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8 nov 2011 · Nous insistons sur le fait que le produit AB de deux matrices n'est La matrice A a 3 lignes et 2 colonnes, la matrice B a 2 lignes et 4 colonnes



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nous a guidé pour définir cette opération : le produit de deux matrices est une colonne de la seconde matrice, la ligne et la colonne à considérer étant celles 



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Définition 4 Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes Produit d'une matrice par par un vecteur-colonne(par une matrice m × 1



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Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à la même Produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne Règle de 



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sont deux matrices carrées de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on définit on place le produit de la i-`eme ligne de B par la j-`eme colonne de A



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Les matrices `a une seule ligne s'appellent matrices-lignes On peut voir les C de lignes, alors les deux produits (AB)C et A(BC) sont bien définis et égaux



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28 fév 2013 · 2 Structure et opérations 2 1 Somme et produits Définition 1 Une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K (comme dans le cas 





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Le produit AB de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Définition 5 (Produit de deux 



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MATRICES

Le mot " matrice » vient du latin " mater » (mère). Comme on enregistrait les enfants à la naissance dans des registres, le mot désigna ces registres. Cela explique les mots " matricule » ou " immatriculation ». Avec les mathématiciens Augustin Louis Cauchy (ci-contre) et Arthur Cayley, vers 1845, le mot prend naturellement le sens mathématique qu'on lui connaît aujourd'hui.

I. Généralités sur les matrices

Définition : Une matrice de taille m x n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes.

Une telle matrice s'écrit sous la forme :

Les nombres sont appelés les coefficients de la matrice.

Exemple :

est une matrice de taille 2 x 3. Définition : Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée.

Exemple :

est une matrice carrée de taille 2. Définition : Une matrice de taille n x 1 est appelée une matrice colonne. Une matrice de taille 1 x m est appelée une matrice ligne.

Exemple :

Les coordonnées d'un vecteur du plan est une matrice colonne de dimension 2 x 1. a 11 a 12 a 13 ...a 1n a 21
a 22
a 23
...a 2n a m1 a m2 a m3 ...a mn a ij A= 3-24 15-1 B= -23 67

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Propriété : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.

II. Opérations sur les matrices

1) Somme de matrices

Définition : Soit A et B deux matrices de même taille. La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/MMBfOom_mac

et alors

Remarque :

Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même taille. Propriétés : Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille. a) Commutativité : A + B = B + A b) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C)

2) Produit d'une matrice par un réel

Définition : Soit A une matrice et k un nombre réel. La produit de A par le réel k est la matrice, notée kA, dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/B3NAaW1Ap_I

alors Propriétés : Soit A et B deux matrices carrées de même taille et deux réels k et k'. a) (k + k')A = kA + k'A b) k(A + B) = kA + kB c) (kk')A = k(k'A) d) (kA)B = A(kB) = k(A x B) A= 23
4-1 B= 5-3 -310

C=A+B=

2+53-3

4-3-1+10

70
19 A= -25,5 2-4 B=2A=

2×-2

2×5,5

2×22×-4

-411 4-8

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3) Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne

Définition : Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne à n lignes telles que : et Le produit de la matrice carrée A par la matrice colonne B est la matrice colonne à n lignes, notée A x B et égale à :

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/nW8XRIhlq0Q

et alors

4) Produit de deux matrices carrées

Définition : Soit A et B deux matrices de même taille. La produit de A et B est la matrice, notée A x B, dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par chaque colonne de la matrice B.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/ZOtgQxB5NXI

et alors : et

Remarque :

La multiplication de matrices n'est pas commutative : A= a 11 a 12 ...a 1n a 21
a 22
...a 2n a n1 a n2 ...a nn B= b 1 b 2 b n

A×B=

a 11 ×b 1 +a 12 ×b 2 +...+a 1n ×b n a 21
×b 1 +a 22
×b 2 +...+aquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5