[PDF] 3M360 : Topologie et Calcul Différentiel Livret d'exercices



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3M360 : Topologie et Calcul Dierentiel

Livret d'exercices | Jussieu, 2018

Avec corriges

Table des matieres

I Espaces metriques

3

I.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.2 Exercices de niveau attendu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II Completude

25

II.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.2 Exercices de niveau attendu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III Compacite

37

III.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III.2 Exercices de niveau attendu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV Connexite

50

IV.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IV.2 Exercices de niveau standard

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IV.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

V Espaces vectoriels normes

56

V.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

V.2 Exercices de niveau standard

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

VI Dierentielle

76

VII Extrema : conditions d'ordre 1

89

VIII Applications de classeC193

IX Inversion locale, fonctions implicites

95

IX.1 Theoreme d'inversion locale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

IX.2 Theoreme des fonctions implicites

. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

X Dierentielle seconde

109

X.1 Formule de Taylor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 1 X.2 Extrema : conditions d'ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

XI Elements de corriges de l'examen 2017-2018

116
2

I Espaces metriques

I.1 Assimilation du cours

Certains de ces exercices sont en fait des demonstrations de cours qui sont laissees en exercice dans le poly. Il est conseille de lire le poly, et de faire les exercices correspondants au fur et a mesure de la lecture.Exercice 1.| Ecrire a l'aide de quanticateurs : (1)Oest un ouvert deX; (2) la caracterisation metrique de l'interieur d'une partieEdeX; (3) la caracterisation metrique de l'adherence d'une partieE; (4) la denition de la frontiere; (5)E est dense dansX; (6)Eest d'interieur vide dansX; (7) la denition d'une suite convergente.Corrige de l'exercice 1.|

1.Oest un ouvert deX:8x2O9" >0B(x;")O.1

2.la caracterisation metrique de l'interieur d'une partieEdeX: soitxun point

deX, alors x2Inte(E),(9" >0B(x;")E):

3.la caracterisation metrique de l'adherence d'une partieE: soitxun point de

X, alors

x2Adhe(E),(8" >0B(x;")\E6=;):

4.la denition de la frontiere : Fr(E) = Adhe(E)\Adhe(XnE). On a aussi, si

xest un point deX, alors x2Fr(E),(8" >0 (B(x;")\E6=;etB(x;")\(XnE)6=;)):

5.Eest dense dansX: par denition, ceci signie que l'adherence deEegaleX,

autrement dit que tout point deXest dans l'adherence deE.Noter que l'autre inclusion est toujours veriee, l'adherence etant par denition une partie deX.En quanticateurs, ceci s'ecrit :

8x2X8" >0B(x;")\E6=;:

(Noter qu'apres le \8x2X", on a juste recopie la caracterisation de l'adherence).

6.Eest d'interieur vide dansX: on ecrit qu'aucun point n'est dans l'interieur

deE; autrement dit que tout point doit verier la negation de la caracterisation de l'interieur :

8x2XNON(9" >0B(x;")E)

ou on ecrit NON(...) pour la negation de la propriete qui suit le NON. On doit bien s^ur simplier ceci (sous cette forme, on aura du mal a l'utiliser dans un raisonnement!) Nous devons nier l'existence d'un"strictement positif veriant une certaine propriete. Si un tel"n'existe pas, c'est que tout"strictement positif verie la propriete contraire; en symboles :

( NON(9" >0:::) ),(8" >0 NON(:::) )1. Remarquer qu'on pourrait encore expliciter l'inclusion en utilisant sa denition :AB

signie que tout point deAest dansB. On obtient alors que l'ensembleOest ouvert si et seulement si8x2O9" >08y2B(x;");y2O. 3

En reprenant la ligne du dessus, on obtient donc

8x2X8" >0B(x;")6E)

On peut encore simplier : ne pas ^etre inclus dansE, c'est contenir au moins un point qui n'est pas dansE, autrement dit c'est rencontrer le complementaire de E. On obtient nalement queEest d'interieur vide si et seulement si

8x2X8" >0B(x;")\(XnE)6=;:)

7.La suite (un) converge vers le point`si et seulement si

8" >09n02N8nn0un2B(`;"):Exercice 2.|Montrer que toute boule ouverte est un ouvert deX.(Indication :

voir le poly).Corrige de l'exercice 2.|SoitB=B(x;r) une boule ouverte, etyun point deB. PosonsC'est en faisant un dessin qu'on voit que ce choix de rayon va marcher.r0=rd(x;y): Puisqueyappartient a la bouleB(x;r), on ad(x;y)< r, ce qui montre que r

0est un nombre strictement positif. Il reste a voir que la bouleB0=B(y;r0) est

incluse dansB. Pour voir ceci, prenons un pointzdeB0: on a doncd(y;z)< r0.

On evalue alors

d(x;z)d(x;y) +d(y;z)< d(x;y) +r0=r;

ce qui montre bien quezappartient a la bouleB=B(x;r).Exercice 3.|Dans un espace metrique, montrer que l'intersection d'un nombre

ni de parties ouvertes est une partie ouverte.Corrige de l'exercice 3.|SoientO1;:::Okdes ouverts, montrons que l'inter-

section\ i=1;:::;kO i est un ouvert. Soitxun point de l'intersection. Soiti2 f1;:::;kg; par denition de l'intersection,xappartient aOi; puisqueOiest ouvert, il existe"i>0 tel que

B(x;"i)Oi.

SoitQu'est-ce qui ne marche

pas si on essaie de faire la m^eme preuve pour une intersection innie d'ouverts?"= mini=1;:::;k("i): 4 C'est un nombre strictement positif, verions que la bouleB(x;") est incluse dans l'intersection. Pour chaqueientre 1 etk, on a""iet par consequent

B(x;")B(x;"i)Oi:

Finalement

B(x;")\

i=1;:::;kO i comme voulu.Exercice 4.|(caracterisation metrique de l'interieur) SoitEune partie d'un espace metriqueX, montrer l'equivalence : x2Inte(E), 9" >0B(x;")E:Corrige de l'exercice 4.|Par denition, Inte(E) est un ouvert inclus dansE: par denition d'un ouvert, sixest un point de Inte(E), il existe un bouleB(x;r) qui est incluse dans Inte(E), donc dansE. Ceci montre l'implication directe. Reciproquement, soitxun point deXtel qu'il existe une bouleB(x;r) incluse dansE. Puisque la bouleB(x;r) est un ouvert inclus dansE, elle est incluse dans Inte(E), qui est la reunion de tous les ouverts inclus dansE. En particulierxest dans Inte(E).Exercice 5.|Donner un exemple, dans le planR2, d'une famille de parties

ouvertes dont l'intersection n'est pas ouverte.Corrige de l'exercice 5.|Soitxun point du plan, et considerons toute les

boules ouvertes centrees au pointx. L'intersection de toutes ces boules est reduite au singletonfxg. Ce singleton n'est pas un ouvert, puisqu'il ne contient aucune

boule ouverte centree enx.Exercice 6.|Montrer que toute application lipschitzienne est continue.Corrige de l'exercice 6.|Reponse succinte : il sut de prendre="k

dans la denition de la continuite. Reponse detaillee. Soitf:X!Yune applicationk-lipschitzienne entre deux espaces metriques. Il s'agit de montrer quefest continue. Considerons donc un point quelconquexdeXen lequel nous voulons verier quefest continue, et prenons donc un" >0. Nous posons alors2 ="k :2. Lorsqu'on cherche l'exercice, on peut dans un premier temps laisser cette denition en suspens (au brouillon, on ecrit par exemple=??), et essayer d'ecrire la suite de la preuve; on continue sans ennui jusqu'a la majoration ded(f(x);f(x0)) park; comme on aimerait pouvoir majorer encore ceci par", on voit alors quelle valeur denous permet de conclure. 5 Verions que ceconvient. Pour ceci, nous considerons un pointx0deXtel que d(x;x0)< :

On a alors

d(f(x);f(x0))kd(x;x0)< k="; ce que l'on voulait.Exercice 7.|Montrer que l'union d'un nombre ni de parties fermees et une partie fermee. Montrer que l'intersection d'une famille quelconque (nie ou innie)

de parties fermees est une partie fermee.Corrige de l'exercice 7.|On peut traiter cet exercice par \passage

au complementaire", qui transforme les proprietes portant sur des fermes en proprietes portant sur des ouverts. Par denition, un pointxest dans le complementaire d'un ensembleFs'il n'est pas dansF. Le passage au complementaire transforme union en intersection et reciproquement : en eet, par exemple, x2XnS i2IFi,x62S i2IFi ,NON(x2S i2IFi) ,NON(9i2I;x2Fi) , 8i2I;x62Fi , 8i2I;x2XnFi ,x2T i2IXnFi: Si (Fi)i2Iest une famille nie de fermee d'un espace metriqueX, on a donc Xn[ i2IF i=\ i2IXnFi Par denition des fermes, les ensemblesXnFisont des ouverts. On a vu en cours que l'intersection d'une famille nie d'ouverts est un ouvert, donc l'ensemble ci- dessus est ouvert, par consequent son complementaire est ferme, c'est-a-dire que l'union desFiest un ferme. Le raisonnement pour une intersection quelconque de fermes est tout a fait analogue.Exercice 8.|(caracterisation metrique de l'adherence) Montrer qu'un pointx appartient a l'adherence deEsi et seulement si toute boule ouverte centree enx rencontreE.Corrige de l'exercice 8.|Montrons d'abord le sens reciproque. Par contrapo- sition, il s'agit de prendre un point qui n'est pas dans l'adherence, et de montrer qu'il existe une boule ouverte centree enxqui ne rencontre pasE. Supposons qu'un pointxn'est pas dans Adhe(E). L'adherence deEetant un ferme, son complementaire est un ouvert : il existe donc une bouleB(x;r) incluse dans le 6 complementaire, ce qui signie qu'elle est disjointe de Adhe(E), donc aussi deE puisque Adhe(E) contientE. Montrons le sens direct. On raisonne encore par contraposition : on suppose qu'il existe une boule ouverteB(x;r) qui est disjointe deE, et on veut montrer quexn'est pas dans Adhe(E). L'ensembleXnB(x;r) est un ferme qui contient E. Or Adhe(E) est inclus dans tous les fermes contenantE, donc Adhe(E) est

inclus dansXnB(x;r). En particulier Adhe(E) ne contient pasx.Exercice 9.|(cours) Montrer qu'une applicationf:X!Yentre deux espaces

metriques est continue si et seulement si l'image reciproque de toute partie fermee

deYest une partie fermee deX.Corrige de l'exercice 9.|Ici encore, on peut se ramener aux proprietes des

ouverts par passage au complementaire (voir l'appendice du poly si vous n'^etes pas familier avec l'image reciproque d'un ensemble par une application). Supposons quefest continue. Alors l'image reciproque de tout ouvert deY est un ouvert deX. Considerons alors un fermeFdeY. L'ensembleYnFest un ouvert deY, doncf1(YnF) est un ouvert deX, or f

1(YnF) =Xnf1(F)

et son complementaire, qui est doncf1(F), est un ferme deX. Ceci montre le sens directe de l'equivalence. Le sens reciproque se montre de la m^eme maniere : en partant de la propriete sur les fermes, en deduire la propriete sur les ouverts qui caracterise la continuite def.Exercice 10.|quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19