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Le Mans Université

Solutions aux exercices TD

L2 Économie-Gestion

Théorie de la croissance

François Langot

Jhon Jair González

Novembre, 2019

Exercice 1 et 2

Note:Les exercices 1 et 2 sont une variation de l"exercice 3. Pour trouver la solution de l"exercice 1 il faut

prendre en considération la solution présentée pour l"exercice 3 et fixern=x= 0. Pour trouver la solution de

l"exercice 2 il faut prendre en considération la solution présentée pour l"exercice 3 et fixerx= 0.

Exercice 3

Soit le modèle de croissance économique de Solow avec progrès technique et croissance de la population. Utiliser

la fonction de production Cobb-DouglasF(K,L) =AtK1-αtLαt,kt=KtL t, oùLt=L0entetAt=A0extavecx désignant le taux de croissance de la productivité etnle taux de croissance de la population.

Question 1

Trouver le taux de croissance du produit, de la consommation et du capital D"abord, il faut exprimer toutes les variables en unités de travail efficace. Y t=AtK1-αtLαt=A0extK1-αt? L

0ent?α=A0K1-αtexαα

t? L

0ent?α

=A0K1-αt? L

0e(n+xα

)t E tmesure les unités de travail efficace.˜kt=KtE t.

On sait que

Y t=Ct+It K t+1=It+ (1-δ)Kt Y t=Ct+Kt+1-(1-δ)Kt=Ct+Kt+δKt où l"on note

Kt=Kt+1-Kt=∂Kt∂t

. Le taux de croissance du capital est alorsKtK t=γk. Y tE t=CtE t+KtE t+δKtE t→˜yt= ˜ct+KtE t+δ˜ktIl faut trouverKtE t?

Le Mans Université (Gains-TEPP) & Institut Universitaire de France & Paris School of Economics & Cepremap (ENS-Paris)

†Le Mans Université (Gains-TEPP) 1 ∂(Kt/Et)∂t =1E tKt-KtE t EtE t=KtE t-˜kt? n+xα

˜kt=KtE

t-˜kt? n+xα

En remplaçant

KtE t

˜yt= ˜ct+˜kt+˜kt?

n+xα +δ˜kt

˜ct=f(˜kt)-sf(˜kt)

˜yt=f(˜kt)-sf(˜kt) +˜kt+˜kt?

n+xα +δ˜kt

˜kt=sf(˜kt)-˜kt?

δ+n+xα

La dynamique du capital

˜kt˜

kt=sf(˜kt)˜ kt-?

δ+n+xα

Le taux de croissance du capital

Pour trouver le taux de croissance du produit (γY), de la consommation (γC) et du capital (γK) on utilise

la fonction de production: log(Yt) =log(A0) + (1-α)log(Kt) +αlog(Et) =log(A0) + (1-α)log(Kt) +αlog? L 0e? n+xα t? =log(A0) + (1-α)log(Kt) +αlog(L0) +α? n+xα t ∂log(Yt)∂t = (1-α)∂log(Kt)∂t n+xα

Y= (1-α)γK+α?

n+xα

Il faut trouverγK→

On a, par définition, une expression pour

˜kt˜

kt=Kt˜ ktEt-? n+xα On cherche à trouver les taux de croissance associés à l"état stationnaire (

˜kt= 0)→

KtE t=˜kt? n+xα

Kt=EtKtE

t? n+xα KtK t=? n+xα =γKLe taux de croissance du capital En remplaçantγKdans l"expression de deγY, on déduit→

Y= (1-α)?

n+xα n+xα Y=? n+xα

Le taux de croissance de la production

Pour trouver le taux de croissance de la consommationγC→ C t=Yt-St C t=Yt-sYt ∂log(Ct)∂t = (1-α)γK+α? n+xα C=? n+xα

Le taux de croissance de la consommation

Y=γC=γK

Question 2

Trouver le niveau de capital qui maximise la consommation à l"état stationnaire max

˜ktRO?

C?t=f(˜kt)-sf(˜kt) =f(˜kt)-˜kt?

n+δ+xα où˜ktROest le niveau deKtde règle d"or ∂C ?t∂

˜ktRO=f?(˜kt)-?

n+δ+xα = 0

Question 3

Trouver

˜kt?, et˜ktRO

On sait quef(˜kt) =A0˜kt1-αet imposant˜kt= 0à l"état stationnaire 3

˜kt=sf(˜kt)-˜kt?

δ+n+xα

= 0 kt?=?sA0δ+n+xα 1α ktRO=?1-αδ+n+xα 1α

Exercice 4

Soit le modèle de croissance endogène avecYt=AKt. Supposer qu"il y a une croissance de la population

n:Lt=L0entoùnest le taux de croissance de la population.

Question 1

Trouver une expression qui représente l"état stationnaire dekt D"abord il faut exprimer les variables par tête,kt=KtL t Y tL t=AKtL t=akt KtL t=Kt+1-KtL t=ItL t-δKtL t KtL t=it-δkt

Il faut trouver

KtL t→ kt=KtL t-ktn kt+ktn=it-δkt

Prendre en compte que:

I t=St kt+nkt+δkt=f(kt)-(1-s)f(kt) ktk t=sf(kt)k t-(δ+n) ktk t=sAktk t-(δ+n) ktk t=sA-(δ+n) 4

Question 2

Trouver que le taux de croissance du capital est égal au taux de croissance du produit ∂log(Yt)∂t =∂log(A)∂t +∂log(Kt)∂t

Y=γK

Question 3

Faire un graphique qui représente l"évolution du taux de croissance du capital00.20.40.60.8100.20.40.60.81

k tf(kt)/ktsA δ+nNote: la graphique est basé sur des valeurs hypothétiques.

Exercice 5

Réviser les notes du cours

Exercice 6

Cet exercice est une variation de l"exercice 7. Vous pouvez trouver une solution en fixantEt= 0,Ht=Ht+1= 1,

β= 0.

Exercice 7

Soit le modèle de capital humain à la Mankiw, Romer and Weil (1992): •Épargne financièreIt=skYt •EducationEt=shYt •Accumulation du capital physique:Kt+1=It+ (1-δ)Kt •Accumulation du capital humain:Ht+1= (1-δ)Ht+Et •Fonction de production:Yt=KαtHβ t(XtLt)1-α-β •Croissance de la populationLt+1= (1 +n)Lt •Croissance des connaissancesXt+1= (1 +g)Xt 5

Question 1

Trouver le niveau de capital physiquektet le niveau de capital humainhtassociés à l"état stationnaire.

D"abord nous devons exprimer les variables en variables par "tête efficace"→kt=KtX tLt K t+1=It+ (1-δ)Kt =skYt+ (1-δ)Kt =skKαtHβ t(XtLt)1-α-β+ (1-δ)Kt K t+1X tLtX t+1Lt+1X t+1Lt+1=skKαtHβ t(XtLt)1-α-βX tLt+ (1-δ)KtX tLt k t+1(1 +g)(1 +n) =skkαthβ t+ (1-δ)kt k t+1(1 +g+n) =skkαthβ t+ (1-δ)kt Il faut suivre le même processus pourHt+1→ H t+1X tLtX t+1Lt+1X t+1Lt+1=shKαtHβ t(XtLt)1-α-βX tLt+ (1-δ)HtX tLt h t+1(1 +g)(1 +n) =shkαthβ t+ (1-δ)ht h t+1(1 +g+n) =shkαthβ t+ (1-δ)ht À l"état stationnaire:limt→∞kt=ketlimt→∞ht=h→ k(δ+g+n) =skkαhβ(1) h(δ+g+n) =shkαhβ(2) y=kαhβ(3) (1)/(2)→ k=sks hh

En remplaçant en(3)→

y=?sks h?

αhα+β→

h(δ+g+n) =sh?sks h?

αhα+β

h ?=?s1-α hsαkn+δ+g?

11-α-β

k ?=?sβ hs1-β kn+δ+g?

11-α-β

Question 2

Trouver l"évolution de la richesse par tête˜yt=YtL t→ En remplaçantk?eth?dans la fonction de production, on peut obtenir l"expression suivante: y=?s1-α hsαkn+δ+g?

β1-α-β?sβ

hs1-β kn+δ+g?

α1-α-β

En appliquant le log, on obteint

log(y) =α1-α-βlog(sk) +β1-α-βlog(sh)-α+β1-α-βlog(δ+n+g)

Maintenant, il faut trouver˜yt=YtL

t→ Y tL t=KαtHβ t(XtLt)1-α-βL t

˜yt=?KtL

α?HtL

t? X

1-α-β

˜yt=?KtX

tLt?

α?HtX

tLt? X t log(˜yt) =αlog(kt) +βlog(ht) +log(Xt)

En considérant queXt= (1 +g)tX0→

log(˜yt) =αlog(kt) +βlog(ht) +gt+log(X0)

En considérantk?eth?→

log(˜yt) =gt+log(X0) +α1-α-βlog(sk) +β1-α-βlog(sh)-α+β1-α-βlog(δ+n+g)

Question 3

Calculer la vitesse de la convergence

On va montrer que

y t+1-yt=-λ(yt-y)avecλ= (n+g+δ)(1-α-β)

Donc, on va définir les fonctions suivants:

k t+1=F(kt,ht) h t+1=G(kt,ht) On fait une approximation de la fonctionF(kt,ht)etG(kt,ht)autour dekethpour avoir une fonction linéaire (développement de Taylor à l"ordre 1)→ k t+1=F(k,h) +F?k(k,h)(kt-k) +F?h(k,h)(ht-h) k t+1=k+F?k(k,h)(kt-k) +F?h(k,h)(ht-h) k t+1-kk =F?k(k,h)(kt-k)k +F?h(k,h)(ht-h)k hh 7 h t+1=G(k,h) +G?k(k,h)(kt-k) +G?h(k,h)(ht-h) h t+1-hh =G?k(k,h)(kt-k)h kk +G?h(k,h)(ht-h)h y t=y+ (αk-1y)(kt-k) + (βh-1y)(ht-h) y t-yy =α(kt-k)k +β(ht-h)h y t+1-yy =α(kt+1-k)k +β(ht+1-h)h

On a trouvé les expressions pour

(kt+1-k)k et(ht+1-h)h y t+1-yy F ?k(k,h)(kt-k)k +F?h(k,h)(ht-h)k hh G ?k(k,h)(kt-k)h kk +G?h(k,h)(ht-h)h (4) En tenant en compte les valeurs associées à l"état stationnaire et que kquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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