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Universite Joseph Fourier - M1 - 2017-2018
Geometrie dierentielle - Examen session 1 - Corrige
15 mai 2018 - 3 heures
Les exercices ainsi que le probleme sont independants.Vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous souhaitez.
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Dans tout le sujet, pour tout sous-ensembleMRnet tout pointp2Rn, on note d(p;M) := infq2Mk!pqk: Question de cours.Soit deux entiers non nulspn,F:Rn!Rpune fonction lisse etM:=F1(0).
1. Donner une condition susante surFpour queMsoit une sous-variete deRn.
On ne demande pas de demontrer que cette condition est susante. (a) Cette condition est-elle necessaire? (b) Donner un exemple de couple (F;M) avecp= 2 =n. (c) Donner un contre-exemple avecp= 1,n= 2 etMest non vide,Fne satisfait pas la condition etMn'est pas une sous-variete de dimension 1. 2. Enoncer le theoreme des extremas lies pour la restriction d'une fonctionf: R n!Ra la sous-varieteM.
3. Demontrer que pour toutm2Rnetp2Mtels quek!mpk=d(m;M), on a!mp?TpM.
Exercice.Soit
F:R3!R2;
(x;y;z)7!(x2+y2+z21;x+y+z); etM:=F1(0). Soitf:R3!R,f(x;y;z) =z.
1. Montrer queMest une sous-variete lisse deR3. Quelle est sa dimension?
Reponse.Fest lisse et
dF(x;y;z) = (2xdx+ 2ydy+ 2zdz;dx+dy+dz): Dans la base canonique duale, c'est [(2x;2y;2z);(1;1;1)]. Cette paire est liee ssi (x;y;z)2R(1;1;1), soit9t2R,x=y=z=tmais dans ce cas 3t= 0 car x+y+z= 0 et donct= 0 et (x;y;z) = 0 ce qui est impossible carx2+y2+z2= 1. Sa dimension est donc 32 = 1 (c'est un grand cercle, geometriquement).
2. Montrer queg:=fjMadmet un minimum et un maximum.
Reponse.L'applicationgest continue comme restriction d'application lineaire (en dim nie) aM. OrMest ferme comme image reciproque parFcontinue (car polynomiale) de (0;0) qui est ferme deR2. De plusMest borne car ses points sont a distance 1 de l'origine. CommeR3est de dimension nie,Mest compact. Doncgatteint ses bornes, et son min et max existent.
3. En utilisant les multiplicateurs de Lagrange, determiner les extrema locaux de
g.
4. En deduire minget maxg.
Corrige.On a
dF(x;y;z) = (2xdx+ 2ydy+ 2zdz;dx+dy+dz) etdf=dz. Sia= (x;yz) est un extremum local deg, alors il existe;2R, dz=(xdx+ydy+zdz) +(dx+dy+dz): Comme lesdxisont libres dans l'espace dual, cette equation est equivalente a x+= 0 y+= 0 z+= 1: Si= 0, on a= 0 et donc 1 = 0 ce qui est faux. Les deux premieres equations donnent(xy) = 0, avec6= 0 on ax=y, et puisquea2M,z=xy=2x, et doncx2+x2+4x2= 1 soitx2= 1=6, d'oux=1=p6 eta=a=1p6 (1;1;2). On a au moins deux extrema, doncaeta+sont forcement des extrema, et ce sont les seuls. Comme on a un minimum et un maximum, et quez(a) =2p6 ,aest le max eta+le min, de hauteurq2 3 . (On peut obteniret, mais c'est inutile dans ce cas. ) Probleme. Les deux parties sont independantes.SoitUR2un ouvert connexe etf:U!R3une applicationCavec2. On suppose que (f;U) est une surface parametree reguliere. On noteraS=f(U). Soit les fonctions :
N:U!R3
w7!f0u^f0v(w)kf0u^f0v(w)k; ouf0uetf0vsont les derivees partielles selon les deux coordonnees canoniques deR2, et g:UR!R3 (w;t)7!f(w) +tN(w):
Partie 1
1. Quelle est la regularite deg?
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Géométrie différentielle - Institut de Mathématiques de Toulouse