[PDF] evaluation organisation et gestion de données 6ème
[PDF] module 4 gestion du temps
[PDF] cours gestion de temps pdf
[PDF] quels sont les obstacles de la gestion du temps
[PDF] exercices gestion temps doc
[PDF] gestion du temps sofad
[PDF] grandeurs et mesures cm2
[PDF] séquence grandeurs et mesures ce2
[PDF] grandeurs et mesures cycle 3 exercices
[PDF] exercice de gravitation universelle tronc commun
[PDF] interaction gravitationnelle terminale s
[PDF] exercice d'anglais sur l'heure 6eme
[PDF] exercices homophones grammaticaux collège
[PDF] exercice passé simple pdf
[PDF] lecture compréhension cm2 ? imprimer
[PDF] module 4 gestion du temps
[PDF] cours gestion de temps pdf
[PDF] quels sont les obstacles de la gestion du temps
[PDF] exercices gestion temps doc
[PDF] gestion du temps sofad
[PDF] grandeurs et mesures cm2
[PDF] séquence grandeurs et mesures ce2
[PDF] grandeurs et mesures cycle 3 exercices
[PDF] exercice de gravitation universelle tronc commun
[PDF] interaction gravitationnelle terminale s
[PDF] exercice d'anglais sur l'heure 6eme
[PDF] exercices homophones grammaticaux collège
[PDF] exercice passé simple pdf
[PDF] lecture compréhension cm2 ? imprimer
MATHÉMATIQUES
3ème Année Secondaire Sciences Techniques
Auteurs
Ammar Ardhaoui
Inspecteur Principal
Hammadi Dhiaf
Professeur Principal
Abdellatif Gallali
Inspecteur Principal
Salem Marzougui
Professeur
Responsable
Evaluateurs
Hikma Smida
Professeur Universitaire
Lezhari Nejib
Professeur Universitaire
Jaâfar Beni Yazid
Inspecteur Général
Sliman Hassayoun
Inspecteur Principal
Centre National Pédagogique
REPUBLIQUE TUNISIENNE
MINISTERE DE L"EDUCATION
© Tous droits réservés au Centre National Pédagogique 3 Le présent ouvrage est conforme au programme officiel de mathématiques de la 3ème année secondaire section SciencesTechniques (version août 2005)
Conformément à l"esprit des nouveaux programmes, nous n"avons pas voulu faire de cet ouvrage un exposé magistral destiné à être abordé passivement. Au contraire nous avons adopté une méthodologie basée essentiellement sur les activités, ce qui devrait permettre à l"élève d"investir ses acquis antérieurs et de participer à la construction des nouveaux savoirs. Nous nous sommes efforcés à ce que le livre réponde à la spécificité de la section : Sciences Techniques. - Ainsi le cours est succint et pratique. - Dans la mesure du possible les exemples sont puisés dans le domaine technique et dans la vie courante. - Quelques activités faisant appel à l"utilisation des outils informatiques, calculatrice ou logiciels ont été introduites pour permettre à l"élève d"expérimenter, de réfléchir et de conjecturer. Nous tenons à remercier tous ceux qui ont aidé à la réalisation de cet ouvrage : la Direction des Programmes et des Manuels Scolaires, les Techniciens du CNP et notamment les évaluateurs pour leurs conseils et remarques utiles et efficaces.Les auteurs
PREFACE
4MODE D"EMPLOI DU MANUEL
Pour faciliter l'utilisation du manuel par l'élève et par le professeur, nous proposons un aperçu sur l'organisation des chapitres. La plupart des chapitres sont composés des rubriques suivantes :Introduction
Cette rubrique est composée de quelques activités qui permettent à l"élève :d"investir ses acquis antérieurs.
d"introduire les nouvelles notions.
CoursLe cours propose :
- Une approche simple des notions (définitions, théorèmes, rappels...) en respectant la rigueur indispensable. - Des activités qui permettent aux élèves de s"assurer de leur bonne compréhension des notions développées dans le cours. - Des activités permettant l"utilisation de l"outil informatique ou la calculatriceRésumé
C"est une récapitulation des acquis fondamentaux du cours.Exercices et problèmes
Les exercices sont de deux types :
Des exercices d"application directe, ordonnés par thème et suivant la pro- gression du cours. Des exercices et des problèmes d"intégration dont les solutions nécessitent des savoir-faire et l"investissement de plusieurs acquis antérieurs. Ces problèmes touchent des domaines variés : mathématiques, vie quotidienne, électricité, mécanique,...Math et Culture
C"est une rubrique à caractère culturel ou historique destinée à motiver les élèves en leur donnant une idée sur l"évaluation des mathématiques à travers l"histoire ou en proposant un bref aperçu sur la vie et les uvres de mathématiciens réputés.PREMIERE PARTIE
Généralités sur les fonctions
Notion de limite
Continuité
Dérivabilité
Etude de fonctions
Fonctions circulaires
Suites réelles
Dénombrement
Probabilités
Statistiques
6Chapitre 1 :
Généralités sur les fonctions ................................................. 7Chapitre 2 :
Notion de limite................................................................... 23Chapitre 3 :
Continuité............................................................................ 41Chapitre 4 :
Dérivabilité......................................................................... 54Chapitre 5 :
Etude de fonctions.............................................................. 79Chapitre 6 :
Fonctions circulaires.........................................................100Chapitre 7 :
Suites réelles.....................................................................108Chapitre 8 :
Chapitre 9 :
Probabilités...................................................................... 149Chapitre 10 :
Statistiques....................................................................... 166SOMMAIRE ( 1
ère
PARTIE )
Généralités sur les fonctions
INTRODUCTION
7Activité 1
Généralités sur les fonctions
La notion de fonction numérique d"une variable réelle a été étudiée en classe de 2 ième année sciences. Les différentes activités qui suivent ont pour objectifs de rappeler, de consolider et de compléter les acquis des élèves dans ce domaine.Dans le graphique ci-contre la parabole ( P )
est la courbe représentative d"une fonction, , la droite D est celle d"une fonction affine1°) Déterminer les réels a, b, c et d.
2°) Déterminer, graphiquement puis par le calcul,
les coordonnées des points d"intersection de ( P ) et D.3°) Utiliser le graphique pour résoudre
l"inéquation -2x 2 + x + 1 ≥ 0Activité 2
Un appareil électrique consomme une puissance P = 600 watts. Il est alimenté sous une tension variable v (en volts) et est parcouru par un courant i ( en ampères). On rappelle la formule Les différentes mesures de i en fonction de v ont donné la courbe ( C ) ci-contre. Dans l"axe des abscisses on lit les valeurs de v et dans l"axe des ordonnées on lit les valeurs de i.Chapitre 1
81) a- Compléter l"écriture: ( C ) est la courbe
représentative de la fonction b- Répondre par vrai ou faux :( C ) est une branche d"une parabole.
( C ) est une branche d"une hyperbole
f est croissante sur ]0 , 100] et
décroissante sur [100 , +∞[f est décroissante sur
2) a- Calculer l"intensité du courant si la tension est de 220 volts
b- L"appareil ne peut supporter une intensité supérieure à 6 ampères.Quelle est la tension minimale permise?
9Soit f la fonction définie sur [0 , 3] par :
f(x) = 2x 3 - 9x 2 + 12x - 5.La figure ci-contre est la représentation
graphique de f dans un repère1°) Répondre par vrai ou faux.
a. f est croissante dans l"intervalle [0 , 2] b. f est croissante dans l"intervalle [2 , 3] c. f est décroissante dans l"intervalle [1 , 2] d. f est monotone dans l"intervalle [1 , 3] e. f admet un maximum égal à 0 au point 1 f. f admet un maximum en x = 3. g. Dans l"intervalle f admet un minimum en 2 égal à - 1.2°) Résumer dans un tableau les variations de f.
CoursGÉNÉRALITÉS
Activité 3
Déterminer l"ensemble de définition D
f de la fonction f, à variable réelle, dans chacun des cas suivants :Activité 4
Exemple :
Soit . Montrer que D
f = [- 1 , 1]Soit f une fonction numérique à variable réelle. L'ensemble des réels x tels que f(x) existe
s'appelle ensemble de définitionde f ou domaine de définitionde f, noté D fDéfinition
10Soit f la fonction à variable réelle, définie par :
1) a- Déterminer le domaine de définition de f.
b- Montrer que f est paire. c- Soient a et b deux réels positifs tels que a < b.Vérifier que
d- Déduire que f est croissante sur [1 , +∞[ et décroissante sur [0 , 1].2) a- Tracer la partie de la courbe représentative de f correspondante à [0 , +∞[.
b- En utilisant la parité de f, compléter la courbe représentative de f sur son domaine de définition.3) f admet-elle des minimums, des maximums ? Pour quelles valeurs de x, sont-ils atteints?
4) f admet-elle un maximum pour x = 0 ? Donner un intervalle ouvert contenant 0 dans
lequel f(0) = 0 est un maximum pour f.Activité 5
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.On dit que :
f est croissante sur I si et seulement si
f est décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) ≥ f(b) f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b) f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b)Définition
Montrer que :
a) f est croissante sur I signifie que b - a et f(b) - f(a) ont le même signe pour tous réels a et
b distincts de I . b) f est décroissante sur I signifie que : b - a et f(b)-f(a) ont des signes contraires .Activité 6
Soit a et b deux réels distincts de I .
Le réel s"appelle le taux d"accroissement de f entre a et b.Définition
11Montrer que
f est croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b distincts de I , f est décroissante sur I si est seulement si pour tous réels a et b distincts de I , f est constante sur I si est seulement si pour tous réels a et b distincts de I ,Activité 7
Soit f la fonction à variable réelle définie par : f(x) = x 2 - 2x + 5 a- Soit a et b deux réels distincts. Vérifier que f(b) - f(a) = b 2 - a 2 - 2 (b - a). b- Montrer que c- En déduire que f est croissantes sur et décroissante surConséquences
Pour tout réel x de D
f Si le repère est orthogonal alors les points M et M" sont symétriques par rapport àActivité 8
Une fonctio est dite paire si : Pour tout réel x de D f , ona : - x ? D f et f(- x ) = f(x).Définition
12 symétrie par rapport à (OJ).Le graphique ci- contre représente une partie
paire dans le repère orthogonalTerminer la courbe de f.
Activité 9
Montrer que : Pour tout réel x de D
f b) les points M(x , f(x)) et M"(- x , -f( x)) sont symétriques par rapport à O.Activité 10
Soit f la fonction définie sur [-2 , 2] par : f(x) = x ?x ? a- Montrer que f est impaire b- Tracer sa courbe représentative (C) dans un repèreActivité 11
Une fonctio est dite impaire si :
Pour tout réel x de D
f , ona : - x ? D f et f(- x ) = - f(x).Définition
Point méthode
Point méthode
symétrie par rapport à O. 13 Soit f une fonction définie sur une partie D de IR et x 0 un réel de D.Lorsque f(x
0 ) est la plus grande valeur de f sur D , on dit que f admet un maximum absolu en x 0 0Lorsque f(x
0 ) est la plus petite valeur de f sur D , on dit que f admet un minimum absolu en x 0 . c"est-à-dire pour tout réel x de D , f(x) ≥ f(x 0 on dit que f admet un maximum local ( ou relatif) en x 0 s"il existe un intervalle ouvert I inclus dans D où f(x 0 ) est la plus grande valeur de f sur I. on dit que f admet un minimum local ( ou relatif) en x 0 s"il existe un intervalle ouvert I inclus dans D où f(x 0 ) est la plus petite valeur de f sur I.Définition
Le graphique ci- contre représente la courbe représentative d"une fonctio définie sur .Répondre par vrai ou faux
f admet un maximum en 0 égal à 2
f admet un minimum local en 2 égal -2
f admet un maximum local en -1 égal à -2f admet un minimum local en 1 égal à 0
Activité 12
La figure (C) ci-contre est la représentation graphique, dans un repère d"une fonctio définie sur .1) a) Comparer : f(x + 2) et f(x)
b) Compléter,2) a) Pour tout réel x, le point M(x , f(x))
est un point de (C ).Montrer que le point M"(x + 2 , f(x))
est aussi un point de ( C ). b- Montrer que . c- En déduire que M" est l"image de M par une transformation que l"on caractérisera. d- Expliquer comment la connaissance de la partie de ( C ) correspondante à l"intervalle [0 , 2] permet d"obtenir toute la courbe ( C )Activité 13
ru 14On a : Pour tout réel x, f(x + 2) = f(x).
On dit que f est périodique de période 2.
On a aussi : pour tout est une période de f. Les fonctions sont périodiques de période 2π Soit f une fonction définie sur et T un réel non nul. f est périodique de période T si pour tout réel x , f(x + T) = f(x).Définition
Conséquences :
Soit f une fonction périodique de période T et de courbe représentative ( C ). Pour tout , kT est une période de f.Pour tout réel x et pour tout , les points M(x, f(x)) et M"(x + kT, f(x)) appartiennent
à ( C ) et on a:
f périodique de période TRemarque
Chacun des intervalles [0 , T], s"appelle intervalle d"étude de f. Si de plus f est paire ou impaire l'intervalle d'étude de f seraPoint méthode
Pour tracer la courbe représentative ( C ) d"une fonction périodique f de période T,On commence par tracer la partie C
1 correspondante à un intervalle de longueur T ( généralement [0 , T] ou puis on complète la courbe à l"aide de translations successives de vecteurs15Soit f une fonction définie sur IR, périodique
de période 4 et impaire. On donne dans la figure ci-contre la partie de la courbe représentative (C f ) de f relative à l"intervalle [0 , 2]1) Reproduire la figure sur le cahier d"exercices.
2) a- En utilisant la parité de f, construire la partie de
(C f ) relative à l"intervalle [-2 , 0] b- Terminer la construction de la partie de ( C f ) relative à l"intervalle [-4 , 5].3) Déterminer f(2005) et f(2006).
Activité 14
a) Montrer que la fonction est périodique de période π.b) Montrer que les fonctions : a ≠0 sont périodiques
de périodeActivité 15
FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES
Activité 16
Soit f la fonction définie sur par :
1) a- Montrer que
b- Montrer que f est strictement décroissante sur [1 , +∞[ et strictement croissante sur ]-∞, 1]. Résumer les variations de f dans un tableau. d- Que représente 4 pour f ?2) a- Tracer la courbe représentative ( C ) de f dans un repère .
b- Soit m un réel donné. Déterminer, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l"équation f(x) = m. Commentaire: La fonctio est une fonction affine par intervalles. 16 La fonctio est dite fonction affine par intervallessi son domaine de définition est une réunion d"intervalles sur chacun des quels f(x) est de la forme ax + bDéfinition
Conséquence
f est une fonction affine par intervalles signifie la courbe représentative de f est une réunion de demi-droites ou de segments de droite.Activité 17
La figure ci-contre représente la courbe
d"une fonction définie sur [-1 , +∞[.1) Peut-on déterminer f(π)
2) a) Montrer que
b) Déterminer 17Résumé
Soit f une fonction numérique d"une variable réelle. Le domaine de définition de f est l"ensemble des réels x tels que f(x) existe.Soit f une fonction définie sur un intervalle I de . Pour tous réels a et b distincts de I
Si alors f est croissante sur I Si alors f est décroissante sur I Soit f une fonction définie sur une partie D de IR. f est paire si : pour tout réel x de D on a : -x ? D et f(-x) = f(x). Dans ce cas la courbe représentative de f dans un repère orthogona l comme axe de symétrie. f est impaire si pour tout réel x de D on a : -x ?D et f(-x) = - f(x). Dans ce cas la courbe représentative de f dans un repère admet l"origine O comme centre de symétrie. Soit f une fonction définie sur IR et T un réel strictement positif f est périodique de période T si pour tout réel x , f(x+T) = f(x). Les fonctions : x→sin (a x + b) et x→cos (a x + b), (a ≠ 0) sont périodiques de période 18