Fonctions inverse & homographiques

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Fonctions inverse & homographiques

I. La fonction inverse.

On appelle

soit :inv:R?-→R? x?-→1xDéfinition •La représentation graphique de la fonction inverse s"appelle une •La fonction inverse est décroissante surR?-et surR?+. x 1x

1x-∞

0+∞

•La fonction inverse n"admet ni de minimum, ni de maximum surR?. •La courbe de la fonction inverse admet l"origine du re- père comme centre de symétrie. On dit que la fonction inverse est xThéorème n°1- admis

RemarqueAttention, dire que la fonction inverse est décroissante surR?n"a pas de sens car sur cet intervalle la

fonction comporte une valeur interdite! Exercice n°11.Simplifier l"expression suivante :

A(x) =4x-3x+ 5--9x+ 10x+ 5

2.Écrire les deux expressions suivantes sous la forme d"un et un seul quotient :

A(x) = 3x+2x

;B(x) =x+ 23x-7 + 3xx

3.Démontrer que les deux expressions suivantes sont égales :

A(x) =3x-5-x+ 4;B(x) =-2 +x+ 3-x+ 4

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Partie Exercices HY

Exercice n°21.Comparer les nombresAetB:

a)A=12-⎷2 etB=12 .b)A=1x etB=-17 , lorsquex?-7.

2.Donner un encadrement de1x

dans les deux cas suivants : a)x??12 ;109 b)-2?x <-110 Exercice n°31.Résoudre les équations suivantes : a) 1x =-14 .b)12x=⎷2.c)-1x = 3.d)-2x =35

2.Résoudre les inéquations suivantes :

a) 1x >25 .b)-1x ?16 .c)3x ?72

3.Résoudre l"inéquation double suivante :35

?1x <72 toute fonction de la formef(x) =ax+bcx+d.Définition

La représentation graphique d"une fonction homographique est une hyperbole.Théorème n°2- admis

Exercice n°41.Résoudre les équations suivantes : a)

4x+ 1x-1= 3.b)3 +x2 +x=65

.c)23-x=-8.

2.Résoudre les inéquations suivantes :

2x-4x+ 6?0.b)4xx-5+ 2>0.

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Partie Exercices HY

Exercice n°51.Considérons la fonctionfdéfinie par :f(x) =x+ 4. a)Construire le tableau de signe, puis le tableau de variation defsurR.

b)Dans un repère orthonormé d"unité le centimètre, construireFla représentation graphique de

f, sur[-10;10].

2.Considérons la fonctiongdéfinie par :g(x) =2-xx+ 2.

a)Montrer que, pour toutx?R\{-2}:g(x) =4x+ 2-1. b)Construire la courbeGdegdans le repère précédent. c)En déduire le tableau de signe, puis le tableau de variation degsurR\{-2}.

Le démontrer algébriquement.

3.a)Résoudre graphiquement l"équationf(x) =g(x).

b)Retrouver le résultat par le calcul. Exercice n°6Sur la figure ci-contre,ABCetAMNsont deux tri- angles isocèles enA. Les pointsA,M,Bd"une part et

A,N,Cd"autre part sont alignés. De plus(MN)et

(BC)sont deux droites parallèles.

On donne :

•AM=AN=x, avecx?[0;10], •NC=MB= 3etBC= 5. On se propose d"étudier les variations du péri- mètre du trapèze isocèleMBCNlorsquexvarie de0à10.MBC NA x35 x3

1.Exprimer en fonction dexla longueurMN.

2.Déduire de la question précédente que le périmètrep(x)du trapèzeMBCNest donné par :

p(x) =16x+ 33x+ 3

3.Tracer la courbe représentative de la fonctionpsur l"écran de la calculatrice. Conjecturer le sens

de variation de cette fonction sur l"intervalle[0;10].

4.a)Démontrer que pour toutx?[0;10]:

p(x) = 16-15x+ 3 b)Démontrer la conjecture du 3..

5.Est-il possible d"avoirp(x) = 15? Justifier.

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Exercice n°7La conception d"un écran de téléphone portable est confiée à un bureau d"étude qui a les contraintes

suivantes : •l"aire de cet écran doit être de16cm2,

•l"écran, considéré théoriquement comme rectangulaire, doit être positionné dans le téléphone selon

le schéma ci-dessous :5,50,50,50,5yx On cherche les valeurs, en centimètres, dexety, pour lesquelles les dimensions du télé- phone portable répondent aux contraintes du fabriquant.

1.Donner une première contrainte sur les valeurs possibles dexety.

2.Montrer quey= 6 +16x-1.

Le fabriquant de ce téléphone ajoute une dernière contrainte à ce bureau d"étude : il souhaite qu"on

aitx+y= 15.

On noteh(x) = 6 +16x-1, etg(x) = 15-x.

3.Sur quel ensemble de définition est-il raisonnable d"étudier la fonctionh?

4.À l"aide de votre calculatrice, représenter graphiquement les courbes représentatives des fonctions

hetg. Qu"observe-t-on? Que conjecture le bureau d"étude sur le problème posé des dimensions possibles du téléphone? Quel est alors le format de l"écran?

5.Démontrer votre conjecture et conclure.

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