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![leçon 08 : nombres complexes et géométrie du plan - Roi des Rois leçon 08 : nombres complexes et géométrie du plan - Roi des Rois](https://pdfprof.com/Listes/17/60240-17Nbres_complexes_et_transf_du_plan_TleD.pdf.pdf.jpg)
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ÉCOLE NUMÉRIQUE
LEÇON 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN Vous avez vu cette année un nouvel ensemble de nombres qui puissants outils pour démontrer certaines propriétés LEÇON : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLANPlan du cours
I. Nombres complexes et géométrie
II. Configurations du plan et nombres complexes
III. Ecritures complexes et transformations du planIV. Similitude directe
V. Reconnaitre une similitude directe définie par son écriture complexe son centre, son rapport et son angle. son centre, son rapport et son angle. VIII. Similitude directe définie par deux points distincts et leurs images IX. Similitude directe définie par son centre, un point et son imageTerminale D
Mathématiques
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2. RESUME DE COURS
Dans toute cette leçon, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.I. Nombres complexes et géométrie
Propriété
Az Bz Cz et ZD tels queExercice
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.Solution
AzCalculons ௭ಲି௭ಳ
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Posons Aݎ݃ቀଵ
On a ቐ
. Donc ߙPropriété
Az Bz Cz et ݖ tels queExercice
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. - et െͳെ݅ξ͵2) Déduis-en que : AB = BC.
Solution
1) On a :
Bz CzPage 4 sur 29
= 1 et par suite AB = BC.II. Configurations du plan et nombres complexes
1) Droites parallèles
Propriété:
Az Bz Cz et ݖ tels que :A് B et C് D.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si ௭ಲି௭ಳExercice
1) Trace les droites (AD) et (BC).
2) Démontre que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Solution
1)2) On a :
AzCalculons : ௭ವି௭ಲ
- 3 ߳ԹכPage 5 sur 29
2) Alignements de trois points
Propriété:
A, B et C sont des points - A ് - ് d'affixes respectives Az Bz et Cz Les points distincts A, B, et C sont alignés si et seulement si ௭ಲି௭ಳExercice
Démontre que les points A, B et C sont alignés.Page 6 sur 29
Solution
On a :
AzCalculons : ௭ಲି௭ಳ
3) Droites perpendiculaires
Propriété
A, B, C et D sont des points d'affixes respectives Az Bz Cz et Dz tels que : A് B et C് D. Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si ௭ಲି௭ಳExercice
1) Trace les droites (AH) et (BC).
2) Démontre que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
Solution
1)Page 7 sur 29
2) On a :
Az ് H et zB ് C donc A് H et C് B.Calculons ௭ಳି௭
4) Points cocycliques
Propriété
A, B, C et D sont des points deux à deux distincts et non alignés d'affixes respectives Az Bz Cz et Dz A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si ௭ି௭ಲExercice
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A,
a) Place les points A, B, C et D dans le repère. b) Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques.Page 8 sur 29
Solution
a)b)On a : ݖ്ݖ et ݖ്ݖ . Calculons ௭ವି௭ಲ
௭ಳି௭ಲ et ௭ವି௭Conclusion ௭ವି௭ಲ
௭ಳି௭ಲൌ݅ donc A, B et D sont non alignés.De plus ௭ವି௭ಲ
Donc les points A, B, C et D sont cocycliques.
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5) Figures géométriques et nombres complexes
Propriétés
A, B et C sont des points non alignés d'affixes respectives Az Bz et Cz - Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si ௭ಳି௭ಲ - Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si ௭ಳି௭ಲൌ݁ఈ ou ௭ି௭ಲ - Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A si et seulement si ௭ಳି௭ಲ ௭ି௭ಲൌ݅ ou ௭ಳି௭ಲ - Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si ௭ಳି௭ಲ య ou ௭ಳି௭ಲExercice1
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points
a) Place les points A, B et C dans le repère (O, I, J). b) Démontre que le triangle ABC est rectangle en A.Solution
a) b) On a : Az Bz et Cz ് A. Donc A് B etC് A.
Calculons : ௭ಳି௭ಲ
en A.Exercice 2
Démontre que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.Solution
On a :
Az Bz et Cz ് B. Donc A് B et C് B.Calculons : ௭ಲି௭ಳ
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ି௭ಳൌ݅, donc le triangle est rectangle isocèle en B.Exercice 3
Démontre que le triangle ABC est équilatéral.Solution
On a :
Az Bz et Cz ് B. Les points A, B et C sont A് B et C് B.Calculons : ௭ಲି௭ಳ
= cos(െగ య, donc ABC est un triangle équilatéral.Page 11 sur 29
Tableau récapitulatif
Configuration Caractérisation géométrique Caractérisation complexeDroites parallèles
Il existe un nombre réel ߣ
nul tel que : ou argቀీି௭ి ouPoints A, B, C
alignés.Droites
perpendiculaires ou argቀీି௭ి ou ୈെݖେPoints A, B, C, D non alignés
cocycliquesTriangle ABC
isocèle en A. ouTriangle ABC
rectangle en A. O B C A O D A B C O D A B C O B C A O B C A D O B C APage 12 sur 29
Triangle ABC
rectangle et isocèle en A. ouTriangle ABC
équilatéral.
ouExercice de maison
Le plan complexe est mun ǯ ""°" orthonormé direct.5 + 2݅ et 4.
Justifie que :
1- les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;
2- les points I, J et B sont alignés ;
3- les droites (OK) et (DC) sont perpendiculaires ;
4- le triangle JBD est rectangle en B ;
5- les points A, B, C et D sont cocycliques.
III. Écritures complexes et transformations du planDéfinition
Une transformation du plan est une application bijective du plan dans le plan. O B C A O B C APage 13 sur 29
2. Ecritures complexes de symétrie centrale de centre O et de symétries
Propriété
direct (O, I, J). La symétrie orthogonale d'axe (OI) a pour écriture complexe : ݖᇱൌݖҧ. La symétrie centrale de centre O a pour écriture La symétrie orthogonale d'axe (OJ) a pour écriture complexe : ݖᇱൌെݖҧ. a) Translation est la translation de vecteur d'affixe b, M et M' sont les points du plan d'affixes respectives z et z'. écriture complexe : ݖᇱൌݖܾExercice
2) Détermine les affixes des images respectives A' et B' par t de chacun des points A et B,
Solution
On a : ݖᇱൌͷͳെ-݅ൌെ-݅Donc : ݖᇱൌെ-݅
ut u u O I JM'(z')
M(z) u B(b) O I ()Mz()Nz()Pz-()Qz- J a b - b -aPage 14 sur 29
rapport ݇, ݇אԹכ M et M' sont les points du plan d'affixes respectives z et z'. On a :ǯ -Zπ = ݇(Z - Zπ)
ǯ ൌ ݇(Z - Zπ) + Zπ
a pour écriture complexe ǣ ǯ ൌ k(Z - Zπ) + ZπExercice
Détermine l'écriture complexe associée à l'homothétie h de rapport Ȃ 2 et de centre ȳ
d'affixe ͵െ݅.