Structures alg´ebriques : groupes anneaux et corps

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Structures alg´ebriques : groupes anneaux et corps

UniversiteBlaisePascal

U.F.R.SciencesetTechnologies

DepartementdeMathematiquesetInformatique

LicencedeMathematiques

Troisiemeannee,U.E.35MATF2

ALGEBRE:GROUPESETANNEAUX1

Polycopieducours

2007-2008

FrancoisDumas

LicencedeMathematiques,3emeannee

U.E.35MATF2

Coursd'algebre:groupesetanneaux1

FrancoisDUMAS

Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

3.Morphismesdegroupes

4.Produitdirectdegroupes.

5.Groupessym

etriques

6.Groupesdi

edraux

Chapitre2.{Groupes:groupesquotients

1.Sous-groupesnormaux

3.Quelquescompl

ements

Chapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions

1.Anneauxetsous-anneaux

2.Id eaux

3.Anneauxquotients

4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux

1.Notionsg

en erales

2.Arithm

etiquedanslesanneauxprincipaux

3.Arithm

etiquedanslesanneauxfactoriels

4.Factorialit

edesanneauxdepolyn^omes

Chapitre1

Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

1.1Notiondegroupe

1.1.1D

1.1.2D

(A1)laloiestassociativedansG; (A2)laloiadmetunelementneutredansG;

1.1.3D

1.1.4Exemples.

abelien. 1 multiplicative. conventionsx0=e,etxn=(xn)1. quelconqueestnecessairementunique. pourconclurequeGestungroupe.

1.2Sous-groupe

1.2.2D

sontveriees: laquelleHestlui-m^emeungroupe. 2

1.2.3Exemples.

sous-groupedeU.

1.2.4Remarques.

sous-ensemblenon-vided'ungroupeG,alors groupeconnun'estpasunsous-groupe). sous-grouped'ungroupedejaconnu.

1.2.5Exemples.

sous-groupedeGL(E),noteSL(E). touteslesbijectionsdeRsurR. sous-groupedeG. 3 groupesd'ungroupeG.PosonsK=T quiprouvequeKestunsous-groupedeG.ut

1.3Casparticulierdesgroupesnis

1.3.1D

1.3.2Exemples.

1.3.3Th

eor estni,etl'ordredeHdivisel'ordredeG. xh donchi=hjdonci=j). diagonaleprincipale.

1.3.5Exemples.

4 11 111
111
1jj2 11jj2 jjj21 j2j21j 1i1i 11i1i ii1i1 11i1i ii1i1 (b)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=0110;b=1001;c=0110.

G1eabc

eeabc aabce bbcea cceab (c)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=1001;b=1001;c=1001.

G2eabc

eeabc aaecb bbcea ccbae

2;1;2;3gavec:

e=(123123); =(123231); abelien. d'ordre3quiestfe; 2g. e 2123
ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

2.1Sous-groupeengendreparunelement

2.1.1Propositionetd

deGcontenantX.

2.1.2D

hxi=fxm;m2Zg. x x 5 x

2.1.4D

d'entreeux.End'autrestermes: (xestd'ordrendansG),(xn=eetxm6=esi1m2.1.6Remarques. toutelementestd'ordrenidivisantjGj. estlui-m^emeinni. nietlegroupeh5i=f5m;m2Zgestinni.

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Groupes sous-groupes ordre - e Math

Éléments de théorie des groupes Solutions des exercices

Corrig¶e de la feuille d’exercices 1