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Maths PCSI CoursStructures alg´ebriques : groupes, anneaux etcorpsTable des mati`eres1 Groupes2 1.1 Lois de composition interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sous-groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Morphismes de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Anneaux5
2.1 Structure d"anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Sous-anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Morphismes d"anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Divisibilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Calculs dans les anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Corps8
3.1 Structure de corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Pour la suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
11 Groupes1.1 Lois de composition interne
Dfinition 1SoitEun ensemble. Uneloi de composition interne(LCI) surEest une applicationTdeE×EdansE,
not´ee g´en´eralement de fa¸con infixe : on ´ecritxT yplutˆot queT(x,y), lorsque (x,y)?E×E.Exemples 1•La somme surN,N?,Z,Q,R,C(mais pas surZ?,Q?,R?,C?).
•Le produit surN,N?,Z,Q,R,C... •La diff´erence surRouZ(mais pas surN). •La composition des applications surFF(applications deFdansF). •La loi?d´efinie surR2par(x1,y1)?(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2). •La loi?d´efinie surR2par(x1,y1)?(x2,y2) = (x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)(vous la reconnaissez?)•Les lois?,∩etΔ(r´eunion, intersection et diff´erence sym´etrique) d´efinies surP(F).Dfinition 2•Une LCITsurEsera diteassociativelorsque :
?x,y,z?E3,(xT y)T z=xT(y T z). •Une LCITsurEsera ditecommutativelorsque : ?x,y?E2, xT y=y T x. •SiTest une LCI associative surE,e?Eest unneutrepourTlorsque :?x?E, xT e=eT x=x.Proposition 1SiTest une LCI associative surEqui admet un neutre, alors ce neutre est unique. On
peut alors parler DU neutre deT.Preuve :On supposee1ete2neutres pourT, et on consid`eree1T e2...Exemples 2•La somme et le produit surC(donc sur ses sous-ensembles) est associative et commutative, et
admettent pour neutres respectifs0et1. •La diff´erence n"est ni associative ni commutative surR.•La loi◦(composition des fonctions deFdansF) est associative, mais n"est pas commutative (sauf si
Fest un singleton, auquel cas...). Elle admet un neutre, qui est l"applicationIdF.•Les lois?,∩etΔsurP(F)sont associatives et commutatives. Elles admettent pour neutres respectifs
∅,F, et∅. • ?et?sont associatives et commutatives surR2.•Vue comme LCI surN?,+n"admet pas d"´el´ement neutre.Exercice 1Montrer que les lois?et?surR2(cf exemples1) admettent chacune un neutre.Dfinition 3SiTest une LCI associative surEqui admet un neutreeetx?E, on dit quexadmet unsym´etrique pour
Ts"il existey?Etel quexT y=y T x=e.Proposition 2Dans la d´efinition pr´ec´edente, siyexiste, il est unique. On peut alors parler DU sym´e-
trique dexpourT. On le note g´en´eralementx-1.Preuve :Partir dey1T(xT y2) = (y1T x)T y2... 2 Remarques 1•On peut avoirxT y=eGsans avoiry T x=eG. On prendra par exempleE=NN,Tla loi◦de composition des fonctions,y:n?→n+ 1 etx:n?→Max(n-1,0). •Les lois not´ees.sont souvent "oubli´ees" dans l"´ecriture :x.ydevientxy.•Grˆace `a l"associativit´e, on s"autorise `a noterxT y T zla valeur commune de (xT y)T zetxT(y T z).
•Lorsque la loi est additive +, le sym´etrique est not´e-xet est appel´e "oppos´e". Lorsque la loi est
multiplicative., le sym´etrique est appel´e"inverse". On n"utilisera JAMAIS la notation1 x(sauf pour les complexes-r´eels-entiers), puisqu"alors la notationy xserait ambig¨ue dans le cas d"une loi multiplicative non commutative (ce qui sera la rˆegle en alg`ebre lin´eaire) : a priori,y·1 xet1x·ypeuvent ˆetre distincts...Exercice 2Sixetyadmettent un sym´etrique pour une loi?, montrer quex?yadmet ´egalement un
sym´etrique.1.2 Groupes Dfinition 4Ungroupeest un ensemble non vide muni d"une loi de composition interne (G,?) tels que : • ?est associative; • ?admet un neutreeG; •tout ´el´ement deGest sym´etrisable (admet un sym´etrique) pour?.Si?est commutative, on dit que (G,?) est commutatif, ou encoreab´elien.Exemples 3On fournit d"abord des exemples de groupes : dans les deux premiers cas et le dernier, il s"agit de groupes
ab´eliens. Les deux autres (comme la plupart des groupes fonctionnels) sont non commutatifs. •Z,Q,R,Cmunis de la somme. •Q?,R?,C?,U,Unmunis du produit. •L"ensemble des homoth´eties et translations du plan, muni de la loi◦. •L"ensemble des permutations (bijections) de[[1,n]]muni de la loi◦.•L"ensembleP(E)muni de la diff´erence sym´etriqueΔ.Exemples 4Pour diverses raisons (`a d´eterminer), les couples suivants ne sont pas des groupes :
•(N,+),(R,.). •(U,+). •(EE,◦).•(P(E),?),(P(E),∩).Exercice 3Montrer que(R2,?)et(R2\ {(0,0)},?)sont des groupes commutatifs.1.3 Sous-groupes
Dfinition 5Unsous-grouped"un groupe (G,?) est une partienon videHdeGtelle que : • ?induit surHune loi de composition interne. •Muni de cette loi,Hest un groupe.On note alors :H < G.Remarques 2•En pratique, pour montrer qu"une partie non videHdeGen constitue un sous-groupe, il suffit de
v´erifier : -eG?H; 3 -Hest stable par?; - pour toutx?H, le sym´etriquex, a priori dansG, est en fait dansH.•L"int´er`et principal de la remarque pr´ec´edente tient dans le fait que dans bien des cas, on peut montrer
que (H,?) est un groupe en montrant grˆace au crit`ere pr´ec´edent que c"est unsous-groupe d"un groupe
connu. Il est alors inutile de montrer l"associativit´e, la commutativit´e et mˆeme l"existence d"un neutre :
il n"y a que des VERIFICATIONS `a faire.Exemples 5•Pour la loi+, on a la "tour de groupe" (inclusions successives de sous-groupes/groupes) suivante :
{0}<1515ZOn verra en TD que ¸ca se passe moins bien pour lar´eunionde deux sous-groupes.Exercice 5On d´efinit l"ensemble :