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8 nov 2011 · Nous insistons sur le fait que le produit AB de deux matrices n'est La matrice A a 3 lignes et 2 colonnes, la matrice B a 2 lignes et 4 colonnes

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nous a guidé pour définir cette opération : le produit de deux matrices est une colonne de la seconde matrice, la ligne et la colonne à considérer étant celles 

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Définition 4 Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes Produit d'une matrice par par un vecteur-colonne(par une matrice m × 1

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Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à la même Produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne Règle de 

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sont deux matrices carrées de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on définit on place le produit de la i-`eme ligne de B par la j-`eme colonne de A

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Les matrices `a une seule ligne s'appellent matrices-lignes On peut voir les C de lignes, alors les deux produits (AB)C et A(BC) sont bien définis et égaux

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28 fév 2013 · 2 Structure et opérations 2 1 Somme et produits Définition 1 Une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K (comme dans le cas 

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B

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Le produit AB de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Définition 5 (Produit de deux 

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Une matrice de taille 1 x m est appelée une matrice ligne Exemple Définition : Soit A et B deux matrices de même taille 4) Produit de deux matrices carrées

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Chapitre 2

1 2.4. Produits matriciels

1.1 Produit de matrices carr´ees

On a l"habitude de faire desproduits de nombre;

Par exemple

2×3 = 6

et on est habitu´e aux propri´et´s suivantes•il n"y a pas de diviseur deO: si un produit de deux nombres est nul

c"est que l"un de ces deux nombres est nul•le produit de deux nombres est commutatif:

2×3 = 3×2

et plus generalement pour tous nombresbeta a×b=b×a On va g´en´eraliser le produit de nombre auproduit des tableaux de nombres, c"est `a-dire au produit dematrices. Si

B=?b1b2

b 3b4? ,A=?a1a2 a 3a4? sont deux matrices carr´ees de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on d´efinit b

3×a1+b4×a3b3×a2+b4×a4?

B×Aest aussi une matrice de taille 2.

Par exemple, si

B=?6 7

8 9? ,A=?1 2 3 5? alors

B×A=?6×1 + 7×3 6×2 + 7×5

8×1 + 9×3 8×2 + 9×5?

=?27 47

35 61?1

Pour les d´ebutants on dispose le calcul ainsi

1 2 3 5

6 7 27 47

8 9 35 61

Cette d´efinition peut ˆetre ´etendue `a n"importe quel matricen×no`un est un entier naturel (1,2,...,819...): `a la position d"indicei,jdeB×A on place le produit de lai-`eme ligne deBpar laj-`eme colonne deA. Le produit des matrices a des propri´et´es ´etranges par rapport au produit de nombres•il y a des diviseurs deO: si un produit de deux matrices est nul (toutes les composantes sont nulles) il peut arriver qu"aucune des deux matrices ne soit nulle.

Par exemple SiB=?1-2

-2 4? etA=?2 4 1 2? ,2 4 1 2

1-2 0 0

-2 4 0 0 autrement dit

B×A=?1×2 +-2×1 1×4 +-2×2

-2×2 + 4×1-2×4 + 4×2? =?0 0

0 0?•le produit de deux matrices n"est pas toujours commutatif:

A×B?=B×A

. Par exemple si comme tout `a l"heureA=?2 4 1 2? etB=?1-2 -2 4?1-2 -2 4

2 4-6 12

1 2-3 62

autrement dit

A×B=?2×1 + 4× -2 2× -2 + 4×4

1×1 + 2× -2 1× -2 + 2×4?

=?-6 12 -3 6? ?=B×A=?0 0 0 0? Une premi`ere application du produit de matricesOn se donne un graphe oreint´e c"est `a dire des points num´erot´es avec des fl`eches entre eux. Par exempleFigure 1:Grapheet on construit la matrice d"adjacence du graphe

•on met un 1 `a la placei,js"il y a une fl`eche partant deiet allant `aj•on met un 0 `a la placei,js"il n"y a pas de fl`eche partant deiet allant

`aj

Dans notre exemple:A=?

????0 1 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0?

????3

On peut faire le produitA2=A×A0 1 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0 0 2 1

0 0 0 1 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

autrement ditA 2=?quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5