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DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE
Lemme de Morse
Leçons : 158, 170, 171, 214, 215, 218
[Rou], exercice 114 ThéorèmeSoitUun ouvert deRnavec 02Uetf:U!Rde classeC3. On suppose que Df(0) =0 et que D2f(0)est non-dégénérée, de signature(p,np). Alors il existe unC1-difféomorphismejentre deux voisinages de l"origine dansRn, tel quej(0) =0 etf(x)f(0) =u21+...+u2pu2p+1...u2n, oùu=j(x).Démonstration: On applique la formule de Taylor avec reste intégral à l"ordre 1 : f(x)f(0)Df(0).x=Z 10(1t)11!
D2f(tx).(x,x)dt
Ainsif(x)f(0) =txQ(x)x, oùQ:x7!Z
10(1t)D2f(tx)dtest une fonctionC1.1
On va avoir besoin du lemme suivant :
LemmeSoitA02GLn(R)\ Sn(R).
Alors il existeV, voisinage ouvert deA0dansSn(R)etr:V!GLn(R), de classeC1, telle que :8A2V,A=tr(A)A0r(A)Démonstration:
Étape 1 :Considéronsc:M
n(R)! Sn(R) M7!tMA0M; c"est une application polynomiale, doncC1.PourH2 Mn(R), utilisant queA0est symétrique,
c t(A0H)+A0H+o kHk2 Ainsi Dc(In).H=t(A0H)+A0HdoncH2Ker(Dc(In)),A0H2 An(R). Étape 2 :On aimerait appliquer le théorème d"inversion locale àc... mais on ne peut pas.On poseF=fH2 Mn(R)jA0H2 Sn(R)g.
Soity=cF
:F! Sn(R). In2Fet Ker(Dy(In))=Ker(Dc(In))\F=f0g. Comme dimF=dimSn(R), Dy(In), restriction de Dc(In)àF, est bijective. Et commeyest de classeC1, par le théorème d"inversion locale, il existe un voisinage ouvert Ude IndansFtel queysoit unC1-difféomorphisme deUsurV=y(U). On peut supposerUGLn(R), quitte à prendreU\U0oùU0est un voisinage ouvert de In dans GL n(R); un telU0existant par continuité de det. Ainsi,Vest un voisinage ouvert deA0=y(In)dansSn(R), et :8A2V,A=ty1(A)A0y1(A)
Et il suffit alors de poserr=y1.Ici,Q(x)est toujours symétrique etQ(0) =12D2f(0)est inversible.
Par le lemme, il existeV, voisinage deQ(0)dansSn(R)etr:V!GLn(R)de classeC1, telle que :8A2V,A=tr(A)Q(0)r(A)1. Si on vous demande pourquoi, dites qu"il y a une dérivation sous le signe intégrale.
Florian LEMONNIER1
Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE
Et commeQest continue, il existeW, voisinage de 0 dansRn, tel que :8x2W,Q(x)2VetQ(x) =tr(Q(x))Q(0)r(Q(x))
On pose alorsM(x) =r(Q(x))ety=M(x)x, on obtient :f(x)f(0) =tyQ(0)y. Par le théorème d"inertie de Sylvester,9A2GLn(R),tAQ(0)A=Ip0 0Inp , carQ(0)est de signa- ture(p,np).Alors, en posanty=Au, on obtient :
f(x)f(0) =tyQ(0)y=tutAQ(0)Au=u21+...+u2pu2p+1...u2n Soit alorsj:x7!u=A1M(x)x; on a bienj(0) =0 etjestC1surW. Puis, pourh2W,j(h)j(0) =A1M(h)hA1M(0)0=A1(M(0) +o(1))h=A1M(0)h+o(khk), donc Dj(0) =A1M(0)qui est inversible.On applique le théorème d"inversion locale àj, qui est donc unC1-difféomorphisme entre deux voisinages
de 0 dansRn.2Références[Rou] F. ROUVIÈRE-Petit guide de calcul différentiel, 4eéd., Cassini, 2014.2. Il n"est cependant pas évident qu"il soit nécessaire d"avoirMde classeC1(iefde classeC3) pour quejsoit de classeC1.