Groupes sous-groupes ordre - e Math[PDF] rdm exercices corrigés pdf
[PDF] groupe helsinki
[PDF] cours de mesure electrique et electronique pdf
[PDF] exercice mesure electrique
[PDF] accumulateur au plomb corrigé
[PDF] mesure des angles d'un quadrilatère quelconque
[PDF] propriété trapèze
[PDF] cours rdm genie mecanique pdf
[PDF] cours rdm 2eme année genie civil pdf
[PDF] maquis nourriture
[PDF] arts visuels guernica cm2
[PDF] pleurocoque microscope
[PDF] cat devant une paraplegie pdf
[PDF] paraplégie sexologie
Université Paul SabatierToulouse
Préparation à l"Agrégation Année 2018-2019EXERCICES SUR LES GROUPES
Exercice 1. Groupes diédraux. SoitPnun polygone régulier du plan àncotés (représenté par exemple
par les racinesn-ièmes de l"unité dans le plan complexe). On noteDnle groupe (appelén-ième groupe diédral)
des isométriesdirectes et indirectesdu plan préservantPn. (1)Mon trerque Dnest d"ordre2n.
(2)Mon trerque le sous-group eD+nconstitué des isométries directes est cyclique d"ordren:D+n?Z/nZ.
(3) Dresser la listes d esclasse sde conjugaison dans Dn. Exercice 2. Groupe des quaternions.On noteH8le sous-groupe deGL2(C)(appelégroupe des quater- nions) engendré par les trois matricesI=?0 1
-1 0? , J=?0i i0? , K=?i0 0-i?Calculer l"ordre deH8, exhiber ses sous-groupes, ses sous-groupes distingués et ses quotients. Est-il isomorphe
au groupe diédralD4? Quel est le rapport avec le corps non commutatif des quaternions?Exercice 3. Groupes d"ordre 6.Montrer de façon élémentaire (aucun argument sophistiqué au-delà du
théorème de Lagrange) que tout groupe d"ordre 6 non cyclique est isomorphe au groupe symétriqueS3.
[Indication : on pourra montrer qu"un tel groupe contient un couple d"éléments d"ordre 2 et 3 ne commutant
pas.] Exercice 4. Signification de l"opération de conjugaison sur des exemples. (1) Soit pun projecteur d"un sous-espace vectorielFd"un espace vectorielEsur un supplémentaireG, etf?GL(E). Caractériser le conjuguéf◦p◦f-1. (2)Même question p ourune symétrie spar rapport à un sous-espace vectorielFd"un espace vectoriel
E, parallèlement à un supplémentaireG.
(3) Soit n?N,σ?Snet(a1···ak)unk-cycle deSn. Calculerσ(a1···ak)σ-1. (4) soit Gun groupe,EetFdeux sous-ensembles deG, etσ?G. Soitgun élément deGtel que gE?F. Quelle propriété vérifie son conjuguéσgσ-1? (5)In venterdes exos similaires...
Exercice 5. Exposant d"un groupe abélien et application. (1) Soit Gabélien eta,bd"ordres finis premiers entre eux. Montrer queordreab= ordrea·ordreb. (2) Soit Gun groupe abélien fini, et soitmle maximum parmi les ordres des éléments deG. Montrer que l"ordre de tout élément deGdivisem. (mest appelé l"exposantdeG). (3) Soit kun corps, etG?k?un sous-groupe fini du groupe multiplicatifk?. Montrer queGest cyclique. [Indication : on pourra considérer les racines du polynômeXm-1?k[X], oùmest l"exposant de G.] (4) Qu"en déduire p ourle group e(Z/pZ)?, oùpest premier? Et pour le groupeC??Exercice 6. Groupes abéliens infinis.
(1) Mon trerque (Z,+)n"est pas isomorphe à(Z2,+), et que(Q,+)n"est pas isomorphe à(Q2,+). (2) Mon trerque le group eab élien(Q,+)n"est pas de type fini. (3)Soit Gun sous-groupe de(C?,·)dont chaque élément est d"ordre fini. Est-il vrai queGest forcément
fini? et de type fini? (4) Mon trerque les sous-group esde (R,+)sont soit de la formeaZ, soit denses. (5)Que dire de Z[⎷2]? Que dire d"une fonction réellefcontinue, admettant1et⎷2pour périodes?
(6)Que dire des sou s-groupesde (C,+)?
Exercice 7. Une action bien utile.SoitGun groupe, etHun sous-groupe deGd"indice finin. On faitopérerGpar "translation" sur l"ensemble des classes à gaucheG/H, c"est-à direg·σH:= (gσ)Hpour tout
σ?G.
(1)(La clé de nom breuxexos) Mon trerque le no yaudu morphisme ρ:G→Bij(G/H)?Snassocié à
cette action est le plus gros sous-groupe deHdistingué dansG, et que de plus il est d"indice fini dansG. (2) Application 1. Mon trerqu"un group enon-ab éliend"ordre 6est isomorphe àS3. (3) Application 2. Soit Gun groupe infini, possédant deux sous-groupes d"indice finiHetK. Montrer qu"il y a un sous-groupe distingué dansGet d"indice fini, contenu dansHet dansK. (4) Application 3. Soit Gun groupe fini, etple plus petit facteur premier de son ordre. SoitHun sous-groupe d"indicepdansG. Montrer queHest distingué dansG. [N.B. Le casp= 2est bien plusélémentaire...]
Exercice 8. Centre d"un groupe; groupes d"ordrep2.SiGest un groupe, on peut faire agirGpar conjugaison sur lui même. (1)Mon trerque le cen treZ(G)deGest constitué des éléments dont l"orbite est réduite à un point.
(2) ( i)Si Gest unp-groupe (ppremier), montrer que le centre deGn"est pas réduit à{1}. (ii)Soit Gun groupe tel queG/Z(G)soit monogène. Montrer qu"alorsGest abélien (et donc en particulier le groupe monogèneG/Z(G)était en fait trivial). (iii)Mon trerqu"un gr ouped"ordre p2est nécessairement abélien. (3) Mon trerque le group edes matrices triangulaires sup érieuresunip otentes G=? (1? ? 0 1?