[PDF] Suites - Exo7 - Cours de mathématiques

Remarque.

Si(un)n∈Nest une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si∀n∈Nun+1u

Exemple 2.

•La suite(un)n⩾1définie parun= (-1)n/npourn⩾1, n"est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par1/2

LES SUITES2. LIMITES31234561

•La suite1n

n⩾1est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par1(borne atteinte pourn=1), elle est

La suite nn+1

La suite

Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune

des phrases. (a) La suite(un)n∈Nest majorée par7. (b) La suite(un)n∈Nest constante. (c) La suite(un)n∈Nest

Soit x>0 un réel. Montrer que la suitexnn!

2.1. Introduction

Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d"abonnement de train à50euros et on obtient chaque

est le prix payé au bout denachats au tarif plein, etvncelui au tarif réduit, y compris le prix de l"abonnement. La

LES SUITES2. LIMITES4

2.2. Limite finie, limite infinie

Soit(un)n∈Nune suite.Définition 4.La suite(un)n∈Na pourlimiteℓ∈Rsi : pour toutε >0, il existe un entier naturelNtel que sin⩾Nalors

|un-ℓ|⩽ε:∀ε >0∃N∈N∀n∈N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|⩽ε)

On dit aussi que la suite(un)n∈Ntend versℓ. Autrement dit :unest proche d"aussi près que l"on veut deℓ, à partir

La suite (un)n∈Ntend vers+∞si :

La suite (un)n∈Ntend vers-∞si :

On note lim

n→+∞un=ℓou parfoisun----→n→+∞ℓ, et de même pour une limite±∞.

On raccourcit souvent la phrase logique en :

Noter queNdépend deεet qu"on ne peut pas échanger l"ordre du " pour tout » et du " il existe ».

L"inégalité|un-ℓ|⩽εsignifieℓ-ε⩽un⩽ℓ+ε. On aurait aussi pu définir la limite par la phrase :∀ε >0∃N∈

N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|< ε), où l"on a remplacé la dernière inégalité large par une inégalité stricte.Définition 6.

Une suite(un)n∈Nestconvergentesi elle admet une limitefinie. Elle estdivergentesinon (c"est-à-dire soit la suite

tend vers±∞, soit elle n"admet pas de limite).On va pouvoir parler delalimite, si elle existe, car il y a unicité de la limite :Proposition 1.

On procède par l"absurde. Soit(un)n∈Nune suite convergente ayant deux limitesℓ̸=ℓ′. Choisissons

ε >0 tel queε <|ℓ-ℓ′|2

Comme lim

De même lim

NotonsN=max(N1,N2), on a alors pour ceN:

LES SUITES2. LIMITES5Donc|ℓ-ℓ′|=|ℓ-uN+uN-ℓ′|⩽|ℓ-uN|+|uN-ℓ′|d"aprèsl"inégalitétriangulaire. On en tire|ℓ-ℓ′|⩽ε+ε=2ε <|ℓ-ℓ′|.

On vient d"aboutir à l"inégalité|ℓ-ℓ′|<|ℓ-ℓ′|qui est impossible. Bilan : notre hypothèse de départ est fausse et

Proposition 2.

1.limn→+∞un=ℓ⇐⇒limn→+∞(un-ℓ) =0⇐⇒limn→+∞|un-ℓ|=0,

2.limn→+∞un=ℓ=⇒limn→+∞|un|=|ℓ|.Démonstration.Cela résulte directement de la définition.Proposition 3(Opérations sur les limites).

Si limn→+∞un=ℓ, oùℓ∈R, alors pourλ∈Ron alimn→+∞λun=λℓ.

Si limn→+∞un=ℓetlimn→+∞vn=ℓ′, oùℓ,ℓ′∈R, alors

Si limn→+∞un=ℓoùℓ∈R∗=R\{0}alors un̸=0pour n assez grand etlimn→+∞1u

Exemple 3.

Siun→ℓavecℓ̸=±1, alors

2-1.Proposition 4(Opérations sur les limites infinies).

1.limn→+∞1v

La suite(pn)tend vers+∞, donc la suite(1pn

2.4. Des preuves!

Nous n"allons pas tout prouver mais seulement quelques résultats importants. Les autres se démontrent de manière

Démonstration.

Fixonsε >0. Commelimn→+∞un= +∞, il existe un entier naturelNtel quen⩾Nimpliqueun⩾1ε.

On obtient alors 0⩽1u

n=0.Afin de prouver que la limite d"un produit est le produit des limites nous aurons besoin d"un peu de travail.

Proposition 5.

Toute suite convergente est bornée.

LES SUITES2. LIMITES6

Démonstration.Soit(un)n∈Nune suite convergeant vers le réelℓ. En appliquant la définition de limite (définition4 )

avecε=1, on obtient qu"il existe un entier naturelNtel que pourn⩾Non ait|un-ℓ|⩽1, et donc pourn⩾Non a

Donc si on pose

Si la suite(un)n∈Nest bornée etlimn→+∞vn=0alorslimn→+∞(un×vn) =0.Exemple 5.

Démonstration.

La suite(un)n∈Nest bornée, on peut donc trouver un réelM>0tel que pour tout entier naturelnon

ait|un|⩽M. Fixonsε >0. On applique la définition de limite (définition4 ) à la suite(vn)n∈Npourε′=εM. Il existe

On a bien montré que lim

n→+∞(un×vn) =0.Prouvons maintenant la formule concernant le produit de deux limites (voir proposition3 ).

D"après la proposition

, la suite de terme généralℓ(vn-ℓ′)tend vers0. Par la même proposition il en est de même de la

suite de terme général(un-ℓ)vn, car la suite convergente(vn)n∈Nest bornée. On conclut quelimn→+∞(unvn-ℓℓ′) =0,

Dans certaines situations, on ne peut rien dire à priori sur la limite, il faut faire une étude au cas par cas.

Exemple 6.

"+∞-∞» Cela signifie que siun→+∞etvn→ -∞il faut faire faire l"étude en fonction de chaque suite

LES SUITES2. LIMITES7

×lnn=0

×(n+1) =1

», "00

», " 1∞», ...

2.6. Limite et inégalitésProposition 7.

Soient (un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites convergentes telles que :∀n∈N, un⩽vn. Alors

2.Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites telles quelimn→+∞un= +∞et∀n∈N,vn⩾un. Alorslimn→+∞vn= +∞.

Théorème des " gendarmes » : si (un)n∈N,(vn)n∈Net(wn)n∈Nsont trois suites telles que

etlimn→+∞un=ℓ=limn→+∞wn, alors la suite(vn)n∈Nest convergente etlimn→+∞vn=ℓ.ℓw

Remarque.

Soit (un)n∈Nune suite convergente telle que :∀n∈N,un⩾0. Alors limn→+∞un⩾0.

Attention, si(un)n∈Nest une suite convergente telle que :∀n∈N,un>0, on ne peut affirmer que la limite est

strictement positive mais seulement quelimn→+∞un⩾0. Par exemple la suite(un)n∈Ndonnée parun=1n+1est à

Démonstration de la proposition

En posantwn=vn-un, on se ramène à montrer que si une suite(wn)n∈Nvérifie∀n∈N,wn⩾0et converge,

alorslimn→+∞wn⩾0. On procède par l"absurde en supposant queℓ=limn→+∞wn<0. En prenantε=|ℓ2

Laissé en exercice.

En soustrayant la suite(un)n∈N, on se ramène à montrer l"énoncé suivant : si(un)n∈Net(vn)n∈Nsont deux suites

telles que :∀n∈N,0⩽un⩽vnetlimn→+∞vn=0, alors(un)converge etlimn→+∞un=0. Soitε >0etNun

entier naturel tel quen⩾Nimplique|vn|< ε. Comme|un|=un⩽vn=|vn|, on a donc :n⩾Nimplique|un|< ε.

On a bien montré que limn→+∞un=0.

LES SUITES3. EXEMPLES REMARQUABLES8Exemple 7(Exemple d"application du théorème des " gendarmes »).

1.Soit(un)n∈Nla suite définie parun=2n+1n+2. En utilisant la définition de la limite montrer quelimn→+∞un=2.

Déterminer la limiteℓde la suite(un)n∈N∗de terme général :n+cosnn-sinnet trouver un entierNtel que sin⩾N, on

La suite (un)n∈Nde terme général(-1)nenadmet-elle une limite? Et la suite de terme général1u

Déterminer la limite de la suite(un)n⩾1de terme généralpn+1-pn. Idem avecvn=cosnsinn+lnn. Idem avec

3.1. Suite géométriqueProposition 8(Suite géométrique).

Si a =1, on a pour tout n∈N: un=1.

Si a >1, alorslimn→+∞un= +∞.

Si -1 4. Si a ⩽-1, la suite(un)n∈Ndiverge.Démonstration. 1. est évident. 2. Écrivonsa=1+bavecb>0. Alors le binôme de Newton s"écritan= (1+b)n=1+nb+n

2b2+···+n

kbk+···+bn.

Tous les termes sont positifs, donc pour tout entier naturelnon a :an⩾1+nb. Orlimn→+∞(1+nb) = +∞car

b>0. On en déduit que limn→+∞an= +∞. 3. Sia=0, le résultat est clair. Sinon, on poseb=|1a |. Alorsb>1et d"après le point précédentlimn→+∞bn= +∞.

Comme pourtoutentiernaturelnon a :|a|n=1b

n,on en déduitquelimn→+∞|a|n=0,etdonc aussilimn→+∞an=0.

4.Supposons par l"absurde que la suite(un)n∈Nconverge vers le réelℓ. Dea2⩾1, on déduit que pour tout entier

natureln, on aa2n⩾1. En passant à la limite, il vientℓ⩾1. Comme de plus pour tout entier naturelnon a

a2n+1⩽a⩽-1, il vient en passant de nouveau à la limiteℓ⩽-1. Mais comme on a déjàℓ⩾1, on obtient une

contradiction, et donc(un)ne converge pas.3.2. Série géométrique

Proposition 9(Série géométrique).

Soit a un réel, a̸=1. En notantPn

k=0ak=1+a+a2+···+an, on a :n X k=0a k=1-an+11-a

LES SUITES3. EXEMPLES REMARQUABLES9

Démonstration.En multipliant par1-aon fait apparaître une somme télescopique (presque tous les termes s"an-

nulent) : Sia∈]-1,1[et(un)n∈Nest la suite de terme général :un=Pn k=0ak, alorslimn→+∞un=11-a. De manière plus frappante, on peut écrire :

1+a+a2+a3+···=11-a

Enfin, ces formules sont aussi valables sia∈C\{1}. Sia=1, alors 1+a+a2+···+an=n+1.

Exemple 8.

L"exemple précédent aveca=12

donne 1+12 +14 +18 +···=2.

Cette formule était difficilement concevable avant l"avènement du calcul infinitésimal et a été popularisée sous le nom

duparadoxe de Zénon. On tire une flèche à2mètres d"une cible. Elle met un certain laps de temps pour parcourir

la moitié de la distance, à savoir un mètre. Puis il lui faut encore du temps pour parcourir la moitié de la distance

restante, et de nouveau un certain temps pour la moitié de la distance encore restante. On ajoute ainsi une infinité de

durées non nulles, et Zénon en conclut que la flèche n"atteint jamais sa cible!

L"explication est bien donnée par l"égalité ci-dessus : la somme d"une infinité de termes peut bien être une valeur

finie!! Par exemple si la flèche va à une vitesse de1m/s, alors elle parcoure la première moitié en1s, le moitié de la

distance restante en12 s, etc. Elle parcoure bien toute la distance en 1+12 +14 +18 +···=2 secondes!2 11 21
4

3.3. Suites telles que

un+1u n < ℓ <1Théorème 1.

Soit(un)n∈Nune suite de réels non nuls. On suppose qu"il existe un réelℓtel que pour tout entier natureln(ou seulement

à partir d"un certain rang) on ait :u

n+1u n < ℓ <1.

On suppose que la propriété

un+1u n

1est vraie pour tout entier natureln(la preuve dans le cas

où cette propriété n"est vraie qu"à partir d"un certain rang n"est pas très différente). On écrit

u nu 0=u1u

0×u2u

1×u3u

2×···×unu

n-1 ce dont on déduit u nu 0 < ℓ×ℓ×ℓ×···××ℓ=ℓn

et donc|un|<|u0|ℓn. Commeℓ <1, on a limn→+∞ℓn=0. On conclut que limn→+∞un=0.Corollaire 1.

Soit(un)n∈Nune suite de réels non nuls.Silimn→+∞u n+1u n=0, alorslimn→+∞un=0.

LES SUITES3. EXEMPLES REMARQUABLES10

Exemple 9.

Soita∈R. Alors limn→+∞ann!=0.

Démonstration.Sia=0, le résultat est évident. Supposonsa̸=0, et posonsun=ann!. Alors u n+1u n=an+1(n+1)!·n!a n=an+1.Pour conclure, on peut ou bien directement utiliser le corollaire : commelimun+1u n=0(caraest fixe), on alimun=0.

Ou bien, commeun+1u

n=an+1, on déduit par le théorème que pourn⩾N>2|a|on a : u n+1u n =|a|n+1⩽|a|N+1<|a|N <12 et donc lim n→+∞un=0.Remarque. 1.

Avec les notations du théorème, si on a pour tout entier naturelnà partir d"un certain rang :

un+1u n

1, alors

la suite(un)n∈Ndiverge. En effet, il suffit d"appliquer le théorème à la suite de terme général1|un|pour voir que

limn→+∞|un|= +∞. 2. T oujoursavec les notations du théorème, si ℓ=1 on ne peut rien dire.

Exemple 10.

Pour un nombre réela,a>0, calculer limn→+∞npa.

On va montrer que lim

1+hn n ⩾1+nhn =1+h=a (voir la preuve de la proposition 8 ) on a en appliquant la fonction racinen-ème,np·: 1+hnquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43