[0,+∞[. On en déduit l"existence

deF(x).

On a montré queFest définie surR.

2)Pour(x,t)?R×[0,+∞[, posonsf(x,t) =sin(xt)e-t2de sorte que pour toutx?R,F(x) =?

0 f(x,t)dt. •pour chaquex?R, la fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux sur[0,+∞[; •pour chaquet?[0,+∞[, la fonctionx?→f(x,t)est continue surR;

•pour chaque(x,t)?R×[0,+∞[,|f(x,t)|=|sin(xt)|e-t2?e-t2=?(t). De plus, la fonction?est continue

par morceaux puis intégrable sur[0,+∞[car négligeable en+∞devant1 t2d"après un théorème de croissances comparées.

D"après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionFest continue surR.

Exercice 2.Pourx?1, on poseF(x) =?

0⎷x+cost dt.

1)Vérifier queFest bien définie sur[1,+∞[.

2)Montrer queFest continue sur[1,+∞[.

Solution 2.

1)Soitx?[1,+∞[. La fonctiont?→⎷

x+costest continue sur le segment[0,π](car pour tout réelt?[0,π], x+cost?1+cost?0). Donc, la fonctiont?→⎷ x+costest intégrable sur[0,π]. On en déduit l"existence deF(x). On a montré queFest bien définie sur[1,+∞[.

2)SoitA > 1. Pour(x,t)?[1,A]×[0,π], posonsf(x,t) =⎷

x+costde sorte que pour toutx?[1,A],F(x) =? 0 f(x,t)dt. •pour chaquex?[1,A], la fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux sur[0,π]; •pour chaquet?[0,π], la fonctionx?→f(x,t)est continue sur[1,A]; •pour chaque(x,t)?[1,A]×[0,π,|f(x,t)|=⎷ x+cost?⎷A+cost=?(t). De plus, la fonction?est continue sur le segment[0,π]et donc intégrable sur[0,π].

D"après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionFest continue sur[1,A]. Ceci étant étant vrai

pour toutA > 1, on a montré queFest continue sur[1,+∞[.

Le théorème 1 dit que limx→a?

I f(x,t)dt=? I limx→af(x,t)dtquandaest dans le domaine et en cas de continuité ena. Ce théorème se généralise au cas oùaest adhérent au domaine,aréel ou infini : c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr Théorème 2.(passage à la limite sous le signe somme)

SoientIetJdeux intervalles non vides deR. Soitf: (x,t)?→f(x,t)une fonction définie surJ×Ià valeurs dans

K=RouC. Soita, réel ou infini, adhérent àJ. On suppose que •pour chaquexdeJ, la fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux surI;

•pour chaquetdeI, la fonctionx?→f(x,t)a une limite?(t)quandxtend versaet de plus la fonction?

est continue par morceaux surI;

•il existe une fonction?, définie, continue par morceaux et intégrable surItelle que, pour chaque(x,t)?J×I,

|f(x,t)|??(t)(hypothèse de domination).

Alors, la fonctionF:x?→?

I f(x,t)dta une limite enaet limx→a? I f(x,t)dt=? I ?(t)dt=? I limx→af(x,t)dt.

Démonstration.

•Siaest réel, pour(x,t)?(J?{a})×I, posonsg(x,t) =?f(x,t)six?J ?(t)six=a. La fonctiongvérifie les hypothèses

du théorème 1 sur(J?{a})×I(les inégalités|f(a,t)|??(t)étant obtenues par passage à la limite quandxtend

versa). Donc la fonctionG:x?→? I f(x,t)dtest continue surJ?{a}et en particulier ena. Ceci montre que lim x→a? I f(x,t)dt=? I g(a,t)dt=? I ?(t)dt.

•Si par exemplea= +∞, on applique le résultat précédent à la fonction(x,t)?→f?1

x,t? en0à droite.

Exercice 3.Déterminer limx→+∞?

0 e-x2t2dt.

Solution 3.Soitx > 0. La fonctiont?→e-x2t2est continue sur[0,+∞[et négligeable en+∞devant1t2. Donc, la

fonctionF:x?→? 0 e-x2t2dtest définie sur]0,+∞[. Pour(x,t)?[1,+∞[×[0,+∞[, posonsf(x,t) =e-x2t2de sorte que pour toutx?1,F(x) =? 0 f(x,t)dt. •pour chaquexde[1,+∞[, la fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux sur[0,+∞[;

•pour chaquetde[0,+∞[, la fonctionx?→f(x,t)a une limite?(t) =0quandxtend vers+∞et de plus la fonction

?est continue par morceaux sur[0,+∞[;

•pour toutx?1,|f(x,t)|=e-x2t2?e-t2=?(t)où de plus la fonction?est continue par morceaux et intégrable

sur[0,+∞[.

On en déduit que la fonctionF:x?→?

0 e-x2t2dta une limite en+∞et que lim x→+∞? 0 e-x2t2dt=? 0 limx→+∞e-x2t2dt=? 0

0 dt=0.

c?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.fr II - Dérivation des intégrales à paramètres Théorème 3.(théorème de dérivation sous le signe somme ou théorème deLeibniz)

SoientIetJdeux intervalles non vides deR. Soitf: (x,t)?→f(x,t)une fonction définie surJ×Ià valeurs dans

K=RouC. On suppose que

pour chaquexdeJ, la fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux et intégrable surI.

On suppose de plus quefest pourvue surJ×Id"une dérivée partielle par rapport à sa première variablexvérifiant;

•pour chaquexdeJ, la fonctiont?→∂f

∂x(x,t)est continue par morceaux surI;

•pour chaquetdeI, la fonctionx?→∂f

∂x(x,t)est continue surI;

•il existe une fonction?1, définie, continue par morceaux et intégrable surItelle que, pour chaque(x,t)?J×I,????∂f

∂x(x,t)???? ??1(t)(hypothèse de domination).

Alors, la fonctionF:x?→?

I f(x,t)dtest de classeC1surJet sa dérivée s"obtient par dérivation sous le signe somme : ?x?J, F?(x) =?

I∂f

∂x(x,t)dt.

Démonstration.Puisque pour chaquexdeJ, la fonctiont?→f(x,t)est continue par morceaux et intégrable surI, la

fonctionFest définie surJ. Pour(x,t)?J×I, posonsg(x,t) =?????f(x,t) -f(a,t)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35