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Limites et
fonctions continuesVidéo"partie 1. Notions de fonctionVidéo"partie 2. Limites
Vidéo"partie 3. Continuité en un point
Vidéo"partie 4. Continuité sur un intervalle Vidéo"partie 5. Fonctions monotones et bijectionsFiche d"exercicesLimites de fonctions
Fiche d"exercicesFonctions continues
MotivationLes équations en une variablexqu"on sait résoudre explicitement, c"est-à-dire en donnant une formule pour la solution,
sont très particulières : par exemple les équations du premier degréax+b=0, celles du second degréax2+bx+c=0.
Mais pour la plupart des équations, il n"est pas possible de donner une formule pour la ou les solutions. En fait il n"est
même pas évident de déterminer seulement le nombre de solutions, ni même s"il en existe. Considérons par exemple
l"équation extrêmement simple : x+expx=0Il n"y a pas de formule explicite (utilisant des sommes, des produits, des fonctions usuelles) pour trouver la solutionx.
Dans ce chapitre nous allons voir que grâce à l"étude de la fonctionf(x) =x+expx, il est possible d"obtenir
beaucoup d"informations sur l"ensemble des solutions de l"équationx+expx=0, et même de l"équation plus générale
x+expx=y(oùy2Rest fixé).xyx+exp(x)Nous serons capables de prouver que pour chaquey2Rl"équation "x+expx=y» admet une solutionx, que cette
solution est unique, et nous saurons dire comment variexen fonction dey. Le point clé de cette résolution est l"étude
de la fonctionfet en particulier de sa continuité. Même s"il n"est pas possible de trouver l"expression exacte de la
solutionxen fonction dey, nous allons mettre en place les outils théoriques qui permettent d"en trouver une solution
approchée. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION21. Notions de fonction
1.1. DéfinitionsDéfinition 1.Unefonctiond"une variable réelle à valeurs réelles est une applicationf:U!R, oùUest une partie deR. En
général,Uest un intervalle ou une réunion d"intervalles. On appelleUledomaine de définitionde la fonctionf.Exemple 1.
La fonction inverse :
f:]1,0[[]0,+1[!R x7!1x Legraphed"une fonctionf:U!Rest la partiefdeR2définie parf=(x,f(x))jx2U. Le graphe d"une fonction (à gauche), l"exemple du graphe dex7!1x (à droite).xf(x)(x,f(x)) fxy 1 x1.2. Opérations sur les fonctions
Soientf:U!Retg:U!Rdeux fonctions définies sur une même partieUdeR. On peut alors définir les fonctions
suivantes : lasommedefetgest la fonctionf+g:U!Rdéfinie par(f+g)(x) =f(x)+g(x)pour toutx2U; leproduitdefetgest la fonctionfg:U!Rdéfinie par(fg)(x) =f(x)g(x)pour toutx2U; lamultiplication par un scalaire2Rdefest la fonctionf:U!Rdéfinie par(f)(x) =f(x)pour toutx2U. Comment tracer le graphe d"une somme de fonction?xf(x)g(x)(f+g)(x)gff+g LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION31.3. Fonctions majorées, minorées, bornéesDéfinition 2.
Soientf:U!Retg:U!Rdeux fonctions. Alors :
f>gsi8x2U f(x)>g(x); f>0 si8x2U f(x)>0; f>0 si8x2U f(x)>0; fest diteconstantesurUsi9a2R8x2U f(x) =a; fest ditenullesurUsi8x2U f(x) =0.Définition 3.Soitf:U!Rune fonction. On dit que :
festmajoréesurUsi9M2R8x2U f(x)6M; festminoréesurUsi9m2R8x2U f(x)>m;festbornéesurUsifest à la fois majorée et minorée surU, c"est-à-dire si9M2R8x2Ujf(x)j6M.Voici le graphe d"une fonction bornée (minorée parmet majorée parM).xy
M m1.4. Fonctions croissantes, décroissantes
Définition 4.
Soitf:U!Rune fonction. On dit que :
festcroissantesurUsi8x,y2U x6y=)f(x)6f(y)• feststrictement croissantesurUsi8x,y2U xcroissante ou strictement décroissante) surU.Un exemple de fonction croissante (et même strictement croissante) :
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION4xyf(x)f(y)Exemple 2.La fonction racine carrée¨[0,+1[!R
x7!px est strictement croissante. Les fonctions exponentielle exp :R!Ret logarithme ln :]0,+1[!Rsont strictement croissantes. •Lafonctionvaleurabsolue¨R!R
x7! jxj n"estnicroissante,nidécroissante. Parcontre,lafonction¨[0,+1[!R
x7! jxj est strictement croissante.1.5. Parité et périodicitéDéfinition 5.
SoitIun intervalle deRsymétrique par rapport à0(c"est-à-dire de la forme]a,a[ou[a,a]ouR). Soit
f:I!Rune fonction définie sur cet intervalle. On dit que : festpairesi8x2I f(x) =f(x), festimpairesi8x2I f(x) =f(x).Interprétation graphique:fest paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées (figure de gauche).
fest impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l"origine (figure de droite).xy
xyExemple 3.
La fonction définie surRparx7!x2n(n2N) est paire. La fonction définie surRparx7!x2n+1(n2N) est impaire. La fonction cos :R!Rest paire. La fonction sin :R!Rest impaire. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES1. NOTIONS DE FONCTION5xy x 2x3Définition 6.Soitf:R!Rune fonction etTun nombre réel,T>0. La fonctionfest ditepériodiquede périodeTsi
8x2Rf(x+T) =f(x).xx+T~
if f(x) =f(x+T)Interprétation graphique :fest périodique de périodeTsi et seulement si son graphe est invariant par la translation de vecteurT~i, où~iest le premier vecteur de coordonnées.Exemple 4.
Les fonctions sinus et cosinus sont 2-périodiques. La fonction tangente est-périodique.xy cosxsinx023+11Mini-exercices. 1. SoitU=] 1,0[etf:U!Rdéfinie parf(x) =1=x.fest-elle monotone? Et surU=]0,+1[? Et surU=]1,0[[]0,+1[?
2.Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la somme? du produit? et de la composée? Et pour
deux fonctions impaires? Et si l"une est paire et l"autre impaire? 3.On notefxg=xE(x)la partie fractionnaire dex. Tracer le graphe de la fonctionx7! fxget montrer qu"elle
est périodique. 4.Soitf:R!Rla fonction définie parf(x) =x1+x2. Montrer quejfjest majorée par12, étudier les variations de
f(sans utiliser de dérivée) et tracer son graphe. 5.On considère la fonctiong:R!R,g(x) =sinf(x), oùfest définie à la question précédente. Déduire de
l"étude defles variations, la parité, la périodicité deget tracer son graphe.LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES6
2. Limites
2.1. Définitions
Limite en un point
Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalleIdeR. Soitx02Run point deIou une extrémité deI.Définition 7.
Soit`2R. On dit quefa pour limite`enx0si8 >09 >08x2Ijxx0j< =) jf(x)`j< On dit aussi quef(x)tend vers`lorsquextend versx0. On note alors limx!x0f(x) =`ou bien limx0f=`.xy
x 0`Remarque.
L"inégalitéjxx0j< équivaut àx2]x0,x0+[. L"inégalitéjf(x)`j< équivaut àf(x)2]`,`+[.
•On peut remplacer certaines inégalités strictes "<» par des inégalités larges "6» dans la définition :8 >
09 >08x2Ijxx0j6=) jf(x)`j6
Dans la définition de la limite
8 >09 >08x2Ijxx0j< =) jf(x)`j<
le quantificateur8x2In"est là que pour être sûr que l"on puisse parler def(x). Il est souvent omis et l"existence
de la limite s"écrit alors juste :8 >09 >0jxx0j< =) jf(x)`j< .
N"oubliez pas que l"ordre des quantificateurs est important, on ne peut pas échanger le8avec le9: ledépend
en général du. Pour marquer cette dépendance on peut écrire :8 >09()>0...Exemple 5.
limx!x0px=px0pour toutx0>0,
la fonction partie entièreEn"a pas de limite aux pointsx02Z.LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES7xy
1 01px x 0px 0xy 101E(x)x
02ZSoitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 8.
On dit quefa pour limite+1enx0si
8A>09 >08x2Ijxx0j< =)f(x)>A
On note alors lim
x!x0f(x) = +1.On dit quefa pour limite1enx0si
8A>09 >08x2Ijxx0j< =)f(x) On note alors lim
x!x0f(x) =1.xy A x 0x 0+x 0Limite en l"infini
Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalle de la formeI=]a,+1[.Définition 9. Soit`2R. On dit quefa pour limite`en+1si
8 >09B>08x2I x>B=) jf(x)`j<
On note alors lim
x!+1f(x) =`ou lim+1f=`. On dit quefa pour limite+1en+1si
8A>09B>08x2I x>B=)f(x)>A
On note alors lim
x!+1f(x) = +1.On définirait de la même manière la limite en1pour des fonctions définies sur les intervalles du type]1,a[.
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES8xy
Exemple 6.
On a les limites classiques suivantes pour toutn>1 : limx!+1xn= +1et limx!1xn=¨+1sinest pair 1sinest impair
1x n 1x n =0. Exemple 7.
SoitP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0avecan>0 etQ(x) =bmxm+bm1xm1++b1x+b0avecbm>0. lim x!+1P(x)Q(x)=8 :+1sin>m a nb msin=m 0 sin Limite à gauche et à droite
Soitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 10. On appellelimite à droiteenx0defla limite de la fonctionf]x0,b[enx0et on la note lim x+ 0f. On définit de même lalimite à gaucheenx0def: la limite de la fonctionf]a,x0[enx0et on la note lim
x 0f. On note aussi limx!x0x>x0f(x)pour la limite à droite et limx!x0x 8 >09 >0x0 Si la fonctionfa une limite enx0, alors ses limites à gauche et à droite enx0coïncident et valent limx0f.Réciproquement, sifa une limite à gauche et une limite à droite enx0et si ces limites valentf(x0)(sifest bien
définie enx0) alorsfadmet une limite enx0. Exemple 8.
Considérons la fonction partie entière au pointx=2 : comme pour toutx2]2,3[on aE(x) =2, on a lim2+E=2 , comme pour toutx2[1,2[on aE(x) =1, on a lim2E=1. Ces deux limites étant différentes, on en déduit queEn"a pas de limite en 2. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES9xy
0E(x)2limite à gauche lim
2Elimite à droite lim
2+E2.2. Propriétés
Proposition 1.
Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire à celle de l"unicité de la limite pour les
suites (un raisonnement par l"absurde). Soient deux fonctionsfetg. On suppose quex0est un réel, ou quex0=1.Proposition 2. Silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors :
limx0(f) =`pour tout2R limx0(f+g) =`+`0 limx0(fg) =``0 si`6=0, alorslimx01f =1` De plus, silimx0f= +1(ou1) alorslimx01f
=0. Cette proposition se montre de manière similaire à la proposition analogue sur les limites de suites. Nous n"allons
donc pas donner la démonstration de tous les résultats. Démonstration.Montrons par exemple que siftend enx0vers une limite`non nulle, alors1f est bien définie dans un voisinage dex0et tend vers1` Supposons` >0, le cas` <0se montrerait de la même manière. Montrons tout d"abord que1fest bien définie et est
bornée dans un voisinage dex0contenu dans l"intervalleI. Par hypothèse 80>09 >08x2I x0 Si on choisit0tel que0< 0< `=2, alors on voit qu"il existe un intervalleJ=I\]x0,x0+[tel que pour toutx
dansJ,f(x)> `=2>0, c"est-à-dire, en posantM=2=`: 8x2J0<1f(x) Fixons à présent >0. Pour toutx2J, on a1f(x)1` =j`f(x)jf(x)`Donc, si dans la définition précédente de la limite defenx0on choisit0=`M, alors on trouve qu"il existe un >0
tel que 8x2J x0 Silimx0f=`etlim`g=`0, alorslimx0gf=`0.Ce sont des propriétés que l"on utilise sans s"en apercevoir! Exemple 9.Soitx7!u(x)une fonction etx02Rtel queu(x)!2lorsquex!x0. Posonsf(x) = Ç1+1u(x)2+lnu(x)
. Si elle existe, quelle est la limite defenx0? Tout d"abord commeu(x)!2 alorsu(x)2!4 donc1u(x)2!14 (lorsquex!x0). De même commeu(x)!2alors, dans un voisinage dex0,u(x)>0donclnu(x)est bien définie dans ce voisinage
et de plus lnu(x)!ln2 (lorsquex!x0). Cela entraîne que1+1u(x)2+lnu(x)!1+14+ln2lorsquex!x0. En particulier1+1u(x)2+lnu(x)>0dans un voisinage dex0, doncf(x)est bien définie dans un voisinage dex0. Et par composition avec la racine carrée alorsf(x)a bien une limite enx0et limx!x0f(x) =q1+14 +ln2. Il y a des situations où l"on ne peut rien dire sur les limites. Par exemple silimx0f= +1etlimx0g=1alors on
ne peut à priori rien dire sur la limite def+g(cela dépend vraiment defet deg). On raccourci cela en+11
est uneforme indéterminée. Voici une liste de formes indéterminées :+11; 01;11 ;00 ; 11;10. Enfin voici une proposition très importante qui signifie qu"on peut passer à la limite dans une inégalitélarge.Proposition 4.
Si f6g et silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors`6`0.
Si f6g et silimx0f= +1, alorslimx0g= +1.
Théorème des gendarmesSi f6g6h et silimx0f=limx0h=`2R, alors g a une limite en x0etlimx0g=`.x 0fh glim x0f=limx0g=limx0hMini-exercices. 1. Déterminer ,si elle existe, la limite de
2x2x23x2+2x+2en 0. Et en+1?
2.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
On note alors lim
x!x0f(x) =1.xy A x 0x 0+x0Limite en l"infini
Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalle de la formeI=]a,+1[.Définition 9.Soit`2R. On dit quefa pour limite`en+1si
8 >09B>08x2I x>B=) jf(x)`j<
On note alors lim
x!+1f(x) =`ou lim+1f=`.On dit quefa pour limite+1en+1si
8A>09B>08x2I x>B=)f(x)>A
On note alors lim
x!+1f(x) = +1.On définirait de la même manière la limite en1pour des fonctions définies sur les intervalles du type]1,a[.
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES8xy
Exemple 6.
On a les limites classiques suivantes pour toutn>1 : limx!+1xn= +1et limx!1xn=¨+1sinest pair1sinest impair
1x n 1x n =0.Exemple 7.
SoitP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0avecan>0 etQ(x) =bmxm+bm1xm1++b1x+b0avecbm>0. lim x!+1P(x)Q(x)=8 :+1sin>m a nb msin=m0 sin Limite à gauche et à droite
Soitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 10. On appellelimite à droiteenx0defla limite de la fonctionf]x0,b[enx0et on la note lim x+ 0f. On définit de même lalimite à gaucheenx0def: la limite de la fonctionf]a,x0[enx0et on la note lim
x 0f. On note aussi limx!x0x>x0f(x)pour la limite à droite et limx!x0x 8 >09 >0x0 Si la fonctionfa une limite enx0, alors ses limites à gauche et à droite enx0coïncident et valent limx0f.Réciproquement, sifa une limite à gauche et une limite à droite enx0et si ces limites valentf(x0)(sifest bien
définie enx0) alorsfadmet une limite enx0. Exemple 8.
Considérons la fonction partie entière au pointx=2 : comme pour toutx2]2,3[on aE(x) =2, on a lim2+E=2 , comme pour toutx2[1,2[on aE(x) =1, on a lim2E=1. Ces deux limites étant différentes, on en déduit queEn"a pas de limite en 2. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES9xy
0E(x)2limite à gauche lim
2Elimite à droite lim
2+E2.2. Propriétés
Proposition 1.
Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire à celle de l"unicité de la limite pour les
suites (un raisonnement par l"absurde). Soient deux fonctionsfetg. On suppose quex0est un réel, ou quex0=1.Proposition 2. Silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors :
limx0(f) =`pour tout2R limx0(f+g) =`+`0 limx0(fg) =``0 si`6=0, alorslimx01f =1` De plus, silimx0f= +1(ou1) alorslimx01f
=0. Cette proposition se montre de manière similaire à la proposition analogue sur les limites de suites. Nous n"allons
donc pas donner la démonstration de tous les résultats. Démonstration.Montrons par exemple que siftend enx0vers une limite`non nulle, alors1f est bien définie dans un voisinage dex0et tend vers1` Supposons` >0, le cas` <0se montrerait de la même manière. Montrons tout d"abord que1fest bien définie et est
bornée dans un voisinage dex0contenu dans l"intervalleI. Par hypothèse 80>09 >08x2I x0 Si on choisit0tel que0< 0< `=2, alors on voit qu"il existe un intervalleJ=I\]x0,x0+[tel que pour toutx
dansJ,f(x)> `=2>0, c"est-à-dire, en posantM=2=`: 8x2J0<1f(x) Fixons à présent >0. Pour toutx2J, on a1f(x)1` =j`f(x)jf(x)`Donc, si dans la définition précédente de la limite defenx0on choisit0=`M, alors on trouve qu"il existe un >0
tel que 8x2J x0 Silimx0f=`etlim`g=`0, alorslimx0gf=`0.Ce sont des propriétés que l"on utilise sans s"en apercevoir! Exemple 9.Soitx7!u(x)une fonction etx02Rtel queu(x)!2lorsquex!x0. Posonsf(x) = Ç1+1u(x)2+lnu(x)
. Si elle existe, quelle est la limite defenx0? Tout d"abord commeu(x)!2 alorsu(x)2!4 donc1u(x)2!14 (lorsquex!x0). De même commeu(x)!2alors, dans un voisinage dex0,u(x)>0donclnu(x)est bien définie dans ce voisinage
et de plus lnu(x)!ln2 (lorsquex!x0). Cela entraîne que1+1u(x)2+lnu(x)!1+14+ln2lorsquex!x0. En particulier1+1u(x)2+lnu(x)>0dans un voisinage dex0, doncf(x)est bien définie dans un voisinage dex0. Et par composition avec la racine carrée alorsf(x)a bien une limite enx0et limx!x0f(x) =q1+14 +ln2. Il y a des situations où l"on ne peut rien dire sur les limites. Par exemple silimx0f= +1etlimx0g=1alors on
ne peut à priori rien dire sur la limite def+g(cela dépend vraiment defet deg). On raccourci cela en+11
est uneforme indéterminée. Voici une liste de formes indéterminées :+11; 01;11 ;00 ; 11;10. Enfin voici une proposition très importante qui signifie qu"on peut passer à la limite dans une inégalitélarge.Proposition 4.
Si f6g et silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors`6`0.
Si f6g et silimx0f= +1, alorslimx0g= +1.
Théorème des gendarmesSi f6g6h et silimx0f=limx0h=`2R, alors g a une limite en x0etlimx0g=`.x 0fh glim x0f=limx0g=limx0hMini-exercices. 1. Déterminer ,si elle existe, la limite de
2x2x23x2+2x+2en 0. Et en+1?
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Limite à gauche et à droite
Soitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 10. On appellelimite à droiteenx0defla limite de la fonctionf]x0,b[enx0et on la note lim x+ 0f.On définit de même lalimite à gaucheenx0def: la limite de la fonctionf]a,x0[enx0et on la note lim
x 0f.On note aussi limx!x0x>x0f(x)pour la limite à droite et limx!x0x Si la fonctionfa une limite enx0, alors ses limites à gauche et à droite enx0coïncident et valent limx0f.Réciproquement, sifa une limite à gauche et une limite à droite enx0et si ces limites valentf(x0)(sifest bien Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire à celle de l"unicité de la limite pour les Cette proposition se montre de manière similaire à la proposition analogue sur les limites de suites. Nous n"allons Supposons` >0, le cas` <0se montrerait de la même manière. Montrons tout d"abord que1fest bien définie et est Si on choisit0tel que0< 0< `=2, alors on voit qu"il existe un intervalleJ=I\]x0,x0+[tel que pour toutx8 >09 >0x0
Exemple 8.
Considérons la fonction partie entière au pointx=2 : comme pour toutx2]2,3[on aE(x) =2, on a lim2+E=2 , comme pour toutx2[1,2[on aE(x) =1, on a lim2E=1. Ces deux limites étant différentes, on en déduit queEn"a pas de limite en 2. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES9xy
0E(x)2limite à gauche lim
2Elimite à droite lim
2+E2.2. Propriétés
Proposition 1.
Silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors :
limx0(f) =`pour tout2R limx0(f+g) =`+`0 limx0(fg) =``0 si`6=0, alorslimx01f =1` De plus, silimx0f= +1(ou1) alorslimx01f
=0. 80>09 >08x2I x0
8x2J0<1f(x)
8x2J x0 Silimx0f=`etlim`g=`0, alorslimx0gf=`0.Ce sont des propriétés que l"on utilise sans s"en apercevoir! Exemple 9.Soitx7!u(x)une fonction etx02Rtel queu(x)!2lorsquex!x0. Posonsf(x) = Ç1+1u(x)2+lnu(x)
. Si elle existe, quelle est la limite defenx0? Tout d"abord commeu(x)!2 alorsu(x)2!4 donc1u(x)2!14 (lorsquex!x0). De même commeu(x)!2alors, dans un voisinage dex0,u(x)>0donclnu(x)est bien définie dans ce voisinage
et de plus lnu(x)!ln2 (lorsquex!x0). Cela entraîne que1+1u(x)2+lnu(x)!1+14+ln2lorsquex!x0. En particulier1+1u(x)2+lnu(x)>0dans un voisinage dex0, doncf(x)est bien définie dans un voisinage dex0. Et par composition avec la racine carrée alorsf(x)a bien une limite enx0et limx!x0f(x) =q1+14 +ln2. Il y a des situations où l"on ne peut rien dire sur les limites. Par exemple silimx0f= +1etlimx0g=1alors on
ne peut à priori rien dire sur la limite def+g(cela dépend vraiment defet deg). On raccourci cela en+11
est uneforme indéterminée. Voici une liste de formes indéterminées :+11; 01;11 ;00 ; 11;10. Enfin voici une proposition très importante qui signifie qu"on peut passer à la limite dans une inégalitélarge.Proposition 4.
Si f6g et silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors`6`0.
Si f6g et silimx0f= +1, alorslimx0g= +1.
Théorème des gendarmesSi f6g6h et silimx0f=limx0h=`2R, alors g a une limite en x0etlimx0g=`.x 0fh glim x0f=limx0g=limx0hMini-exercices. 1. Déterminer ,si elle existe, la limite de
2x2x23x2+2x+2en 0. Et en+1?
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Ç1+1u(x)2+lnu(x)
. Si elle existe, quelle est la limite defenx0? Tout d"abord commeu(x)!2 alorsu(x)2!4 donc1u(x)2!14 (lorsquex!x0).De même commeu(x)!2alors, dans un voisinage dex0,u(x)>0donclnu(x)est bien définie dans ce voisinage
et de plus lnu(x)!ln2 (lorsquex!x0). Cela entraîne que1+1u(x)2+lnu(x)!1+14+ln2lorsquex!x0. En particulier1+1u(x)2+lnu(x)>0dans un voisinage dex0, doncf(x)est bien définie dans un voisinage dex0. Et par composition avec la racine carrée alorsf(x)a bien une limite enx0et limx!x0f(x) =q1+14 +ln2.Il y a des situations où l"on ne peut rien dire sur les limites. Par exemple silimx0f= +1etlimx0g=1alors on
ne peut à priori rien dire sur la limite def+g(cela dépend vraiment defet deg). On raccourci cela en+11
est uneforme indéterminée. Voici une liste de formes indéterminées :+11; 01;11 ;00 ; 11;10.Enfin voici une proposition très importante qui signifie qu"on peut passer à la limite dans une inégalitélarge.Proposition 4.