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. Ecrivez une proceduresaisirLimites(a,b)qui saisit des limites d'integration dansa(reel) et dansb(reel) en s'assurant quea< b . Achez l'invite :Limitesd "intégration? Ecrivez une fonctionsaisirIntervalles()qui renvoie un entier saisi par l'utilisateur, entier qui represente un nombre d'intervalles. La fonction doit s'assurer que cet entier est≥1. et ajoutez en premiere ligne du programme l'instruction l'instruction suivante (an d'obtenir susamment de decimales, ici15) :cout<Pourquoi?
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Calcul numerique d'integrale [nr03] - Exercice
Karine Zampieri, Stephane Riviere
UniscielalgoprogVersion 22 mai 2018
Table des matieres
1 Calcul numerique d'integrale / pgintegr
21.1 Integration numerique
21.2 Methodes des rectangles et trapezes
31.3 Methode de Simpson
51.4 Convergence des methodes
6 C++ - Calcul numerique d'integrale (TP)Mots-ClesNumerique RequisStructures de base, Algorithmes parametres, Structures repetitives, Schema ite- ratifDiculte• ◦ ◦(2 h 30)Objectif
Cet exercice etudie quelques methodes d'approximation classiques d'integrales (methode des rectangles, methode des trapezes, methode deSimpson) et compare la vitesse de convergence de la methode des trapezes et deSimpson. 1 Unisciel algoprog { Calcul numerique d'integrale [nr03]21 Calcul numerique d'integrale / pgintegr
1.1 Integration numerique
L'integrale
?b afd'une fonctionfpeut ^etre vue comme l'aire (algebrique) de la partie du plan entreaetbcomprise entre l'axe des abscisses et la courbe def. On approxime le calcul de cette surface en divisant l'intervalle[a,b]ennsous-intervalles [xj,xj+1]de m^eme longueurh= (b-a)/n(doncxj=a+j h) et en approximant l'integrale?xj+1x jfpar une surfaceδ(j).L'integrale de la fonction est alors :
b af=n-1? j=0δ(j)Soitle typeFonctioncomme etant (un pointeur d')une fonction ayant un parametre de reel et retournant un reel. Ecrivez une fonctionintegraleExacte(F,a,b)qui calcule et renvoie l'integrale exacte en utilisant laFonctionprimitiveFdef: b af=F(b)-F(a) Ecrivez une fonctionf(x)qui servira de test (calculez et retournez le cosinus dexpar exemple) ainsi qu'une fonctionprimF(x)qui calcule et renvoie une primitive exacteFdef (la primitive du cosinus est le sinus).Outil C++ Les fonctions cosinuscos(x)et sinussin(x)sont denies dans la bibliothequeAchez l'invite :Nombred "intervalles?
Unisciel algoprog { Calcul numerique d'integrale [nr03]3 Ecrivez une proceduretest_exactequi saisit les limites d'integration puis calcule et ache l'integrale exacte.Testez. Exemple d'execution :Limites
d int gration ? -0.1 0.7Integrale
exacte : 0.74405110381.2 Methodes des rectangles et trapezes
Les methodes des rectangles et des trapezes approxime l'aireδ(i)de la fonction dans l'intervalle[xj,xj+1]par : •le rectangle gauche s'appuyant surfenxj, soitδ(j) =f(xj)×h •le rectangle droit s'appuyant surfenxj+1, soitδ(j) =f(xj+1)×h •le trapeze s'appuyant surfenxjetxj+1, soitδ(j) =12 (f(xj+f(xj+1))×h Les sommes correspondantes donnent le calcul approche de l'integrale. Ecrivez une fonctionintegraleRectangleG(f,a,b,n)qui calcule et renvoie l'integrale appro- chee de laFonctionf en subdivisant un intervalle de reels[a,b]ennsous-intervalles et en approximant l'aire par les rectangles gauches. b af=n-1? j=0δ(j) =hn-1? j=0f(xj) =hn-1? j=0f(a+j h) Ecrivez une fonctionintegraleRectangleD(f,a,b,n)qui calcule et renvoie l'integrale appro- chee de laFonctionf en subdivisant un intervalle de reels[a,b]ennsous-intervalles et en approximant l'aire par les rectangles droits. b af=n-1? j=0δ(j) =hn-1? j=0f(xj+1) =hn j=1f(a+j h) Unisciel algoprog { Calcul numerique d'integrale [nr03]4 Ecrivez une fonctionintegraleTrapeze(f,a,b,n)qui calcule et renvoie l'integrale approchee de laFonctionf en subdivisant un intervalle de reels[a,b]ennsous-intervalles et en approximant l'aire par les trapezes. b af=n-1? j=0δ(j) =hn-1? j=012 (f(xj+f(xj+1)) =h( 12 f(x0) +n-1? j=1f(xj) +12 f(xn)) =h( 12 f(a) +n-1? j=1f(a+j h) +12 f(b)) Ecrivez une procedureafficherCalculs(a,b,n)qui ache les resultats des trois methodes en subdivisant un intervalle de reels[a,b]enjsous-intervalles variant de2an. Achezaussi la valeur exacte de l'integrale comme dans l'extrait d'execution suivant :Limitesd "intégration? -0.1 0.7
Nombre
d intervalles ? 20 ==> 2 sous intervallesRectangle
Gauche
: 0.7801362618Rectangle
Droit : 0.6880714706Trapeze
: 0.7341038662 ==> 3 sous intervallesRectangle
Gauche
: 0.7703249413Rectangle
Droit : 0.7089484139Trapeze
: 0.7396366776 ==> 20 sous intervallesRectangle
Gauche
: 0.748555134Rectangle
Droit : 0.7393486549Trapeze
: 0.7439518944Calcul
exactIntegrale
exacte : 0.7440511038 Unisciel algoprog { Calcul numerique d'integrale [nr03]5 Ecrivez une proceduretest_recTrapezessaisit les limites d'integration et le nombre d'in- tervalles puis ache les resultats des calculs correspondants.Outil C++ Incluez la bibliotheque1.3 Methode de Simpson
La methode deSimpsonapproxime la fonctionfdans un sous-intervalle par une para- bole. La formule est la suivante : b af=h6 f(a) +f(b) + 2n-1? j=1f(xj) + 4n-1? j=0f(xj+h/2)) Notez quefest aussi calculee aux points milieux des intervalles dans cette methode. Ecrivez une fonctionintegraleSimpson(f,a,b,n)qui calcule et renvoie l'integrale approchee de laFonctionf en subdivisant un intervalle de reels[a,b]ennsous-intervalles et en approximant l'aire par la methode de Simpson. Ecrivez une procedureafficherCalculs2(a,b,n)qui ache les resultats de la methode des trapezes et de la methode deSimpsonen subdivisant un intervalle de reels[a,b]enj sous-intervalles variant de 2 an, et en passant en parametre a la methode des trapezes le double du nombre d'intervalles pour que la comparaison soit juste. Achez aussi lavaleur exacte de l'integrale comme dans l'extrait d'execution suivant :Limitesd "intégration? -0.2 0.5
Nombre
d intervalles ? 20 ==> 2*2 sous intervallesTrapeze
: 0.6763634308Simpson
: 0.6780984155 ==> 3*2 sous intervallesTrapeze
: 0.6773255595Simpson
: 0.6780955684 Unisciel algoprog { Calcul numerique d'integrale [nr03]6==> 20*2sous -intervallesTrapeze
: 0.6780775638Simpson
: 0.6780948698Exacte
: 0.6780948694 Ecrivez une proceduretest_simpsonqui saisit les limites d'integration et le nombre d'in-tervalles puis ache les resultats des calculs correspondants.Testez avec l'extrait d'execution ci-avant, l'integralite de l'exemple d'execution etant
fourni en telechargement ici. @[rsintegrat3.txt]