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I : Espaces metriques.
Exercice 1: Exemples d'espaces metriques.
Verier que les espaces suivants sont des espaces metriques : 1) R avecd(x;y) =j1x 1y j.Trouver les boules ouvertes pour cette metrique. 2) R nmuni de la metriquel1.
3)C[a;b] avecd(f;g) =Sup[a;b]jfgj.
4) R nmuni de la metriquel2.
5)E=f0;1gNavecd(a;b) =P1n=112
njanbnj.
Exercice 2.
Soient (E;d) un espace metrique,x2Eetr >0.
1)Montrer que la boule ouverteB(x;r) est un ouvert deE.
2)Montrer quefxgest un ferme deE.
Exercice 3: Espace discret.
SoientEun ensemble etd:E2!R+l'application denie pour tousxet ypar :d(x;y) = 1 six6=y;d(x;y) = 0 six=y.
1)Demontrer quedest une distance surE; elle est appeleedistance
discretesurE.
2)DeterminerB(x;r) oux2Eetr >0.
3)Determiner les ouverts puis les fermes de (E;d).
Exercice 4.
Soient (E;d) un espace metrique etAune partie deE. Montrer :
1)x2A, 9r >0;B(x;r)A:
2)x2A, 8r >0;B(x;r)\A6=;:
3)x2A,d(x;A) :=inffd(x;y);y2Ag= 0.
4)x2extA, 9r >0;B(x;r)\A=;.
Exercice 5.
Soient (E;d) un espace metrique,AetBdes parties non vides deE. Mon- trer que :
1)AAetAA.4)(A\B)A\B.
2)AB)ABetAB.5)CEA=C
EAetCEA=
(CEA).
3)A[B(A[B)6)@A=AnA.
Exercice 6.
Soient (E;d) un espace metrique et (Ai)i2f1;::;ngdes parties deE.
Demontrer que
1) n\ i=1A i! =n\ i=1A i:2)n i=1A i=n[ i=1A i.
Exercice 7.
Soit (E;d) un espace metrique etAE. Montrer que@A@Aet que @A @A. Donner un exemple pour lequel toutes ces inclusions sont strictes.
Exercice 8.
Soient (E;d) un espace metrique etAun sous-ensemble deEnon ferme.
Soitx2AnA.
Montrer que pour tout voisinageVdex, l'ensembleV\An'est pas ni.
Exercice 9.
Montrer que dans un espace metriqueE, tout ensemble ferme est l'intersection d'une suite decroissante d'ensembles ouverts. De m^eme, tout ensemble ouvert est la reunion d'une suite croissante d'ensembles fermes.
Exercice 10: Sous-espace metrique.
Soit (E;d) un espace metrique. Pour toute partie non videFdeE, la re- strictiondFdedaFFest une distance surFappeleedistance induite surFpar la distanced. (F;dF) se nomme sous-espace metrique deE.
1)Montrer que pour touta2Fla boule ouverteb(a;r) de centreaet de
rayonrpourdFest egale aB(a;r)\FouB(a;r) est la boule ouverte de m^eme centre et rayon pourd.
2)Montrer queBFest un ouvert deFSsi il existe un ouvertAdans
Etel queB=A\F.
3)Montrer queBFest un ferme deFSsi il existe un fermeAdansE
tel queB=A\F. 4)SiB
Fest l'adherence deBdans (F;dF) , montrer queB
F=B\F.
5)Pour que tout ouvert (resp. ferme) dansFsoit un ouvert (resp. ferme)
dansE, il faut et il sut queFsoit ouvert (resp. ferme) dansE.
6)L'intervalle ]0;1] est-il un ouvert dansR+? est-il un ferme dansR+?
M^emes questions pour ]0;1] dans ]0;+1[.
Exercice 11.
Soit (E;d) un espace metrique et (Ai)i=1;:::ndes ouverts denses dansE.
Montrer queTni=1Aiest un ouvert dense dansE.
Exercice 12.
1)Montrer qu'un espace topologique (X;O(X)) satisfait la propriete de
separation de Hausdor Ssi8x2X;on a :fxg=TfF;x2F;Fvoisinage ferme dexg.
2)Un espace metrique verie-t-il la propriete de separation de Hausdor
Exercice 13.
SoitX=R;O(X) =f;g [ fVR; cardCRV <1g.
1)Montrer que (X;O(X)) est un espace topologique.
2)(X;O(X)) satisfait-il la propriete de separation de Hausdor ?
3)(X;O(X)) est-il metrisable?
4)M^emes questions pourO(X) =f;;XgouXest un ensemble arbitraire.
Exercice 14: Espace metrique produit.
Soient (E1;d1);(E2;d2) deux espaces metriques. On munitE1E2de la distanced(x;y) :=d1(x1;y1) +d2(x2;y2) six= (x1;x2) ety= (y1;y2)2 E 1E2:
1)Montrer quedest une distance.
2)SoientUun ouvert de (E1E2;d) et (x;y)2U.
Montrer qu'il existeU12 O(E1) etU22 O(E2) tels que (x;y)2U1U2U.
3)SoientU12 O(E1) etU22 O(E2). Montrer queU1U2est un ouvert
de (E1E2;d).
II : Espaces vectoriels normes.
Exercice 1: Distance associee a une norme.
Soit (E;k k) un espace norme.
Demontrer que l'applicationd:EE!R+denie par :d(x;y) =kxyk est une distance surE.
Exercice 2.
E=R2muni de la norme euclidienne :kxk=px
12+x22.
Determiner parmi les ensembles suivants lesquels sont ouverts, fermes ou ni l'un, ni l'autre:
1)A1=f(x;0)=x2Rg.
2)A2=f(x;0)=x2]0;1[g.
3)A3=Q2:
Exercice 3.
Montrer que surRn,kk1,kk2etkk1sont des normes equivalentes.
Exercice 4.
SoitE=RNmuni d'une normek k.
1)Montrer qu'il existec >0 tel quek k ck k1.
2)Montrer que si de plus pour und >0; Bk k(0;d)Bk k1(0;1) alors les
deux normes sont equivalentes.
Exercice 5.
Soientn1etn2deux normes equivalentes etd1etd2les metriques associees.
Montrer qued1etd2denissent les m^emes ouverts.
Exercice 6.
Montrer que l'equivalence entre deux normes denit une relation d'equivalence sur l'ensemble des normes d'un espace vectorielE.
Exercice 7.
E=C1([a;b];R) etd(f;g) =P1k=112
kkf(k)g(k)k11+kf(k)g(k)k1:
1)Montrer que (E;d) est un espace metrique.
Indication : la fonctionf:x7!x1+xest concave.
2)Montrer que la distancedn'est pas une distance denie a partir d'une
norme.
III : Continuite.
Exercice 1.
Soitf: (X;d)!(Y;d0) une application continue entre 2 espaces metriques. Montrer par un exemple que :U2 O(X) n'entra^ne pasf(U)2 O(Y):
Exercice 2.
Soitf: (X;d)!(Y;d0) une application entre 2 espaces metriques. Mon- trer qu'il y a equivalence entre :
1)fest continue
2)8Fferme deY,f1(F) est un ferme deX,
3)8AX,f(A)f(A):
Exercice 3.
Soit (E;kk) un e.v.n. surR. Montrer que :
1)Toute application constante surEest continue.
2)Toute application du typef(x) =x+a,2Reta2Eest continue.
Exercice 4.
SoitE=C([0;1];R) aveck k1,k k2etk k1A:E!R
f7!f(0)etB:E!R f7!R1
0f(t)dt.
Les applicationsAetBsont-elles continues pourk k1,k k2ouk k1?
Exercice 5.
Soientfetgdeux applications continues d'un espace metriqueE1dans un espace metriqueE2. On considere la partieAdeE1denie comme suit :
A=fx2E1=f(x) =g(x)g:Montrer queAest ferme dansE1.
Exercice 6.
Soientfetgdeux applications continues d'un espace metriqueE1dans un espace metriqueE2. On suppose quef=gsur une partieAdeE1, dense dansE1. Montrer alors quef=gsurE1.
Exercice 7.
Soit (E;d) un espace metrique etAEune partie deE. Montrer que :
1)8x;z2E;jd(x;A)d(z;A)j d(x;z)
2)l'applicationx7!d(x;A) est continue.
Exercice 8.
Soient (Ei;di);i21;2 deux espaces metriques et (E;d) l'espace produit.
1)Montrer que les projectionsi:E1E2!Ei: (x1;x2)7!xisont des
applications continues.
2)Soit (a;b)2E1E2xe. Montrer que les \inclusions"i1:E1!
E
1E2:x17!(x1;b) eti2:E2!E1E2:x27!(a;x2) sont des applica-
tions continues.
IV : Convergence dans les espaces metriques.
Exercice 1.
Soit (E;d) un espace metrique et (xn)n2Nune suite de Cauchy dansEet (xnk)k2Nune suite extraite.
1)Montrer que8k2N;nkk.
2)Montrer que limk!1d(xk;xnk) = 0.
3)En deduire que si (xnk)k2Nest convergente alors (xn) est convergente.
Exercice 2.
Soit (E;d) un espace metrique et (xn)n2Nune suite de Cauchy dansE.
Determinerfxn;n2Ng.
Exercice 3.
Soit (E;d) un espace metrique. Pour toute partieAEon denit le diametre de Apard(A) =supfd(x;y);x;y2Ag: Soit (xn)n0une suite de points deE. On poseAn=fxn;xn+1;:::g Montrer que (xn)n2Nest une suite de Cauchy Ssi limn!1d(An) = 0:
Exercice 4.
Une fonctionf: (E;d)!(E0;d0) est diteuniformement continueSsi
8 >0;9 >0;8(x;y)2E2; d(x;y)< )d0(f(x);f(y))< .
1)Montrer que sifest uniformement continue, alors l'image parfd'une
suite de Cauchy dansEest une suite de Cauchy dansE0.
2)Ce dernier resultat n'est pas vrai en general sifest seulement continue.
Considererf(x) =xde (R;d) dans (R;j:j) oudest la distance dans V.1.
3)Montrer que si dans un espaceE, on a deux metriquesd1etd2telles
qu'il existea >0 pour lequeld2ad1, alors l'identiteId: (E;d1)!(E;d2) est uniformement continue.
V : Espaces complets, espaces de Banach.
Exercice 1
SoitRmuni de la distanced(x;y) =jArctanxArctanyjou Arctan :R! 2 ;2
1)Comparerda la distance euclidienne surR.
2)Montrer que (R;d) n'est pas complet (considerer la suiteun=n).
Exercice 2.
Decrire les suites de Cauchy dans un espace discretEet montrer qu'un tel espace est complet.
Exercice 3.
SoitI= [0;1] etE=INl'ensemble des suites a valeurs dansI.
Pourx= (xn) ety= (yn) dansE, on denitd(x;y) =P
k012kjxkykj: Montrer que (E;d) est un espace metrique complet et que ce resultat est faux si l'on remplaceIpar ]0;1[.
Exercice 4.
L'espaceC([0;1]) est-il complet pour les normes
1)jj jj1,2)jj jj2,3)jj jj1? Justier.
Exercice 5.
Montrer que pour un espace metrique (E;d), il y a equivalence entre :
1)Eest complet
2)Pour toute suite decroissante (Fn)n0de fermes non vides telle que
lim n!1d(Fn) = 0, on a :T nOFn6=;.
Exercice 6: Theoreme de Baire.
Soit (An)n1une suite d'ouverts denses dans un espace metrique complet. Pour tout ouvertUnon vide deE, mettre en evidence une suite decroissante de boulesB(xn;rn) aveclimn!1rn= 0 telles que :B(x1;r1)U\A1 etB(xn;rn)B(xn1;rn1)\An.
En conclure queT
n1Anest dense dansE. Comparer avec le resultat du I.9.
Exercice 7
L'image continue d'un espace metrique complet est un espace metrique com- plet. Vrai ou faux? Exercice 8: Caracterisation des espaces de Banach.
Soit (E;k k) un espace norme.
On dit qu'une serie de termes (xn) est absolument convergente siP1n=1jjxnjj< 1. Montrer queEest un espace de Banach Ssi toute serie absolument conver- gente dansRest convergente dansE. Ind. Si (xn) est de Cauchy, contruire une suiteyj:=xnjxnj1de telle sorte quejjyjjj 12 j.
VI : Compacite.
Exercice 1.
Montrer que tout espace metrique compact est complet.
Exercice 2.
SoitEun espace metrique.
1)Montrer que les deux propositions suivantes sont equivalentes:
a)Eest compact. b) De toute famille de fermes dont l'intersection est vide, on peut ex- traire une sous-famille nie d'intersection vide.
2)SiEest compact et si (Fn)n0est une suite decroissante de fermes non
vides, montrer queT nOFn6=;.
Exercice 3.
SoitAune partie compacte d'un espace metriqueEetf:E!Rune fonction numerique continue. Montrer quefatteint son maximum et son minimum surA.
Exercice 4.
SoientEetFdeux espaces metriques.
Montrer que l'espaceEFest compact SsiEetFsont compacts. Ind. Voir dans \Cours d'Analyse, Tome II: Topologie" par G. Choquet,
Chapitre V, II-10.
Exercice 5.
Soit (E;d) un espace metrique etAune partie compacte deE.
Montrer qu'il existea2Aetb2Atels qued(a;b) =d(A):
Exercice 6.
Une applicationfdeE1dansE2est unhomeomorphismesi : i)fest une bijection deE1dansE2. ii)fet sa reciproquef1sont toutes deux continues. Montrer que siE1est un espace metrique compact etf:E1!E2est une application continue injective, alorsfest un homeomorphisme deE1sur f(E1).
Exercice 7.
SoitMn(C), l'espace vectoriel des matrices carrees d'ordrena coecients dansC.
PourA= (aij) dansMn(C), on pose :kAk=nsupi;jjaijj
1)Montrer que cela denit une norme surMn(C) et que:8A;B2Mn(C),
on a :kABkkAkkBk:
2)Montrer que l'applicationf:A7!A
tAest continue surMn(C).
3)Montrer queOn(C) =fA2Mn(C)=A
tA=Ingest compact.
Exercice 8.
SoitEun ensemble inni muni de la metrique discrete. Montrer queEest ferme et borne mais queEn'est pas compact.
Exercice 9.
Soit'une application continue d'un espace metriqueEdans un espace compactF. On dit que'est une applicationpropresi pour tout compact
KF;'1(K) est compact dansE.
1)Les applications suivantes sont-elles propres?
1:]0;1]7![1;1];'1(x) = sin1x
; '2:RNn f0g 7!SN1;'2(x) =xjjxjj2
2)Montrer qu'un homeomorphisme deEdansFest une application pro-
pre. SiEest une partie fermee deE, montrer que l'injection canonique de
EdansFest propre.
Exercice 10: Theoreme de Dini.
SoitEun espace metrique compact et soit (fn) une suite decroissante ( croissante ) de fonctions reelles continues denies surEet convergeant ponctuellement vers une fonction continuef. Soit >0.
1)On denitKn=fx2E =fn(x)f(x)g:Montrer que (Kn) est une
suite decroissante de compacts.
2)En utilisant la convergence ponctuelle de (fn) versf, montrer queT
n2NKn=;:
3)En utilisant l'exercice VI.2, montrer qu'il existen02Ntel queKn0=;.
4)En deduire que (fn) converge uniformement versfsurE.
VII : Connexite et connexite par arcs.
Exercice 1.
SoientAetBdeux parties d'un espace metrique.
SiAetBsont fermes et siA\BetA[Bsont connexes, montrer queAet
Bsont connexes.
Exercice 2.
Soit (E;d) un espace metrique.
Montrer que E est connexe si et seulement si il n'existe aucune application continue surjectivef:E! f0;1gouf0;1gest muni de la distance discrete.
Exercice 3.
Soit (E;d) un espace metrique tel que toute fonction continuef:E!R ne puisse pas prendre 2 valeurs sans prendre aussi toutes les valeurs in- termediaires.
Montrer queEest connexe.
Exercice 4.
Montrer que si un espace metriqueEest connexe, alors toute partieAE telle queA6=E,A6=;verie@A6=;.
Exercice 5.
Soit (E;d) un espace metrique etAune partie connexe deE. SiBest une autre partie deEtelle queABA, montrer que B est connexe. En deduire que siAest connexe, il en est de m^eme pourA.
Exercice 6.
Montrer que si (Ai)i2Iest une famille d'ensembles connexes telle que\i2IAi6= ;, alorsA=[i2IAiest connexe.
Exercice 7.
Soit (E;d) un espace metrique connexe dans lequel la distancedn'est pas bornee.
Montrer que toute sphere deEest non vide.
Exercice 8.
SoitXun espace metrique compact.
Montrer l'equivalence des propositions suivantes :
1)Xest connexe.
2)Pour tout >0 et tousx;y2X, il existe une suite nie de points
deX, (xi)0in, telle quex0=x,xn=yetd(xi;xi1)pour tout i2 f1;;ng.
Exercice 9.
Montrer qu'il n'existe pas d'application continuef:R!Rtelle que f(Q)RnQetf(RnQ)Q.
Exercice 10.
Montrer que l'image continue d'un ensemble connexe par arcs est connexe par arcs.
Exercice 11.
Soit (E;d) un espace metrique. On denit la relation suivante surE: xRy, 9 : [0;1]!Econtinue telle que (0) =x; (1) =y:
Montrer queRest une relation d'equivalence.
Exercice 12.
SoitC=f(x;y)2R2= x2+y2= 1gmuni de la topologie induite parR2.
1)Montrer queCetCprive d'un point sont connexes.
2)Cpeut-il ^etre homeomorphe a un intervalle deR?
3)Cpeut-il ^etre homeomorphe a une partie deR?
Exercice 13.
SoitARnun ouvert.
Montrer qu'il y a equivalence entreAconnexe etAconnexe par arcs.
Exercice 14.
SoitA=f(x;sin(2x))=0< x1g R2.
1)Montrer que A est connexe.
2)CalculerA.
3)Montrer queAest connexe mais non connexe par arcs.
VIII : Theoremes de point xe.
Exercice 1.
Sur quel intervalle, l'applicationf:x7!x+x1est-elle un exemple d'application veriantd(f(x);f(y))d(x;y) et n'ayant pas de point xe ?
Exercice 2.
SoientE= [23
;+1[ sous-espace metrique deR, etf:E!Rdenie par : f(x) =2x+ 63x+ 2.
1)Montrer queEest complet et quef(E)E.
2)Montrer quefest contractante et calculer l'unique point xeadef.
3)En prenantx0=23
, calculerx1,x2,x3,x4et evaluer l'approximation deaobtenue.
4)Si l'on prolongefaf:Rnf23
g !Rparf(x) =2x+ 63x+ 2,fn'est pas contractante mais a deux points xes.
Exercice 3.
SoitE=N=f1;2;g, on pose :d(n;n) = 0 etd(m;n) = 10+m1+n1 sim6=n.
1)Montrer quedest une distance surEet que (E;d) est complet.
2)Soitf:E!Eavecf(n) =n+1. Montrer qued(f(m);f(n))< d(m;n)
sim6=nmais quefn'est pas contractante.
Exercice 4.
SoitI= [a;b] un intervalle compact deRetf:I!Rune application continue telle queIf(I). Montrer quefpossede un point xe dansI.
Exercice 5.
Soit (E;d) un espace metrique complet etf:E!Eune application con- tinue. Soitq1 un entier tel quefqsoit une application contractante.
Montrer quefpossede un point xe unique.
Exercice 6.
Dans l'espace normel2=fx= (xn)n2N;xn2R=kxk= (P
n2Nxn2)12
1g, on denit l'applicationu:l2!l2par :u(x0;x1;x2;x3;) = (0;x0;x1;x2;).
On note :e0= (1;0;0;0;);B=fx2l2;kxk 1g;S=fx2l2;kxk= 1g etf(x) =12 (1 kxk)e0+u(x):
1)Montrer queuest une application lineaire continue veriant8x2
l
2;ku(x)k=kxk.
2)Montrer quef(S)Set quef(B)B.
3)Montrer quefn'admet pas de point xe.
Exercice 7: Points xes attractifs.
SoitI= [a;b] un intervalle compact deRetf:I!Rune application de classeC1ayant un point xep2I. Montrer que sijf0(p)j<1 alors il existe un intervalleUcontenantptel que
8x2U;limn!1f(n)(x) =p
IX : Theoreme de Stone-Weierstrass.
Exercice 1.
A l'aide des exemples suivants, montrer que dans le theoreme de Stone- Weierstrass, chacune des hypotheses (a), (b) et (c) est indispensable.
1)A=ff2 C(K)=f(x0) = 0g, oux0est un point xe dansK.
2)B=ff:K!R=f est constanteg.
3)K= [1;1];C=<1;Id > :
4)K=R;D=R[x]:
Exercice 2.
SoitK= [1;1],Vl'espace vectoriel reel engendre par les polyn^omes reels pairs etWl'espace vectoriel reel engendre par les polyn^omes reels impairs.
1)L'espaceVverie-t-il les hypotheses du theoreme de Stone-Weierstrass?
2)Toute fonction continue surKest-elle la limite uniforme d'une suite de
fonctions deV?
3)Quelles hypotheses du theoreme de Stone-Weierstrass ne sont pas veriees
par l'espaceW?
4)Montrer queW6=C(K) pour la norme de la convergence uniforme.
Exercice 3.
M^emes questions pourK= [2;1],V= VectR< f2C(K)jf(x) =x4k;k2
N>,W= VectR< f2C(K)jf(x) =x4k+1;k2N>.
Exercice 4.
ChangerKpar [2;0] dans l'exercice 3.
Exercice 5.
1)SoitKun espace metrique compact etA C(K;C) une sous-algebre
veriant : a) 12A: b)Asepare les points deK. c)8f2A,f2A. (fdesignant la conjuguee def)
Montrer queAest dense dansC(K;C).
Indication : montrer que sif2A, alors<(f) et=(f)2A, puis considerer la sous-algebre reelleA0=f<(f)=f2Ag:quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques Espaces vectoriels