Fonctions holomorphes

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Fonctions holomorphes

Fr´ed´eric H´elein

1 D´efinitions et exemples

1.1 D´efinitions

Nous donnons plusieurs d´efinitions possibles d"une fonction holomorphe. Dans la suite,Uest un sous-

ensemble ouvert deC,a?Uetfune fonction deUversC. D´efinition 1On dit quefest holomorphe ena?Usi et seulement si lim z→a,z?=af(z)-f(a) z-a existe. La limite se notef?(a)oudf dz(a)et s"appelle d´eriv´ee defena.

Analyse de la d´efinition 1

Premi`erement, il est possible de r´e´ecrire ce qui pr´ec`ede en f(z) =f(a) + (z-a)g(z), o`u ?g(z) =f(z)-f(a) z-a,siz?=a g(a) =f?(a).

Ainsi on voit imm´ediatement qu"une fonction holomorphe enaest n´ecessairement continue ena. Mais

on a mieux: cela entraˆıne en particulier quefest diff´erentiable, en tant que fonction de deux variables

xety. En effet, pour toutZ=X+iY?C, f(a+tZ) =f(a) +tZg(a+tZ). Donc f(a+tZ)-f(a) t=Zg(a+tZ)

admet une limite ent= 0, ´egale au nombre complexeZg(a) =Zf?(a). Doncfest diff´erentiable enaet

sa diff´erentielle enaest df a:C-→C

Z?-→Zf?(a),

l"application lin´eaire donn´ee par la multiplication parf?(a) dansC, donc soit une similitude directe, soit

l"application nulle. D"o`u la d´efinition: 1

D´efinition 2fest holomorphe enasi et seulement sifest diff´erentiable enaet sa diff´erentielle est

soit une similitude directe (c"est `a dire la compos´ee d"une rotation par une homoth´etie), soit nulle.

Analyse de la d´efinition 2

Une cons´equence est que, en notant

df a=? ∂f1 ∂x∂f1∂y ∂f2 ∂x∂f2∂y? o`uf=f1+if2etz=x+iy, alorsdfaest une similitude directe (ou l"application nulle) si et seulement si les relations suivantes sont v´erifi´ees ?∂f 1 ∂x-∂f2∂y= 0 ∂f 1 ∂y+∂f2∂x= 0., Ces identit´es portent le nom d"´equation de Cauchy-Riemann.

Remarquetoute applicationR-lin´eaireA:C-→Rpeut s"´ecrire de fa¸con unique sous la forme

A(z) =λz+μ

z, o`uz=x+iyet z=x-iyetλetμsont deux constantes complexes. En effet, si on ´ecrit matriciellement

A=?a11a12a21a22?

n´ecessairement, ?λ=1

2(a11+a22) +i2(a21-a12)

μ=1

2(a11-a22) +i2(a21+a12).

En particulier, sif:U-→Cest diff´erentiable ena, on peut appliquer cela `adfa. On noteraλ=∂f

∂z(a) etμ=∂f ∂z(a) et on a ainsi df a=∂f ∂z(a)dz+∂f∂z(a)dz, o`u ∂f ∂z(a) =12? ∂f∂x(a)-i∂f∂y(a)? ,∂f∂z(a) =12? ∂f∂x(a) +i∂f∂y(a)? D´efinition 3fest holomorphe enasi et seulement sifest diff´erentiable enaet∂f ∂z(a) = 0. On note alors ∂f ∂z(a) =dfdz(a). D´efinition 4fest holomorphe surUsi et seulement sifest holomorphe en tout point deU. L"ensemble des fonctions holomorphes surUse noteH(U). 2

Propri´et´esa) sifest holomorphe surUet si∂f∂z= 0 partout, alorsfest localement constante (en effet,

on a alorsdf= 0). b) (H(U),+,×) est une alg`ebre. En effet,?f,g? H(U),f+g? H(U),fg? H(U) et (f+g)?=f?+g?et (fg)?=f?g+fg?. c) Sif? H(U),g? H(V) etf(U)?V, alorsg◦f? H(U) et (g◦f)?= (g?◦f)f?.

1.2 Exemples

a) SiPest un polynˆome, f(z) =P(z)? H(C) etf?(z) =P?(z) au sens alg´ebrique. b)f:z?-→1 z? H(C?) et f ?(z) =-1 z2. c) SiPetQsont des polynˆomes complexes et si{a1,...,ak}sont les racines deQ,P

Q? H(C\{a1,...,ak}).

d) Les s´eries enti`eres n=0a nzn, sur leurs disques de convergence. (cf plus loin.)

Contre-exemples

|z|, Re(z), Im(z), z,|z|2. . .

Proposition 1Soit?∞n=0anzn, une s´erie enti`ere de rayon de convergenceR(id estlimn→0anrn= 0

d`es quer < R). Alors,?z?B(0,R), f(z) =∞? n=0a nzn existe (au sens de la convergence normale sur tout compact inclus dansB(0,R)), est holomorphe sur

B(0,R)et

f ?(z) =∞? n=0na nzn-1.

Preuve

Soita?B(0,R) etz?B(0,R). Pour ´etudier

lim z→a,z?=af(z)-f(a) z-a, 3 Uz a R0 (R+|a|)/2(R-|a|)/2

Figure 1: sur la preuve de la Proposition 1

on peut toujours supposer que|a-z|2. Alors, f(z)-f(a) z-a=∞? n=1a nzn-anz-a. Or, ?zn-an z-a???? =|zn-1+azn-2+...+an-2z+an-1| 2? n Et ?∞n=1nan?|a|+R 2? nest absolument convergente. Donc on peut permuter la limiteet la sommation, lim z→a,z?=af(z)-f(a) z-aexiste et vaut∞? n=0a nlimz→a,z?=az n-anz-a=∞? n=0na nzn-1. CQFD.

Exemplesez=?∞n=0zn

n!appartient `aH(C). Il en est de mˆeme pour cosz=eiz+e-iz2, sinz=eiz-e-iz2i, chz=ez+e-z

2et shz=ez-e-z2. On construit aussi ainsi tanz=sinzcosz, qui appartient `aH(C\(π2+πZ)).

1.3 Th´eor`eme d"inversion locale

Th´eor`eme 1Soita?Uetf? H(U)tels quef?(a)?= 0. Alors il existe un voisinageUadeadans Uet un voisinageVf(a)def(a)tel que la restrictionf:Ua-→Vf(a)soit un diff´eomorphisme et que l"application inverse soit holomorphe, avec f-1?-1(z) =1 f?◦f-1(z). 4

PreuveIl s"agit de r´esoudre localement l"´equationf(z) =v, o`uzest l"inconnu. L"hypoth`esef?(a)?= 0

entraˆıne que la diff´erentielledfaest une similitude directe deR2et donc est inversible. Le th´eor`eme

d"inversion local, appliqu´e aux applications d"un ouvertdeR2dansR2nous permet d"en d´eduire que

f:Ua-→Vf(a)est diff´eomorphisme. De plus, nous savons que, siφ:=f-1:Vf(a)-→Ua, ?z?Ua, dφf(z)◦dfz= 1l,

donc, en tout pointv=f(z),dφvest l"inverse d"une similitude directe deR2, donc ´egalement une simil-

itude directe. Cela prouve queφ=f-1est aussi holomorphe. Finalement il est simple de d´eduire de

cette relation que le produitφ?(v)f?(z) dansCvaut 1.CQFD.

Application: d´efinition du logarithme complexe. Lad´etermination principale du logarithme complexe

est l"unique application continue

Log :C\]- ∞,0]-→C

telle queeLogz=zet Log1 = 0. On peut v´erifier que, pour toutz?C\]- ∞,0], il existe un unique

ρ?]0,∞[ et un uniqueθ?]-π,π[ tels quez=ρeiθet qu"ainsi

Logz= Logρ+iθ.

En utilisant le th´eor`eme pr´ec´edent, on d´eduit que Log? H(C\]- ∞,0]). (Remarque: Log applique

C\]- ∞,0] dansR?]-iπ,iπ[.)

Log - ι 2πι 2 π Figure 2: la d´etermination principale du logarithme complexe

2 Int´egrale de Cauchy

2.1 D´efinitions

Soit Γ une courbe r´eguli`ere(de classeC1), orient´eedansU?C. Cela signifie qu"il existe une param´etrisation

γ:I-→Uavec

γest de classeC1

pour toutt?I, γ(t) =dγ

dt?= 0 5

γest injective.

On suppose de plus que l"on a choisiγparcourant Γ dans le sens direct. D´efinition 5Soitf:U-→Cune application continue. On note f(z)dz:=? I f◦γ(t)γ(t)dt.

On appelle cette quantit´eint´egrale de Cauchy. (Remarque: dans l"int´egrale de droite,f◦γ(t)γ(t)est un

nombre complexe.)

On peut proposer une autre d´efinition.

D´efinition 6Soitf:U-→Cune application continue. On lui associe la 1-forme `a coefficients

complexesα:=f(z)dz. SoitΓ+une courbe orient´ee r´eguli`ere deC. L"int´egrale de Cauchy?

Γ+f(z)dz

defle long deΓest ´egale `a l"int´egrale de la 1-forme ou encore D´efinition 7Soitf:U-→Cune application continue. D´ecomposonsf=f1+if2, o`uf1etf2sont

deux fonctions r´eelles surU. On leur associe les 1-formes `a coefficients r´eelsβ1:=f1(z)dx-f2(z)dyet

2:=f2dx+f1dy. SoitΓ+une courbe orient´ee r´eguli`ere deC. L"int´egrale de Cauchy?

Γ+f(z)dzdef

le long deΓest ´egale `a la somme des int´egrales

β1+i?

β2.

L"´equivalence entre les deux derni`eres d´efinitions r´esulte de l"identit´e

α= (f1+if2)(dx+idy) =β1+iβ2.

On peut ´etendre toutes ces d´efinitions au cas o`u Γ est continue etC1par morceau (une ligne bris´ee). Cela

signifie, notantI=]t0,tn[, que l"on peut trouver une param´etrisation continueγ:]to,tn[-→Uet qu"il

existent des pointst0< t1< ... < tn-1< tntels que pouri= 1,...,n, la restrictionγ|]ti-1,ti[co¨ıncide

avec un plongement de [ti-1,ti]. Alors f(z)dz=n? i=1? ti t i-1f◦γ(t)γ(t)dt.

2.2 Formule de Stokes complexe et formule de Cauchy

Th´eor`eme 2SoitΩun ouvert deCdont le bord est une courbe r´eguli`ere (C1). Nous orientons la courbe

∂Ωde la fa¸con suivante: sinest la normale ext´erieure `a∂Ωettest tangent `a∂Ω, alorstest dans le sens

direct si et seulement si(n,t)est un rep`ere direct deC. et nous notons∂Ω+la courbe ainsi orient´ee.

SoitUun ouvert deCcontenantΩetf? C1(U,C). Alors, ∂Ω+f(z)dz= 2i?

Ω∂f

∂z(z)dxdy. 6

Corollaire 1Sif? H(U), alors?

∂Ω+f(z)dz= 0.

Preuvea)notations r´eelles

On afdz= (f1dx-f2dy)+i(f2dx+f1dy). Nous appliquons la formule de Stokes pour les deux formes sur Ω. ∂Ω+f1dx-f2dy=? d(f1dx-f2dy) =? -?∂f1 ∂y+∂f2∂x? dx?dy, et ∂Ω+f2dx+f1dy=? d(f2dx+f1dy) =? ∂f1 ∂x-∂f2∂y? dx?dy.

D"o`u le r´esultat.

b)notations complexes On travaille avec la formule de Stokes `a coefficients complexes: ∂Ω+f(z)dz=? d(f(z)dz) ∂f ∂zdz+∂f∂zdz? ?dz

Ω∂f

∂zdz?dz

2i∂f

∂zdx?dy. CQFD. Corollaire 2(Formule de Cauchy) Soita?Ωetf? H(U), o`u

Ω?U, alors

∂Ω+f(z)dz z-a= 2πif(a). aΩ

Figure 3: La formule de Cauchy

PreuveOn consid`ere, pour? >0 suffisamment petit,

B(a,?)?Ω et Ω?:= Ω\B(a,?). Commez?-→f(z)z-a est holomorphe sur

Ω?, on a

∂Ω+?f(z)dz z-a= 0. 7

Noter que l"orientation sur la courbe∂B(a,?), vue comme une composante connexe du bord de Ω?est

l"inverse de celle obtenue en consid´erant cette courbe comme le bord deB(a,?). Ainsi, (∂Ω+?) = (∂Ω+)?(∂B(a,?)-).

Donc on a

∂Ω+f(z)dz z-a-? ∂B(a,?)+f(z)dzz-a= 0. Or, ∂B(a,?)+f(z)dz z-a=? 2π

0f(a+?eiθ)a+?eiθ-a?ieiθdθ=i?

2π 0 f(a+?eiθ)dθ.

Utilisons le fait quefest continue ena:?η >0,?? >0,|f(z)-f(a)|< ηsurB(a,?). Cela entraˆıne que

?2πif(a)-? ∂B(a,?)+f(z)dz z-a????? 2π 0 (f(a)-f(a+?eiθ))idθ???? Donc, lim ?→0? ∂B(a,?)+f(z)dz z-a= 2πif(a), et on en d´eduit la formule.CQFD.

3 Cons´equences de la formule de Cauchy

3.1 Les fonctions holomorphes sont analytiques complexes

Th´eor`eme 3Soitf? H(U), alors pour tout pointa?Uet toutR >0tel que

B(a,R)?U,fest

analytique complexe surB(a,R)et?z?B(a,R), f(z) =? n≥0a n(z-a)n (s´erie convergente surB(a,R)). PreuveUtilisons la formule de Cauchy: pour toutz?B(a,r), f(z) =1

2πi?

∂B(a,R)+f(v)dvv-z=12πi? ∂B(a,R)+11-? z-av-a?f(v)dvv-a 1

2πi?

∂B(a,R)+∞ n=0(z-a)n(v-a)nf(v)dvv-a. La s´erie qui apparaˆıt ´etant normalement convergente pourv?∂B(a,R), on a f(z) =1

2πi∞

n=0(z-a)n? ∂B(a,R)+f(v)dv(v-a)n+1=∞? n=0a n(z-a)n, 8 o`u a n=1

2πi?

∂B(a,R)+f(v)dv(v-a)n+1, et sup ∂B(a,R)|f(z)|? R -n. CQFD.

Corollaire 3Sif? H(U), alorsfest d´erivable ind´efiniment et toutes ses d´eriv´eesf(n)sont aussi dans

H(U).

PreuveCela r´esulte de l"´equivalence entre analytique et holomorphe et du fait que toute fonction ana-

lytique est ind´efiniment d´erivable et que ses d´eriv´ees sont toutes analytiques.CQFD. RemarqueOn a deux d´eterminations a posteriori des coefficientsan: a n=1

2πi?

3.2 Th´eor`eme de Liouville

D´efinition 8Une fonction holomorphe sur toutCest dite enti`ere.H(C)est ainsi l"ensemble des fonc-

tions enti`eres. Lemme 1Soitf? H(C), alors pour toutn?N, etR?]0,∞[, 1 n!f(n)(0) =12πi? ∂B(0,R)+f(z)dzzn+1, la s´erie ?∞n=01 n!f(n)(0)zna un rayon de convergence infini et f(z) =∞? n=01 n!f(n)(0)znsurC.

PreuveLa d´emonstration de ce r´esultat est une r´ep´etition de celle du th´eor`eme pr´ec´edent. La seule chose

`a v´erifier concerne le rayon de convergence. Pour toutR?]0,∞[,fest born´ee sur le compact∂B(0,R):

et ainsi , en vertu de (1), 1

Donc le rayon de convergence de la s´erie est sup´erieur `aR. CommeRest arbitraire, cela prouve le

r´esultat.CQFD. 9

Th´eor`eme 4Soitf? H(C), alors

sifest uniform´ement born´ee surC,fest constante silim|z|→∞f(z) = 0, n´ecessairementf= 0 polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `ak

PreuveOn a

f(z) =∞? n=0a nzn avec sup z?∂B(0,R)|f(z)|? R -n, donc sifest uniform´ement born´ee surC,an= 0 pour toutn≥1 etf(z) =a0 Si lim|z|→∞f(z) = 0,an= 0 pour tout?Netf= 0 petit entier strictement plus petit quek. CQFD. Corollaire 4(Th´eor`eme de D"Alembert) Tout polynˆomeP?C[X]non constant admet une racine dans

C(id estCest alg´ebriquement clos).

PreuveSoitP?C[X], un polynˆome non constant. Supposons quePne s"annule jamais, alorsf(z) = 1

P(z)est une fonction enti`ere qui tend vers 0 lorsque|z|tend vers l"infini (puisque n´ecessairement|P(z)|

tend∞lorsque|z|tend vers l"infini). Donc le th´eor`eme de Liouville nous ditquef= 0, c"est une

contradiction.CQFD.

4 Z´eros et singularit´es d"une fonction holomorphe

4.1 Les z´eros d"une fonction holomorphe

Lemme 2Soitf? H(U),a?U. Alors trois cas se pr´esentent

f(a)?= 0, alorsf?= 0sur un voisinage dea.

f(a) = 0et?k?Ntel quedkf

dzk(a)?= 0, alors il existe une bouleB(a,?)dansUtelle quef?= 0sur B(a,?)\ {a}et mˆemef(z) = (z-a)kg(z)surB(a,?), o`ugest non nulle surB(a,?)

f(a) = 0et?k?N,dkf

dzk(a) = 0, alorsfest nulle sur un voisinage dea 10 PreuveSi le premier cas se produit, le fait quefne s"annule pas sur un voisinage deaest juste un

cons´equence de la continuit´e def. Dans le deuxi`eme cas, soitk0le plus petit entier tel quedk0f

dzk0(a)?= 0.

Alors, puisquefest analytique,

f(z) =∞? n≥k0a k(z-a)k,avecak0?= 0, ou bien encoref(z) = (z-a)k0g(z), avec g(z) =ak0?

1 +∞?

n=1a n+k0 ak0(z-a)n? fonction non nulle sur un voisinage dea.

Enfin, il est clair que si les deux premiers cas ne se produisent pas, on se retrouve dans le dernier cas

et, sur un voisinage dea, f(z) =∞? n=01 n!d nfdzn(a)(z-a)n= 0. CQFD. D´efinition 9Soitf? H(U),a?U. Dans le cas o`ufne s"annule pas sur un voisinage dea, on appelle ordre defenaet on note ordafle plus petit entierk0tel quef(k0)(a)?= 0. Dans le cas o`ufs"annule sur un voisinage dea, on pose ordaf=∞.

A l"aide de ce qui pr´ec`ede, nous sommes en mesure de prouverle r´esultat suivant, qui sera `a la base du

prolongement analytique d"une fonction holomorphe. Th´eor`eme 5 (prolongement analytique)Supposons queUest un ouvert deC. Soitf? H(U), alors a) l"ensembleΩ ={a?U/ordaf=∞}est ouvert et ferm´e dansU b) sif-1(0)poss`ede un point d"accumulationint´erieur`aUet siUest connexe, alorsf= 0.

PreuveMontrons d"abord a):

Ω est ouvert

, car d"apr`es le lemme pr´ec´edent, sia?Ω,fs"annule sur un voisinage dea, donc en particulier ce voisinage est inclus dans Ω.

Ω est ferm´e

car c"est une intersection de ferm´es: k?N(f(k))-1(0).

A pr´esent, soitAl"ensemble des points d"accumulation def-1(0) int´erieurs `aUet montrons queA= Ω

(notons qu"`a cause de la continuit´e def, il est imm´ediat queA?f-1(0)). En effet, sian"est pas dans

Ω, ord

af <∞, alors d"apr`es le lemme qui pr´ec`ede, il existe une bouleB(a,?)?U, telle quef?= 0 surB(a,?)\ {a}et doncaest un z´ero isol´e. Donc,an"est pas dansA. Par contrapos´ee,A?Ω.

R´eciproquement, sia?Ω, alors, toujours d"apr`es le lemme qui pr´ec`ede,fs"annule sur un voisinage dea,

donc en particuliera?A. Donc Ω?A. Donc Ω =Aet, en vertu de a),Aest ouvert et ferm´e dansU. Dans le cas o`uUest connexe, il en r´esulte que soitA=∅, soitA=U. Donc sif-1(0) poss`ede un point d"accumulation,A=Uet doncf= 0 surU.CQFD. 11 Corollaire 5SoitUun ouvert connexe deCetf,g? H(U). Alors, si l"une des deux hypoth`eses suivantes est satisfaites

?a?U,?k?N,

f (k)(a) =g(k)(a), ou

il existe une suite de pointsxn, tous distincts et appartenant `aU, telle quelimn→∞xn?Uet

?n?N,f(xn) =g(xn) alorsf=gsurU. PreuveAppliquer le th´eor`eme pr´ec´edent (prolongement analytique) avecf-g.

4.2 Singularit´es d"une fonction holomorphe

Nous allons commencer par analyser une fonction holomorphesur un anneau. Lemme 3Soit0< r1< r2<∞etAr1,r2={z?C/r1<|z-a|< r2}. Soitf? H(U), o`uUest un ouvert deCcontenant

Ar1,r2. Alors, pour toutz?Ar1,r2,

f(z) =? n?Za n(z-a)n, o`u la s´erie

?∞n=0antna un un rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `ar2et la s´erie?∞n=1a-ntna un

rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `a 1 r1. De plus,anest donn´e par l"int´egrale suivante, ind´ependante der: a n=1

2πi?

∂B(a,r)+f(v)(v-a)n+1dv, pour toutr1< r < r2. PreuveGrˆace `a un changement de variable, on peut toujours supposer quea= 0. Posons a n,r:=1

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