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Généralités sur les

fonctionsTable des matières

1 Définition

1.1 Fonction numérique

1.2 Ensemble de définition

1.3 Comparaison de fonctions

2 Parité d"une fonction

2.1 Fonction Paire

2.2 Fonction impaire

3 Autres symétrie

3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical

3.2 Symétrie par rapport à un point

3.3 Des représentations déduites par symétrie

4 Variation d"une fonction

5 Résolution graphique

6 Composée de deux fonction

6.1 Définition

6.2 Application

6.3 Variation d"une fonction composée

6.4 Variations de fonctions

16 PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

21 DÉFINITION1Définition

1.1Fonctionnumérique

Définition 1 :Une fonction numériquefd"une variable réellexest une relation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x).

On écrit alors :

f:RouDf!R x7!f(x)Attention :Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x)qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.

Exemples ::

êf(x) =3x7fest une fonction affine

êf(x) =5x22x+1fest une fonction du second degré

êf(x) =x+22x3fest une fonction homographique

1.2Ensemblededéfinition

Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des valeurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définieExemples : 1) Soit la fonction fdéfinie parf(x) =p4xa pour ensemble de définition : D f=]¥;4] (on doit avoir 4x>0) 2)

Soit la fonction gdéfinie parg(x) =3x

25x6a pour ensemble de défini-

tion :Dg=Rf1;6g (on doit avoirx25x66=0,x=1 racine évidente)

1.3Comparaisondefonctions

Définition 3 :On dit que deux fonctionfetgsont égales si et seulement si : êElles ont même ensemble de définition :Df=Dg

êPour toutx2Df,f(x) =g(x)Exemple :

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

1.3 COMPARAISON DE FONCTIONS3Les fonctionfetgdéfinies respectivement par :

f(x) =rx1x+3etg(x) =px1px+3

Sont-elles égales?

Déterminons leur ensemble de définition :

Pourf, on doit avoir :x1x+3>0, ce qui donneDf=]¥;3[[[1;+¥[ Pourg, on doit avoir :x1>0 etx+3>0, ce qui donneDg= [1;+¥[ On a donc :Df6=Dg. Les fonction ne sont donc pas égales.

On remarquera cependant que sur[1;+¥[, on af(x) =g(x)Définition 4 :SoitIun intervalle et soientfetgdeux fonctions définies

au moins surI. On dit que : êfest inférieure àgsurIlorsque :f(x)6g(x)pour toutx2I. On note : f6gsurI. êfest positive surIlorsque :f(x)>0 pour toutx2I. On note :f>0 sur I. êfestmajoréesurIlorsqu"il existe un réelMtel que :f(x)6Mpour tout x2I. êfestminoréesurIlorsqu"il existe un réelmtel que :m6f(x)pour tout x2I. êfestbornéesurIlorsqu"il existe des réelsMetmtels que :m6f(x)6M

pour toutx2I. (fest majorée et minorée)Remarque :La relation d"ordre pour les fonctions n"est pas totale car deux

fonctions ne sont pas toujours comparables. On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =xetg(x) =x2.

On a par exemple :

12 >12 2 ,f12 >g12

2<22,f(2) Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x(1x). Démontrer quefest majorée surR.
On met la fonction sous la forme canonique :
f(x) =x2+x=(x2x) =" x12 2 14 La parabole représentantfest tournée vers le bas et son sommet a pour or- donnée 14 . La fonctionfest donc majorée surR. Exemple :Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4sinx3 est bornée.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES
42 PARITÉ D"UNE FONCTIONOn a pour toutx2R:

16sinx61

464sinx64

764sinx361

76g(x)61
gest donc bornée surR.Propriété 1 :Sifune fonction monotone sur un intervalleI= [a;b]alors fest bornée.Démonstration :Supposons quefest croissante sur[a;b](le casfdécrois- sante se traite de façon analogue). Soitx2[a;b], on a alors :a6x6b, commefest croissante, elle conserve la relation d"ordre, d"où :f(a)6f(x)6f(b). On peut prendrem=f(a)et
M=f(b),fest donc bornée.

2Paritéd"unefonction

2.1FonctionPaire
Définition 5 :On dit qu"un fonctionfest paire si et seulement si l"on a : êSon ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.
ê8x2Df,f(x) =f(x)Exemples :
Les fonctions suivantes sont paire sur leur ensemble de définition : f(x) =x2,f(x) =cosx,f(x) =sinxx ,f(x) =5x4+3x21 Remarque :Ces fonction paires doivent leur nom au fait que les fonctions po- lynomes qui ne contiennent que des puissances paires sont telle que : f(x) =f(x)PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES
2.2 FONCTION IMPAIRE5Propriété 2 :La représentation d"une fonction paire est symétrique par
rapport à l"axe des ordonnées.On a donc le graphe suivant pour une fonction paire :
2.2Fonctionimpaire
Définition 6 :On dit qu"un fonctionfest impaire si et seulement si l"on a : êSon ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.
ê8x2Df,f(x) =f(x)Exemples :
Les fonctions suivantes sont impaire sur leur ensemble de définition : f(x) =x3,f(x) =sinx, tanx,f(x) =1x ,f(x) =4x33x Remarque :Ces fonction impaires doivent leur nom au fait que les fonc- tions polynomes qui ne contiennent que des puissances impaires sont telle que f(x) =f(x)Propriété 3 :La représentation d"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"origine.On a donc le graphe suivant pour une fonction impaire :
PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

63 AUTRES SYMÉTRIE3Autressymétrie
3.1
Symétrie par rapport à un axe vertical
Soit la fonctionftel quef(x) =x22x1 dont la courbe est représentée ci-dessous :Manifestement la courbe semble symétrique par rapport à l"axe verticale x=1. Pour montrer cela, prenons un nouveau repère centré enA(1;0)en gar- dant le même système d"unité. Un pointMde la courbe a pour coordonnée dans le repère d"origine (x;y=f(x))et dans le nouveau repère(X;Y=g(X)). Pour
montrer la symétrie, il suffit de montrer que la nouvelle fonctiongest paire.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

3.2 SYMÉTRIE PAR RAPPORT À UN POINT7Théorème 1 :SoitA(a;0)dans le repère(O,~ı,~â).
Si un pointMa pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,~ı,~â)et(X;Y)dans un repère(A,~ı,~â), alors, on a les relations (X=xa
Y=yRevenons à notre exemple, on a alors :
(X=x1
Y=f(x),(x=X+1
g(X) = (X+1)22(X+1)1 (x=X+1 g(X) =X2+2X+12X21,(x=X+1 g(X) =X22 Comme la fonction carrée est paire, la fonctiongest paire et donc la courbe de fest symétrique par rapport à la droitey=1.
3.2Symétrieparrapportàunpoint
Soit la fonctionftel quef(x) =2x1x+1dont la courbe est représentée ci- dessous :PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES
83 AUTRES SYMÉTRIEManifestement la courbe semble symétrique par rapport au pointI(1;2).
Pour montrer cela, prenons un nouveau repère centré enI(1;2)en gardant le d"origine (x;y=f(x))et dans le nouveau repère(X;Y=g(X)). Pour montrer la
symétrie, il suffit de montrer que la nouvelle fonctiongest impaire.Théorème 2 :SoitI(a;b)dans le repère(O,~ı,~â).
Si un pointMa pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,~ı,~â)et(X;Y)dans un repère(I,~ı,~â), alors, on a les relations (X=xa
Y=ybRevenons à notre exemple, on a alors :
(X=x+1
Y=f(x)2,8
:x=X1 g(X) =2(X1)1X1+12,8 :x=X1 g(X) =2X3X 2 8 :x=X1 g(X) =2X32XX ,8 :x=X1 g(X) =3X Comme la fonction inverse est impaire, la fonctiongest impaire et donc la courbe defest symétrique par rapport au pointI. Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x33x2+1 représentée ci-dessous. 1)
Déduir eles courbes des fonctions g,
h,kdéfinies surRpar : a)g(x) =f(x) b)h(x) =jf(x)j c)k(x) =f(x) 2)
On définie sur Rla fonctionFpar :

F(x) =f(jxj).
a)
Démontr erque la fonction Fest
paire b) En déduir ela r eprésentationde F/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /
PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

3.3 DES REPRÉSENTATIONS DÉDUITES PAR SYMÉTRIE91)a) Soient MetM0les points deCfetCg
d"abscissesx. On a donc :
M(x;f(x))etM0(x;f(x))

SoitIle milieu de[MM0]. Les coor-
données deIsont :I(x;0). Le point
Iest donc sur l"axe des abscisses.

Donc, pour tout pointMdeCf
d"abscissex, le pointM0deCgd"abs- cissexest tel que :M0=S(Ox)(M).
La courbeCgest donc bien l"image
deCfpar la symétrie par rapport à (Ox)b)La fonction hest tel queh(x) =f(x) lorsquef(x)>0 eth(x) =f(x) lorsquef(x)<0. On déduit alors la courbeChen ne changeant rien lorsquef(x)>0 et en faisant une symétrie par rapport à l"axe(Ox) lorsquef(x)<0.c)Soit Mle point deCfd"abscissex.
On a donc :M(x;f(x)).

SoitM0le point deCkabscissex.

Ainsi :M0(x;f(x))

SoitIle milieu de[MM0]. Les co-
ordonnées deIsont :I(0;f(x)). Le pointIest donc sur l"axe des ordon- nées.
Donc, pour tout pointMdeCfabs-
quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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