[PDF] Analyse numérique - Université de Rouen



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Analyse numerique

A. Blouza

email : adel.blouza@univ-rouen.fr bureau : M.1.29

ESITech { Universite de Rouen

1

Plan du cours

1.

Interp olationp olynomiale

2.1

M ethodede Lagrange

2.2

M ethodede Newton 2.Int egration

3.1

Rapp elsd'int egration

3.2

M ethodesd'app roximationd'une int egrale

3.3 Int egralesdoubles 3.R esolutionnum eriqued' equationsnon lin eaires 4.1

M ethodede la dichotomie

4.2

M ethodede p ointxe

4.3 M ethodede Newton 4.R esolutionde syst emeslin eaires 5.1

Conditionnement

5.2

D ecompositionCholesky ,LU 2

References bibliographiques

Analyse numerique :

I A. Fortin,Analyse numerique pour ingenieurs, Broche. IF. Filbet,Analyse numerique - algorithme et etude mathematique. Cours et exercices corriges,

Dunod.Pour aller plus loin,

IW. Rudin,Principes d'analyse mathematique : cours et exercices, Dunod. IM. Lefebvre,Equations dierentielles, Collection Parametres . IAllaire G. et Kaber S.M.,Algebre lineaire numerique : Cours et exercices, Ellipses. IDemailly J-P.,Analyse numerique et equations dierentielles, Presses Universitaires de Grenoble. IQuarteroni A., Sacco R. , Saleri F.,Methodes numeriques pour le calcul scientique : programmes en MATLAB, Springer. 3

Chapitre 1 : Interpolation polynomiale

Objectif :

App rocherune fonction dont on ne conna ^tl esvaleurs qu'en certains p oints.Lorsqu'une fonction connue analytiquement est dicile a evaluer, dierencier ou integrer par

ordinateur.Lorsque l'on dispose d'un nombre ni de valeurs obtenues experimentalement (etalonnage en

metrologie, releve de la temperature d'une reaction chimique au cours du temps, ...)Pourquoi une approximation polynomiale?

Toute fonction continue peut-^etre approchee par un polyn^ome, Supposons quefest denie et continue sur [a;b]. Pour tout" >0, il existe un polyn^ome

P(x) tel que :

jf(x)P(x)j< ";8x2[a;b]:Theoreme 1(d'approximation de Weirstrass)Calculs de derivees et d'integrales de polyn^omes sont plus aises.4

2.1 Quelques rappels sur les fonctions

Soientaun reel etfune fonction denie au voisinage dea, sauf eventuellement ena, et a valeurs

dansR. On noteDfle domaine de denition def.On dit queftend vers le reel`quandxtend versa, (ou quefa pour limite`ena) si

8 >0;9 >0;0

On note lim

x!af(x) =`ouf(x)!`quandx!a.Denition 1

Tout intervalle centre en`contient toutes les valeursf(x), pourxsusamment proche dea.La fonctionftend vers`quandxtend versa, si et seulement si, pour toute suite (xn),

a valeurs dansDfnfaget convergeant versa, la suite (f(xn)) converge vers`.Proposition 1 La fonctionfestcontinue en asifadmet une limite au pointaet que lim x!af(x) =f(a):

Autrement dit,

8 >09 >0;jxaj< ) jf(x)f(a)j :

Sifest continue en tout point d'un intervalleI, alors on dit quefestcontinue sur I.Denition 25 La fonctionfest continue ena, si et seulement si, pour toute suite (xn), a valeurs dans D fnfaget convergeant versa, la suite (f(xn)) converge versf(a).Proposition 2 Soitfune fonction d'un intervalleIdansR. On dit quefestd erivableau p ointx2 I si le taux d'accroissementx(h) =f(x+h)f(x)h admet une limite nie lorsquehtend vers 0. On appellenomb red erivede fau pointx cette limite, on la note f

0(x) = limh!0f(x+h)f(x)h

On dit quefest derivable surIsi elle admet une derivee en tout point deI.Denition 3 Sifest derivable enxalorsfest continue enx.Proposition 3

Remarque.La reciproque est fausse en general.

6 Soitn2N.On denit, si elle existe, la derivee n-eme def, f (p)= (f(p1))0;pour 1pn;

en posant par conventionf0=f:Si la derivee d'ordrendef,f(n)existe, on dit quefestnfois derivable surI,sif(n)est continue surIon dit quefest declasse CnsurI.On dit quefest declasse C1surIsi pour tout entiern,fest de classeCnsurIDenition 4

Soitfune fonction continue sur [a;b], derivable sur un intervalle ]a;b[ telle quef(a) =

f(b). Alors il existe au moins unc2]a;b[ tel quef0(c) = 0.Theoreme 2(de Rolle.)Soitfune fonction continue sur [a;b], derivable sur ]a;b[. Il existec2]a;b[ tel que

f(b) =f(a) + (ba)f0(c): On ecrit parfoisc=a+(ba) avec2]0;1[.Proposition 4(Formule des accroissements nis)7 Soitfune fonction derivable sur un intervalle [a;b], on suppose qu'il existe un reelMtel que

8x2[a;b];jf0(x)j M:

Alors,

8x1;x22[a;b];jf(x2f(x1)j Mjx1x2j:Corollaire 1(Inegalite des accroissements nis)Formule et inegalite de Taylor-Lagrange sont des generalisations du theoreme et de l'inegalite des

accroissements nis.Soitfune fonction denie sur un intervalle ouvertIcontenant un pointa, derivable n1 fois surI, et dont la deriveen-ieme enaexiste. On appellep olyn^omede T aylorde degrenenadef, le polyn^ome : P n(x) =f(a) +f0(a)1! (xa) +f00(a)2! (xa)2++f(n)(a)n!(xa)n:

On appelle

reste de T aylord'o rdrenenadef, la fonctionRnqui ax2 Iassocie : R n(x) =f(x)Pn(x):Denition 58 Soitfune fonction de classeCnsur [a;b], dont la derivee (n+ 1)eme existe sur ]a;b[. Il existecxentreaetxtel que R

n(x) =jxajn+1f(n+1)(cx)(n+ 1)!:Theoreme 3(Taylor-Lagrange)Soitfune fonction de classeCnsur [a;b], dont la derivee (n+ 1)eme existe sur ]a;b[.

On suppose qu'il existe un reelMtel que pour toutxdans ]a;b[,jf(n+1)(x)j M:Alors, f(x)nX k=0(x)kk!f(k)() M(x)n+1(n+ 1)!:Corollaire 2(Inegalite de Taylor-Lagrange)9

2.2 Approximation d'une fonction par son polyn

^ome de Taylor au voisinage d'un point Le polyn^ome de Taylor de degrenenadefest une approximation defau voisinagedea. Si l'on sait estimer l'erreurRn, on obtient la precision de l'approximation. Exemple.Polyn^omes de Taylor de degren= 1;;5, def(x) =exau point 0. P

1(x) = 1;P2(x) = 1 +x;

P

3(x) = 1 +x+x22

+x36 P

4(x) = 1 +x+x22

+x36 +x424 P

5(x) = 1 +x+x22

+x36 +x424 +x5120 :P

2(x)P4(x)P6(x)P8(x)P10(x)exx= 0:21:220000 1:221400 1:221403 1:221403 1:221403 1:221403x= 38:500000 16:375000 19:412500 20:009152 20:079665 20:08553710

Exemple.Polyn^omes de Taylor de degrendef(x) =1x

au point 1. P n(x) =nX k=0(1)k(x1)k:

L'approximation def(3) =13

a l'aide dePn(x) conduit a : n0 1 2 3 4 5 6 7 P n(3)11 35 1121 4385Le polyn^ome de Taylor donne une approximation precise d'une fonction en un point specique. Comment obtenir une approximation sur l'intervalle tout entier?

Formulation mathematique :

etantdonn es( n+ 1) couples (xi;yi) le probleme consiste a trouver une fonction (x) telle que (xi) =yi;i= 1;:::;m;

ou lesyisont donnes.On dit alors que interp olefyigiauxnuds fxigi.Lorsque est un polyn^ome on parle d'interpolation polynomiale.

Lorsque est un polyn^ome trigonometrique on parle d' interpolation trigonometrique Lorsque est un polynomiale par morceaux on parle d' interpolation polynomiale par morceaux (ou d' interpolation par fonctions splines ).11 Soient (n+1) couples (xi;yi). On cherche un polyn^ome mde degre inferieur ou egal amtel que m(xi) =amxmi++a1xi+a0=yi;i= 0;:::;n:Le polyn^ome

mest appelep olyn^omed'interp olation(o up olyn^omeinterp olant).Les pointsxisont appelesnuds d'interp olation.Denition 6

Notation :Lorsqueyi=f(xi),fetant une fonction donnee, le polyn^ome d'interpolation n(x) est note

nf(x).Dans tout ce qui suit on considerera le casn=m.Etant donne (n+ 1) points distinctsx0;:::;xnet (n+ 1) valeurs correspondantes

y

0;:::;yn, il existe un unique polyn^ome nde degre inferieur ou egal antel que

n(xi) =yipouri= 0;:::n.Theoreme 4(Existence et unicite)12

Comment trouver un tel polyn

^ome?1Methode generale : Remplacer les coordonnees des points dans l'expression du polyn^ome et resoudre le systeme lineaire. I

Procedure co^uteuse.

ISystemes mal conditionnes.2Methodes ad hoc :

1Methode de Lagrange.

2Methode de Newton.

F

M^eme polyn^ome que par la methode de Lagrange.

FCo^ut de calcul moins eleve que par la methode de Lagrange.3Methode de Hermite 4... 13

2.1 Polyn

^omes d'interpolation de LagrangeOn appellep olyn^omesca racteristiquesde Lagrange les p olyn^omes`idenis pouri=

0;:::;npar

i(x) =nY j=1;j6=ixxjx ixj:Denition 7 Notation.Soientu1;u2;;uN,Nreels. On note le produitu1u2 uNpar :QN i=1ui. Ainsi, les polyn^omes caracteristiques de Lagrange s'ecrivent :

0(x) =(xx1)(xxi)(xxn)(x0x1)(x0xi)(x0xn);

1(x) =(xx0)(xx2)(xxi)(xxn)(x1x0)(x1x2)(x1xi)(x1xn);

i(x) =(xx0)(xxi1)(xxi+1)(xxn)(xix0)(xixi1)(xixi+1)(xixn);i6=;0;1;n n(x) =(xx0)(xxi)(xxn1)(xnx0)(xnxi)(xnxn1):

Les polyn^omes caracteristiques de Lagrange :

sont de degren,sont tels que`i(xi) = 1;i= 0;:::net`i(xj) = 0 pour toutj6=i. 14 Les polyn^omes caracteristiquesf`igi=0;:::;nforment une base de l'ensemble des po- lyn^omes de degre inferieur ou egal an.Proposition 5

Ainsi,

Le polyn^ome interpolantfyigi=0;:::;naux nudsfxigi=0;:::ndans la basef`igi=0;:::;n s'ecrit n(x) =nX i=0y i`i(x):

Ce polyn^ome est appele

p olyn^omed'interp olationde Lagrange .Theoreme 515 Exemple.Determiner le polyn^ome de Lagrange interpolant les pointsy0= 10;y1= 4 ety2= 6 aux nudsx0=2;x1=1 etx2= 1.-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -20246810-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

246810121416

A gauche,Polyn^omes caracteristiques de Lagrange,`0;`1,`2, a droitePolyn^ome d'interpolation de Lagrange2.Exemple.Soientf(x) = cos(x) etq0= (0;1);q1= (=16;cos(=16)) etq2= (=8;cos(=8)).

1. Calculer l ep olyn^omed'interp olationde fpassant par ces 3 points et en deduire une approximation de cos(=32). 2. Calculer le d eveloppementde T aylorde fde degre 2 de la fonctionf(x) = cos(x) au voisinage de 0 et en deduire une approximation de cos(=32).16

2.2 Erreur d'interpolation

On appelle

p olyn^omeno dal de degr e( n+ 1) le polyn^ome deni par!0= 1 n+1(x) =nY i=0(xxi) = (xx0)(xx1):::(xxn);n0:Denition 8 Soientx0;:::;xn;(n+ 1) nuds distincts etxun point appartenant au domaine de denition def. Sif2 Cn+1(Ix), ouIxest le plus petit intervalle contenant les nuds x

0;:::;xnet le pointx. Alors, l'erreur d'interpolation au pointxest donnee par :

E n(x) =f(x)nf(x) =f(n+1)()(n+ 1)!!n+1(x);avec2Ix:Theoreme 6 Exemple.Soit la fonctionf(x) = 2xe(4x+2)denie sur l'intervalle [0:2;1]. 1. Calculer le p olyn^omed'interp olationde Lagrange interp olantfaux nudsx= 0;2 etx= 1. 2. P ourquelle valeur de x2[0:2;1] l'erreur d'interpolationjE2(x)jest-elle maximale?17

2.3 Forme de Newton du polyn

^ome d'interpolation Objectif :Etant donnees (n+ 1) paires (xi;yi);i= 0;:::n;ecrire ntel que n(x) = n1(x) +qn(x); ouqnest un polyn^ome de degrenne dependant que des nudsxiet d'un seul coecient inconnu.Alors : q n(x) =an(xx0)(xx1)(xxn1) =an!n(x); aveca0;;andes reels.Puisqueqn(xi) = n(xi)n1(xi) = 0 pouri= 0;;n1, on a necessairement q

n(x) =an(xx0)(xxn1) =an!n(x):Pour determiner le coecientan, supposons queyi=f(xi);i= 0;;n;oufest une fonction

donnee, pas necessairement sous forme explicite. Puisque nf(xn) =f(xn), on deduit que a n=f(xn)n1f(xn)! n(xn):Le coecientanest appelen-eme dierence divisee de Newtonet est so uventnot e a n=f[x0;x1;:::;xn]:Denition 918 Les polyn^omes nodauxf!igi=0;:::;nforment une base de l'ensemble des polyn^omes de degre inferieur ou egal an.Proposition 6quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9