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Rhodes Rémi 10 décembre 2008 - Middle East Technical University

Cours d"analyse 1ère année

Rhodes Rémi

10 décembre 2008

2

Table des matières

1 Propriétés des nombres réels 5

1.1 Sous-ensembles remarquables deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 L"ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Densité deQet deRnQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Suites réelles 11

2.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Fonctions réelles de la variable réelle 17

3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Fonctions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Limite et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7 Limites et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3

4TABLE DES MATIÈRES

4 Continuité des fonctions réelles de la variable réelle 23

4.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Dérivabilité 29

5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.4 Variations des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Fonctions trigonométriques et hyperboliques 37

6.1 Fonctions circulaires directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Chapitre 1

Propriétés des nombres réels

1.1 Sous-ensembles remarquables deR

Dans la suite, on note

N=fentiers positifsg=f0;1;2;:::g

Z=fentiers relatifsg=N[(N)

Q=fnombres rationnelsg=fpq

;p2Z;q2Ng

R=fnombres réelsg

1.2 Relations d"ordre

Définition 1.SoientE;Fdeux ensembles non vides. Une relation binaireRdeEversFest définie par une partieG(appelée graphe de la relation) deEF. Si(x;y)2 G, on dit quexest en relation avecyet on notexRy. Définition 2.SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRdeEversEest dite : - réflexive si8x2E,xRx, - antisymétrique si pour tousxetydansE: (xRyetyRx))x=y, - transitive si pour tousx;y;zdansE: (xRyetyRz))xRz. Définition 3.Une relation d"ordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive. LorsqueEest munie d"une relation d"ordreR, on dit que(E;R)est un ensemble ordonné.

Exemples :

- SiE=N;Z;QouR, la relationest une relation d"ordre. - L"ordre lexicographique est une relation d"ordre sur l"ensemble des mots. - SoitEun ensemble non vide. La relationest une relation d"ordre sur les sous-ensembles deE.

Exercices :

- Montrer que la relation6CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS - SoitE=N. Pourx;y2Eon notexjysixdivisey. Montrer quejest une relation d"ordre surE. Définition 4.Soit(E;R)un ensemble ordonné. Si pour tousxetydansE, on axRyouyRx, on dit que(E;R)est totalement ordonné.

Exemples :

-E=N;Z;QouRmuni deest une totalement ordonné. - L"ensemble des mots muni de l"ordre lexicographique est une ensemble totalement ordonné.

Définition 5.Un préordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive et transi-

tive. Proposition 1.L"ordresurRest compatible avec l"addition et la multiplication : pour tous x

1;x2;y1;y2

(x1x2ety1y2))x1+y1x2+y2 (x1x2et0y1))x1y1x2y1:

1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure

Définition 6.Soit(E;)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx2E est appelé majorant deAsi pour touta2A, on aax. De même, un élémentx2Eest appelé minorant deAsi pour touta2A, on axa. Dans le cas où l"ensembleAadmet un majorant

(resp. minorant), on dit queAest majoré (resp. minoré). SiAest majoré et minoré, on dit qu"il

est borné. Exemple : le sous-ensemble] 1;1]deRest majoré et non minoré. Définition 7.Soit(E;)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx2E est appelé plus grand élément deAsix2Aetxest un majorant deA. De même, un élément x2Eest appelé plus petit élément deAsix2Aetxest un minorant deA.

Exercices :

- Montrer que]1;2]est borné, admet un pge mais pas de ppe. - Montrer quef1=n;n2Ngest borné, admet une pge mais pas de ppe. - SoitAun sous-ensemble deR. Montrer queAmajorée est équivalent àfa;a2Agest minoré. Proposition 2.SoitAun sous-ensemble d"un ensemble(E;)ordonné. SiAadmet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique. Preuve.Soientx;ydeux plus grands éléments. Commey2Aetxpge on ayx. De même, x2Aetypge donnexy. Par antisymétrie de la relation, on axyetyximplique x=y.Théorème 1.On munitNde la relation d"ordre usuelle. Alors :

1) Tout sous-ensemble non vide deNadmet un plus petit élément.

2) Tout sous-ensemble non vide et majorée deNadmet un plus grand élément.

1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE7

Définition 8.SoitAun sous-ensemble majoré d"un ensemble(E;)ordonné. Un élémentx2 Eest appelé borne supérieure deAsixest le plus petit des majorants deA. Ainsi, la borne

supérieure notéesup(A), si elle existe, est unique. De même, soitAun sous-ensemble minoré

d"un ensemble(E;)ordonné. Un élémentx2Eest appelé borne inférieure deAsixest le plus grand des minorants deA. La borne inférieure notéeinf(A), si elle existe, est unique. Exercice : on considère l"ensemble ordonné(Q;). Montrer que l"ensembleA=fx2Q;x2<

2gest borné mais n"admet pas de borne supérieure.

Proposition 3.Soient(E;)un ensemble ordonné,Aun sous-ensemble deEetx2E. Alors : xpge deA)x= sup(A))xest majorant deA; xppe deA)x= inf(A))xest minorant deA: Preuve.Sixpge deAalorsx2Aetxmajorant deA. Soityun autre majorant deA.ymajorant etx2Aimplquexy. Doncxest le plus petit des majorants deA, d"oùx= sup(A). De plus

x= sup(A)impliquexmajorant deA.Théorème 2.SoitAun sous-ensemble non vide deRmuni de la relation d"ordre usuelle.

1) SiAest majoré alorsAadmet une borne supérieure.

2) SiAest minoré alors la borne inférieure deAexiste.

Preuve.Admise pour le moment.Proposition 4.SoitAun sous-ensemble non vide et majoré deRmuni de la relation d"ordre

usuelle. On ax= sup(A)ssi :

1) pour touta2A,ax,

2) pour tout >0, il existea2Atel quex < ax.

De même, soitAun sous-ensemble non vide et minoré deRmuni de la relation d"ordre usuelle.

On ax= inf(A)ssi :

1) pour touta2A,xa,

2) pour tout >0, il existea2Atel quexa< x+.

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