GEOMETRIE DIFFERENTIELLE MASTER I JSAAB

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GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

MASTER I

J.SAAB

ISSAE-CNAM LIBAN, Université Libanaise

E-mail address:jihadsaab@isae.edu.lb

URL:http ://www.puissancemaths.com

Résumé.

Table des matières

Introduction v

Chapitre 1. Sous Variétés deRn1

1. Théorème du rang 1

2. Sous variétés deRn+p4

3. Espace tangent à une sous variété 5

4. Changement de coordonnées et espace tangent. 10

5. Exercices 12

1. Introduction 15

2. Atlas 15

5. Topologie sur une variété 21

6. Germes 23

7. Exercices 25

Chapitre 3. Espace tangent 29

1. Rappel, cas où la variété estRn29

2. Cas d"une variété abstraite 31

3. Variété tangente 34

4. Champs de vecteurs 37

5. Application tangente 42

6. Exercices 44

Chapitre 4. Linéarisation des champs de vecteurs 47

1. Introduction 47

2. Problème de Cauchy, ot, groupe à un paramètre 47

3. Théorème de redressement d"un champ de vecteurs 51

4. Exercices 54

Chapitre 5. Connexions linéaires sur les variétés 55

1. Introduction 55

2. Connexions linéaires 57

iii iv TABLE DES MATIÈRES

3. Expressions en coordonnées locales 59

4. Interprétation géométrique 59

5. Torsion et Courbure 63

6. Courbure et Transport Parallèle 65

7. Exercices 67

Chapitre 6. Variétés Riemanniennes 69

1. Métrique Riemannienne 69

2. Calculs en coordonnées locales 70

3. Interprétation géométrique 72

4. Tenseur de courbure sur une Variété Riemannienne 75

Chapitre 7. Géodésiques d"une variété Riemannienne 79

1. Dé...nitions - Existence locale 79

2. Exemples de Géodésiques 81

Bibliographie 87

Introduction

Ce cours s"adresse aux étudiants ayant suivi le cours de la géométrie des la notion de variétés qui d"un coté généralise celle des surfaces et d"un autre ne sont pas nécessairement des ouverts dans un espace de Banach. Ce tra- vail est consacré à l"étude de variétés Riemanniennes et plus précisément, à l"étude de la métrique Riemannienne sur une variété qui permet d"introduire les notions de géodésiques. espaces tangents et le module des champs de vecteurs, on est en mésure d"introduire les connexions sur les variétés dans le but d"introduire la notion de transport parallèle. [1],[2]. La connexion sur une variété a été introduite sous la forme intrinsèque par Levi-Civita(1873-1941). Il s"agit de donner un sens à la dérivation d"un champ de vecteurs dans la direction d"un autre champ de vecteurs. Etant donnée une connexion5sur une variétéM, un champXle long d"une courbe deMest dit parallèle si5

0(t)X= 0, ceci est équivalent,

dans le cas canonique deRn;à dire queXest un champ constant. En établissant un dictionnaire entre les champs de vecteurs et les sys- rème qui a¢ rme l"existence d"un champ parallèle qui prolonge tout vec- teur initial le long d"une courbe[7]. Cette notion est généralisée locale- ment sur les variétés. On introduit la notion de champs parallèles, ce sont les champs parallèles à toute courbe,Xest parallèle si et seulement si 5 YX= 0;8X2(M)où(M)désigne leC1(M)-module de champs de vecteurs surM:[1];[2];[7];On montre un théorème d"une grande impor- tance qui a¢ rme l"équivalence entre l"existence locale d"un champ parallèle et le fait que la courbure de la connexionR= 0;c"est à dire la connexion est plate. Intuitivement, cela voudrait dire que siXest parallèle surU;une carte deM, alorsU"ressemble" àRn: Dans la deuxième partie de ce cours, on introduit la notion de produit scalaire sur la variété, il s"agit d"un champ de vecteurs symétrique dé...ni positif surM v vi INTRODUCTION g:M! 02M p!gp:TpMTpM!R; oùgpest un produit scalaire surTpM: On montre le lemme fondamental de la géométrie Riemannienne [7],[4],[5], [6], qui associe à toute métrique une connexion linéaire5à torsion nulle et qui est compatible avecg;5g= 0:On montre le théorème de compatibilité qui assure que le produit scalaire est invariant par transport parallèle le long de toute courbe lisse sur une variété. On introduit aussi la grande notion de géodésiques, il s"agit des courbes dont le vecteur vitesse est parallèle, ceci rappelle la notion des droites deRn:Si deux points se trouvent sur une même géodésique alors la distance la plus courte entre eux est la longueur de cette géodésique entre eux. C"est pourquoi on les appelle les courbes minimales. Des exemples concrets ont été introduits où on a montré que les géodésiques d"une sphère sont les cercles de rayon maximal. Pour un exposé complet sur ce sujet, on pourrait consulter[5],[6]. Une dernière notion aussi importante que la notion de géodésique est la courbure sectionnelle,[5],[6], liée à la notion de formes fondamentales. D"un joli exemple, on montre que la courbure sectionnelle d"une sphère est égale à 1. Notons qu"une branche à part entière de la géométrie Riemannienne, est la caractérisation de variétés à courbure sectionnelle constante.

CHAPITRE 1

Sous Variétés deRn

sous ensembles deRnque l"on appelle "Sous Variétés".

1. Théorème du rang

SoitUun ouvert deRnetVun ouvert deRp:On dit qu"une application (Df)x0:Rn!Rptelle que lim jj~hjj!0f(x0+~h)f(x0)(Df)x0(h~)jj ~hjj= 0 c"est à dire f(x0+~h)f(x0) = (Df)x0(h) +(jj~hjj) où(jj~hjj)!0lors quejj~hjj !0: On montre que si(Df)x0existe, elle est unique et donnée par (Df)x0=0 B @@f 1@x

1@f1@x

n... @f p@x

1@fp@x

n1 C A x 0 où @fi@x j)x0= limt!0f i(x10;;xj

0+t;xn0)fi(x10;;xn0)t

est la dérivée partielle de la fonction réellefi(x)par rapport à lajiemevariable, enx0: est dite "la matrice Jacobienne defenx0."

Exemple1.1.La fonction

f:R3!R2 (x;y;z)!(xz;xcosy;x+zey) 1

2 1. SOUS VARIÉTÉS DERn

(Df)(0;0;0)=0 @1 01 cosyxsiny0

1zeyey1

A (0;0;0)=0 @1 01 1 0 0

1 0 11

Remarque1.1.D(fg)x0= (Df)g(x0)(Dg)x0

Définition1.1.On dit quef:URn!VRpest de classeCken x

0, si toutes les dérivées partielles existent et sont continues enx0jusqu"à

l"ordrek:On dit quefestCksurUsi elle estCken tout point deUet dans ce cas :@hf@x i1@xihpourhk sont symétriques.

Définition1.2.Une applicationf:URn!VRnest dite

Exemple1.2.Soit

f:R3!R3 (x;y;z)!(u=x+y;v=xez;w=y)

On a :

8< :x=uw y=w z= ln(uvw) SoitV=f(u;v;w)2R3= uvw >0g, il est clair quef:U!Vest Théorème1.1 (d"inversion locale).SoienttU;Vdeux ouverts deRn etf:U!Vde classeCk;k1:On suppose qu"il existex02Utel quedet(Df)x06= 0;il existe alors un ouvertU0Ucontenantx0telle que f Remarque1.3.Le théorème a¢ rme que si(Df)x0est bijective alorsf est bijective sur un voisinage dex0: Définition1.3.On appelleCk-système de coordonnées au voisinage d"un pointx02Rn, tout couple( ;U)avecUest un ouvert deRncontenant x Remarque1.4.D"après le théorème d"inversion locale, pour qu"une ap- plicationCk, :U!Vdé...nisse un système de coordonnées au voisinage dex0, il faut et il su¢ t quedet(Df)x06= 0 Définition1.4.On dit quef:URn!VRn+pest une immer- sion enx02Usi(Df)x0est injective.

On dit quef:URn+p!VRpest une submersion enx02Usi

(Df)x0est surjective.

1. THÉORÈME DU RANG 3

Remarque1.5.Sifest une immersion ou une submersion en un point x

0alors elle le restera dans un voisinage su¢ samment petit dex0:(Cela

vient du fait que le rang d"une matrice est une fonction continue) VRn+pest une immersion si la matrice jacobienne defest de rangnen tout point deU submersion si la matrice jacobienne defest de rangpen tout point deU Définition1.5.Une immersionf:URn!VRn+ptelle que f:URn!f(U)est un homéomorphisme, est dite un plongement Théorème1.2 (du rang (Description locales des immersions et des sub- mersions)). (1)Soitf:URn!VRn+puneCk- immersion enx02 U(p0);il existe alors un système de coordonnées locales au voisnage def(x0)(c"est à dire un couple(y;V0)oùV0Vest un voisinageU0dex0tel quef(U0)V0et tel queyf(x1;;xn) = (x1;;xn;00):(En d"autres termes, une immersion est loca- lement l"injection canonique). U 0f!V0 & #y R n+p (2)Soitf:URn+p!VRpuneCk-submersion enx02U, il existe alors un système de coordonnées locales autour dex0(c"est U

0dans un ouvert deRn+p) telle que

U 0f!Rp x# % x(U0) fx1:x(U0)!Rpest donnée parfx1(x1;;xn+p) = (xn+1;;xn+p)c"est à dire, une submersion est localement la deuxième projection. Remarque1.7.Toute immersion est localement un plongement, c"est à dire sij:URn!VRn+pest une immersion enx0, il existe un ouvertU0U;x02U0telle quej=U0soit un plongement, j:U0Rn!Rn+p (x1;;xn)!(x1;;xn;0;0)

4 1. SOUS VARIÉTÉS DERn

qui est un plongement.

2. Sous variétés deRn+p

SoitMune partie deRn+p. On dit queMest une sous variété de dimen- sionndeRn+p, de classeCksi : pour toutx02M, il existe un système de coordonnées locales( ;U)autour dex0tel que (U\M) = (U)\Rn= fx2 (U)= xn+1=xn+2==xn+p= 0g une sous variété deRn: Théorème2.1.SoitMRn+p, les propiétés suivantes sont équiva- lentes : (1)Mest une sous variété deRn+pde dimensionnet de classeCk;k 1 (2)pour toutm02M, il existe un ouvertUdeRn+pcontenantm0et il existe uneCk- submersion,f:U!Rptel que

M\U=f1f0g=fx2U = f(x) = 0g

(3)pour toutm0= (x10;;xn+p

0)2M, il existe un voisinage ouvert

UdeRn+pcontenantm0et il existe un ouvertU0deRncontenant

3. ESPACE TANGENT À UNE SOUS VARIÉTÉ 5

(x10;;xn0)et une application de classeCk h:U0!Rp x= (x1;;xn)!(h1(x);;hp(x)) telle queM\U=Gh=f(x;h(x))= x2U0g (4)pour toutm02Mil existe un ouvertUdeRn+pcontenantm0et un ouvert deRncontenant0et unCk- plongement j:

Rn!U\MRn+p

t= (t1;;tn)!(x1(t);;xn+p(t)) oùj(0) =m0 Remarque2.1.Sin= 1;n+p= 2ou3alors la notion de sous variétés généralise celle de courbes dans le plan ou dans l"espace. On trouve le point de vue du grapheM\U=f(x;f(x)g(3 ième propriété) et de paramétrisation (4ième proporiété)M\U:x=x(t) y=y(t)et l"équation cartésienne (2 ième propriété)M\U:f(x;y) = 0:

3. Espace tangent à une sous variété

3.1. Rappel sur les espaces a¢ nes.Si l"on veut avoir un support

géométrique de la notion d"espace vectoriel, on peut penser à l"ensemble des "vecteurs libres" issus de l"origine, la somme se fait selon la règle du

6 1. SOUS VARIÉTÉS DERn

parallélogramme et le produit par un scalaire n"est qu"une homothétie. En Définition3.1.SoitEun espace vectoriel eta2E;supposé être dif- férent de0:On appelle translation de vecteur directeura;l"application T a:E!E x!x+a Remarque3.1.Ta(0)6= 0donc cette application n"est pas linéaire.

SiFest un sous espace vectoriel deE;on note par

T a(F) =fy=a+x2E = x2Fg le translaté deFselon le vecteura:L"espaceTa(F)n"est pas un sous espace vectoriel sauf sia2F:Le translaté deFest dit aussi "sous espace a¢ ne de

Ed"origineaet de directionF"

On peut imaginer les sous espaces vectoriels comme des droites ou des plans passant par l"origine, alors que les sous espaces a¢ nes sont des droites ou des plans translatés des sous espaces vectoriels. On a dit queTa(F)n"est pas un sous espace vectoriel deE, cependant, on peut lui introduire d"autres lois qui les rendent un espace vectoriel : On sait que pour tousv;w2 Ta(F)il existex;y2Ftels quev=a+x; w=a+y:

3. ESPACE TANGENT À UNE SOUS VARIÉTÉ 7

On introduit surTa(F)les lois suivantes :

vuw=Ta(x+y) =a+ (x+y) v=Ta(x) =a+ (x)

Pour les notations :v=xa=Ta(x), on a

xauya= (x+y)a x a= (x)a et le triplet(Ta(F);u;:)est un espace vectoriel

3.2. Espace tangent, Immersion et Submersion.La notion d"es-

pace tangent généralise celle de la tangente à une courbe. Soit une courbe de classeC1: :IR!Rn+p t!(x1(t);;xn+p(t)) soitm0= (t0), un point de :On appelle tangente enm0à la limite de la "sécante" c"est à dire la droite qui passe parm0(t0)etm1= (t0+h) lorsquem1!m0:(h!0):

8 1. SOUS VARIÉTÉS DERn

Soit le vecteur

Vm0= limh!0!

m0m1h = lim h!0(x1(t0+h)x1(t0)h ;;xn+p(t0+h)xn+p(t0)h = (x01(t0);;x0 n+p(t0))

La droite portée par le vecteur

~Vm0est l"espace tangent à enm0: Définition3.2.SoitMune sous variété deRn+pde classeCk,m02 M:On appelle droite tangente àMenm0, toute droite de l"espaceRn+p passant parm0et tangente enm0à une courbe quelconque tracée surMet passant pasm0:On appelle espace tangent enm0àM, la réunion de toutes les droites tangentes àMenm0;cet espace est notéTm0M: Dans la suite, on va caractériser algébriquement un espace tangent en un point à une sous variété. On va considérer d"abord, le cas oùMest dé...nie par un plongement j:

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