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Universit´e de Nice - Sophia Antipolis2008-2009 Pr eparation Agr´egation - Analyse Fonctions holomorphes : Application ouverte, logarithme. Ex. 1 : l"exponentielle complexe.Lire le prologue du Rudin (p. 1-3) sur la fonction exp. Ex. 2 : Le th´eor`eme de l"application ouverte.On se propose de montrer le r´esultat : siΩ?Cest un ouvert connexe, et sif? H(Ω), alorsf(Ω)est ouvert ou r´eduit `a un point.
1)a)Soita?Ω etf? H(Ω). Exprimer le jacobien defvue de Ω?R2dansR2en fonction def?(a)
en utilisant les ´equations de Cauchy-Riemann. On suppose quef?(a)?= 0. Montrer qu"il existeUetV, ouverts deC, tels quea?U,f(a)?Vetf:U→Vsoit unC∞-diff´eomorphisme. V´erifier quedfa pr´eserve l"orientation. b)En ´ecrivantV?w=f(z) pourz?U, v´erifier que l"inverse def:U→Vest holomorphe (prendreU plus petit si besoin).c)Retrouver le r´esultat pr´ec´edent en utilisant les ´equations de Cauchy-Riemann ou le fait quedfzsoit
une similitude directe.2)a)Sim?N?, montrer que l"applicationπ:C→Cd´efinie parπ(z) =zmest ouvertei.e.siω?Cest
ouvert,π(ω) est ouvert. Sia?ω, on s´eparera le casa?= 0 eta= 0. b)Soita?Ω etf? H(Ω). On suppose queaest un z´ero d"ordre finim?N?def-f(a). Montrerqu"on peut supposera=f(a) = 0. A l"aide d"un d´eveloppement en s´erie enti`ere, montrer qu"il existe un
voisinageUde 0 eth:U→Cholomorphe telle quef(z) =zmh(z) dansU, avech(0)?= 0. c)Justifier qu"il existe un voisinageV?Ude 0 etg:V→Cholomorphe telle queh(z) =g(z)mdansV.D´emontrer que siF(z) =zg(z) dansV,Fest holomorphe dansVetF?(0)?= 0. En d´eduire qu"il existe un
voisinageW?Vde 0 tel queF:W→F(W) soit bi-holomorphe. Conclure alors quef(W) =π◦F(W) est un ouvert contenant 0.3)D´emontrer le th´eor`eme annonc´e.
Ex. 3 : Logarithmes complexes.
1)a)On d´efinit pourz?C\R-l"argument dezcomme Arg(z) = 2arctan?y
x+⎷x2+y2?. V´erifier que Arg est continue surC\R-. On d´efinit la d´etermination principale du logarithme surC\R-parlog(z) = ln(|z|) +iArg(z). D´emontrer que log est continue, log = ln surR?+, et que exp(log(z)) =zsi
z??R-, et log(exp(z)) =zsi|Im(z)|< π. Justifier que log? H(C\R-) en utilisant l"Ex. 2 1).b)Soitα?R. V´erifier que la formule logα(z) = log(ei(π-α)z)-i(π-α) d´efinit une branche du logarithme
logα? H(C\eiαR+). Pour quelαa-t-on logα= log ? Justifier que log et logαco¨ıncident sur un secteur
angulaire.2)Application `a un calcul d"int´egrale.Soit l"int´egrale
I=?0ln(t)
⎷t(1 +t2)dt.V´erifier l"existence deI. On consid`ere la branche log du logarithme d´efinie surC\(iR-), et on pose
f(z) =log(z)(1 +z2)exp(12log(z)). V´erifier quefest m´eromorphe surC\(iR-), avec un pˆole, et on donnera
le r´esidu. Pour 0< ε <1< R, on consid`ere le contour orient´e ΓRεdans le demi-plan{Im≥0}constitu´e
des segments [-R,-ε] et [ε,R], et des demi-cercles de centre 0 et de rayonsεetR( l"orientation ´etant
naturelle ). Appliquer la formule des r´esidus `afsur le contour ΓRε. Justifier que les int´egrales sur les deux
arcs de cercle tendent vers 0 quandε→0 etR→+∞en majorant le module de la fonction int´egr´ee.
En d´eduire la valeur deI, ainsi que la valeur de? 0dt ⎷t(1 +t2).3)Application `a un autre calcul d"int´egrale : la formule descompl´ements.
Calculer, pours?C, Re(s)?]0,1[ (on peut prendres?]0,1[ si on pr´ef`ere),?+∞ 0u s-11 +udu.
On utilisera le log d´efini surC\R+, la fonctionf(z) =e(s-1)log(z)1 +zet pour 0< ε <1< Rle contour
R εd´efini comme ´etant le " Pac-Man " d´efinit comme suit. On poseθ0= arcsin(εR), de sorte que
Reiθ0=Rcos(θ0) +iε, et on d´efinit ΓRεcomme le segment [iε,Rcos(θ0) +iε], puis l"arc de cercleReiθ,
un dessin, bien sˆur !). Quandε→0 etR→+∞, justifier que les int´egrales sur les arcs de cercle tendent
vers 0 et donner les limites des int´egrales sur les deux segments. En d´eduire queI=π sin(πs). Pour le lien avec la fonction Γ et la formule des compl´ements, voir par exempleL. Schwartz.Ex. 4 : Applications conformes.
1)SoitA:C→C R-lin´eaire et injective. On dit queApr´eserve les angles si pour tousu,v?C?, l"angle
entreA(u) etA(v) est le mˆeme qu"entreuetv. a)Montrer queApr´eserve les angles ssi l"argument deA(z) zest ind´ependant dez?= 0.b)En notantα,β?Ctels queA(z) =αz+β¯zpourz?C, montrer queApr´eserve les angles ssiβ= 0,
i.e.Aest une similitude directe.