Quand on multiplie deux suites qui divergent, la suite résultat diverge elle aussi. Même chose quand une suite divergente est multipliée avec une suite convergente dont la limite est non-nulle.
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ECE1-B2015-2016CH VI : Convergence des suites réelles2)On en déduit que :8n>n0;jun`j=jjjun`j
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ECE1-B2015-2016CH VI : Convergence des suites réelles
I. Suites réelles convergentes
I.1. Définitions
DéfinitionSuites réelles convergentes
Soit`2Run nombre réel (fini).
La suite(un)converge vers`(ou admet la limite`/ ou tend vers`)quandntend vers+1si :8" >0;9n02N;8n2N;(n>n0) jun`j< ")Par abus de langage, on omettra de préciser " quandntend vers+1».
Lorsque(un)converge vers`, on note :lim
n!+1un=`ou encoreu n!n!+1`Énonçons cette propriété sous forme de phrase mathématique : " quelque soit la précision"(>0) choisie, on peut trouver un rang à partir duquel les éléments de la suite ne s"écartent pas de`de plus de"» Note La notation "" >0» est une abréviation de ""2R+».I.2. Représentation graphique On considère(un)une suite convergeant vers le réel`= 2. On dispose de la représentation graphique des premiers termes de la suite et on cherche à représenter la notion de convergence sur ce graphique.1)Si on choisit une précision"1=32
a)Enconsidérant(un)commeunefonction : `= 2" 1" 1`+32 `32 La propriété de convergence énonce que pour cette précision"1=32 donnée, il existe un rangn12N(icin1= 2) tel que :8n>n1;jun`j< "1
Graphiquement, cela signifie qu"à partir du rangn1= 2, tous les éléments de la suite(un)sont situés dans la bande rouge. b)Enconsidérantlapositiondeséléments(un)surladroiteréelle : 1"1`+32`32
À partir du rangn1= 2, tous les éléments de la suite(un)sont situés dans l"intervalle]`32 ;`+32 [. Autrement dit, l"intervalle]`32 ;`+32 contient tous les termes de(un)sauf les deux premiers (u0etu1).1 ECE1-B2015-20162)Si on choisit une précision"2= 1a)Enconsidérant(un)commeunefonction : `= 2" 2"2`+ 1`1La propriété de convergence énonce que pour cette précision"2= 1
donnée, il existe un rangn22N(icin2= 4) tel que :8n>n2;jun`j< "2
Graphiquement, cela signifie qu"à partir du rangn2= 4, tous les éléments de la suite(un)sont situés dans la bande verte. b)Enconsidérantlapositiondeséléments(un)surladroiteréelle : 2"2`+ 1`1À partir du rangn2= 4, tous les éléments de la suite(un)sont situés
dans l"intervalle]`1;`+1[. Autrement dit, l"intervalle]`1;`+1[ contient tous les termes de(un)sauf un nombre fini d"entre eux (u0, u1, etu3en l"occurrence).3)Si on choisit une précision"3=12
a)Enconsidérant(un)commeunefonction : `= 2" 3" 3`+12 `12 La propriété de convergence énonce que pour cette précision"3=12 donnée, il existe un rangn32N(icin3= 7) tel que :8n>n3;jun`j< "3
Graphiquement, cela signifie qu"à partir du rangn3= 7, tous les éléments de la suite(un)sont situés dans la bande bleue. b)Enconsidérantlapositiondeséléments(un)surladroiteréelle : 3"3`+12`12
À partir du rangn3= 7, tous les éléments de la suite(un)sont situés dans l"intervalle]`12 ;`+12 [. Autrement dit, l"intervalle]`12 ;`+12 contient tous les termes de(un)sauf un nombre fini d"entre eux (u0, u1,u3,u5etu6en l"occurrence).2
ECE1-B2015-2016Exemple
Une suite constante est convergente.
Une suite stationnaire est convergente.
La suite1n
n2Ntend vers0. (à partir de quel rang peut-on assurer une précision de108?)La suite
1 +1n n2Ntend vers1.DéfinitionDes définitions équivalentes
1)(un)converge vers`2Rsi tout intervalle ouvert contenant`contient
tous les termes de la suite(un)sauf un nombre fini d"entre eux. (c"est la définition donnée par le programme officiel)2)(un)converge vers`2Rsi :8" >0;9n02N;8n>n0;jun`j< "(avec l"abus de notation "8n>n0»)
Proposition 1.
Soit(un)une suite réelle et`2R.(un)converge vers la limite`,(un`)converge vers0Démonstration. (un`)converge vers08" >0;9n02N;8n>n0;j(un`)0j< "
(un)converge vers`On ne parlera pas de la limite d"une suite(un)si on n"a pas prouvé au préalable que(un)était convergente.ExerciceSoit(un)une suite tendant vers une limite` >0.
Démontrer que :9n02N;8n>n0; un>0.
La démonstration tient dans le dessin suivant.`0"" `+"`"On choisit"de sorte que :`"2]0;`[. Par exemple :"=`02 =`2I.3. Suites réelles divergentes
DéfinitionSuites réelles divergentes
Une suite réelle(un)sera ditedivergentesi elle n"est pas convergente. Autrement dit,(un)est divergente s"il n"existe pas d"éléments`2Rtel que(un)converge vers`. Les " suites convergeant vers+1(ou1) » (dont on verra la définition plus loin) sont des suites divergentes.Exemple La suite((1)n)est divergente. Notons(un)cette suite. Alors : tous les termesumdont l"indicemest pair sont tels que :um= 1. Ces termes sont situés dans toute bande centrée en1. tous les termesupdont l"indicepest pair sont tels que :up=1. Ces termes sont situés dans toute bande centrée en1.11Il n"y a pas de`2Rtel que toute bande centrée en`contienne (à partir
d"un certain rang) à la fois les termes d"indice pair et d"indice impair.3 ECE1-B2015-2016I.4. Propriétés des suites convergentesThéorème 1.(Unicité de la limite)
Soit(un)une suite réelle.u
n!`12R u n!`22R) )`1=`2Autrement dit, si une suite(un)admet une limite`2R, celle-ci est unique.Démonstration.
Par l"absurde, supposonsun!`12R,un!`22RetNON(`1=`2). Comme`16=`2, on peut supposer (quitte à renommer ces limites)`2> `1.Soit"=`2`13
(ce choix est guidé par le dessin ci-après : il faut faire en sorte que les inter- valles bleus et rouges ne s"intersectent pas)1)Commeun!`1, il existe un rangn12Nà partir duquel :jun`1j< ".
2)Commeun!`2, il existe un rangn22Nà partir duquel :jun`2j< ".
Cette situation est résumée par la représentation graphique ci-après.` 1` 2"" 1+"` 1""" 2+"`2"NotonsN= max(n1;n2).
À partir du rangN, tous les termes de(un)sont dans l"intervalle rouge. À partir du rangN, tous les termes de(un)sont dans l"intervalle bleu.Impossible!Remarque
Ce théorème permet de justifier (après coup!) la notationlimn!+1un, quin"a de sens que par unicité de la limite.Le programme officiel précise " [qu"] aucune démonstration concer-
nant les résultats [du chapitre convergence] n"est exigible ». Ce type de démonstration, dite " avec les"», est de ce fait consi- déré comme très technique. Par contre, il faut savoir faire le dessin, affirmer que tous les termes (sauf un nombre fini d"entre eux) de la suite(un)sont dans l"intervalle rouge, mais aussi dans le bleu et aboutir ainsi à une contradiction.Théorème 2.Soit(un)une suite réelle.(un)convergente)(un)bornéeAutrement dit, toute suite convergente est bornée.