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David Renard
Centre de Mathématiques
Laurent Schwartz,
Ecole PolytechniqueGROUPES ET
REPRÉSENTATIONS
David Renard, Centre de Mathématiques, Laurent Schwartz,,
Ecole Polytechnique
21 juillet 2009
GROUPES ET REPRÉSENTATIONS
David Renard
Centre de Mathématiques
Laurent Schwartz,
Ecole Polytechnique
TABLE DES MATIÈRES
I. Groupes et actions de groupes.. .......................... 1 I.1. Un exemple fondamental et quelques définitions .. ..... ..... 1 I.2. Exemples de groupes et d"actions de groupes .. . . . . . . . . . . . . 8 I.3. Le groupe symétrique .. .................................... 11 I.4. Exercices .. ................................................ 16 II. Représentations linéaires des groupes finis.. ...... ...... 19 II.1. Représentations .. ........................................ 19 II.2. Opérations sur les représentations : sommes (directes), produits (tensoriels) et représentations duales .. ......... ......... 26 II.3. Coefficients matriciels et relations de Schur .. .............. 29 II.4. L"algèbre de convolutionF(G).. .......................... 31 II.5. Transformée de Fourier .. .................................. 35 II.6. L"algèbre des fonctions centrales .. ............ ............ 41 II.7. Application à la décomposition des représentations .. . . . . . . 47 II.8. Exercices .................................................. 50 III. Représentations induites.. ............... ............... 59 III.1. Construction des représentations induites .. ....... ....... 59 III.2. Réciprocité de Frobénius .. ............... ............... 61 III.3. Caractères des représentations induites .. . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III.4. Exercices .. .............................................. 64 iiTABLE DES MATIÈRES IV. Compléments d"algèbre.. ................................ 67 IV.1. Forme trace et radical d"une algèbre .. .................... 67 IV.2. Algèbres semi-simples .. .................................. 69 IV.3. Application à la théorie des représentations .. . . . . . . . . . . . . 75 V. Groupes compacts.......................................... 77 V.1. Groupes topologiques ...................................... 77 V.2. Mesure de Haar .. ........................................ 79 V.3. Représentations des groupes compacts .. ......... ......... 82 V.4. Exercices .. ................................................ 87 VI. Groupes et algèbres de Lie.. .............. .............. 89 VI.1. Le groupeGL(n,K)et son algèbre de Liegl(n,K).. ... ... 89 VI.2. L"application exponentielle .. .............. .............. 91 VI.3. Groupes linéaires .. ...................................... 95 VI.4.Ad,ad.. ................................................103 VI.5. Connexité et correspondance de Lie .. .......... ..........105 VI.6. Homomorphismes de groupes linéaires. Revêtements .. . . . . 113 VI.7. Représentations de dimension finie des groupes linéaires connexes VII. Représentations desl(2,C),SU(2), etSO(3).. . . . . . . . . 121 VII.1. Le revêtementSU(2)→SO(3).. ........... ........... 121 VII.2. Représentations desl(2,C).. ............................124 VII.3. Représentations de dimension finie deSL(2,R).. ........129 VIII. Et après?.. ............................................131 IX. Problèmes corrigés.. ......................................133 Bibliographie.. ................................................177
CHAPITRE I
GROUPES ET ACTIONS DE GROUPES
" Un principe directeur des mathématiques modernes tient en cette le- çon : lorsque vous avez affaire à une entitéSmunie d"une certaine struc- ture, essayez de déterminer son groupe d"automorphismes, le groupe des transformations de ses éléments qui préservent les relations structurales. Vous pouvez espérer gagner une profonde compréhension de la constitu- tion deSde cette manière."Hermann Weyl(1). Le but de ce chapitre est de rappeler les définitions et les résultats de base de la théorie des groupes, supposées déjà plus ou moins connues du lecteur, en en profitant pour introduire la terminologie et les notations employées par la suite. I.1. Un exemple fondamental et quelques définitions SoitXun ensemble. NotonsAut(X)l"ensemble des bijections deX dans lui-même. Cet ensemble est muni de la loi de composition des ap- plications : Traduit librement d"une traduction de l"allemand en anglais... j"espère que le sens général se sera conservé.
2CHAPITRE I. GROUPES ET ACTIONS DE GROUPES
La loi de composition est associative, c"est-à-dire que quels que soient
1,φ2etφ3dansAut(X),
(I.1.2)μ(μ(φ1,φ2),φ3) =μ(φ1,μ(φ2,φ3)), ou plus simplement(φ1◦φ2)◦φ3=φ1◦(φ2◦φ3). D"autre part, cette loi admet un élément neutre, l"identité deX, notée Id X: Enfin, tout élémentφdeAut(X)admet un inverse, c"est-à-dire un élément deAut(X), notéφ-1, vérifiant (I.1.4)φ◦φ-1=φ-1◦φ= IdX. Le lecteur instruit reconnaît là le fait queAut(X)est muni d"une structure de groupe. Pour les autres, nous rappelons la définition d"un groupe ci-dessous, qui consiste à prendre comme axiomes ces propriétés deAut(X), deμet deIdX. Remarquons que nous disposons aussi d"une application canonique L"applicationavérifie les propriétés suivantes : quels que soientφ1,φ2 dansAut(X)etxdansX, (I.1.6)a(μ(φ1,φ2),x) =a(φ1,a(φ2,x)), et de plus (I.1.7)a(IdX,x) =x. Autrement dit l"applicationadéfinit une action du groupeAut(X) surX. Donnons maintenant les définitions générales. Définition I.1.1. - Un groupe est un ensembleG, muni d"une loi appelée produit du groupe, et vérifiant : I.1. UN EXEMPLE FONDAMENTAL ET QUELQUES DÉFINITIONS3 (i)(associativité) quels que soientg,h,kdansG,
μ(μ(g,h),k) =μ(g,μ(h,k)),
(ou encore,(gh)k=g(hk)), (ii)(élément neutre) il existe un élémente=eGdeG, appelé l"élément neutre, tel que pour toutg?G,μ(g,e) =μ(e,g) =g(ou encorege= eg=g), (iii)(inverse) quelque soitg?G, il existe un élément deG, notég-1, tel queμ(g,g-1) =μ(g-1,g) =e(ou encoregg-1=g-1g=e). Remarque I.1.2. - On déduit facilement de ces axiomes l"unicité de l"élément neutre et de l"inverse d"un élément donné. SoitGun groupe, etXun ensemble. Une action (à gauche) deGsur
Xest la donnée d"une application
vérifiant : (I.1.10)(?g,h?G),(?x?X), a(μ(g,h),x) =a(g,a(h,x)). Lorsque l"action est notée par un "·", ceci s"écrit(gh)·x=g·(h·x), et de plus, (I.1.11)(?x?X), a(e,x) =e·x=x. Remarque I.1.3. - On peut exprimer les propriétés des applications μetaci-dessus sans faire référence aux éléments deGet deX, et sans utiliser de quantificateurs universels, simplement par des diagrammes commutatifs :
G×G×Gμ×IdG??Id
G×μ??G×G
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