Exercice : la proposition : « le carré de tout nombre réel est positif ou nul »s'écrit P est vraie, car ∆ = −3 < 0 IV Raisonnement par contre-exemple Exemple :
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VII 1) Prouver que : si deux nombres entiers sont multiples de 3, alors leur somme et leur différence sont multiples de 3 2) Si la somme de deux nombres
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Logique, ensembles, raisonnements Il est plus facile de raisonner en prenant un élément x ∈ E Par exemple, soit F,G Exercice : trouver un contre-exemple
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Examiner les propositions suivantes Lorsqu'elles sont vraies, en donner une démonstration ; sinon, proposer un contre-exemple 1 ∀ ∈
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10 sept 2006 · Exemple 1 Les formules (1 > 0), (1 = 0), (x > 1) sont des assertions Les assertions (1 > 0) Exercice 4 Ecrire sous forme de formule mathématique l' assertion suivante Pour tout rationnel On appelle cela un contre-exemple
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quelques exemples ne font pas une démonstration → attention aux Exercice - Montrer que 0 n'est pas racine de A(x) = x4 + 12x − 1 Contre-exemple
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Le contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Mener un raisonnement par l'absurde ou par disjonction des cas en étant guidé Exhiber un
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Exercice 6 Dans chaque exemple, y a-t-il équivalence entre la proposition A et la proposition B ? Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence (de 3 en 3) que tout carré Justifier chaque cas par une preuve ou un contre-exemple
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⊂ f(A) ∩ f(B) Remarque : l'inclusion réciproque est fausse Exercice : trouver un contre-exemple f−1(F \ A) =
[PDF] Feuille dexercices no 2 1 Implication, réciproque, contraposée
Éléments de raisonnement mathématique La seule façon de démontrer qu' une implication est fausse (par exemple, pour montrer que “pour tout x ∈ R, si x2 ≥ 1 alors x ≥ 1” est fausse), c'est de produire un contre-exemple qui vérifie la
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TS : correction du TD - Différents typesderaisonnements utilisés en mathématiques
IQuantificateur existentiel
Exercice: "il existe un entier naturelntel quen2soit supérieur à 23.»s"écrit : ?n?N,n2>23.IIQuantificateur universel
Exercice:la proposition : "le carré de tout nombre réel est positif ou nul.»s"écrit : ?x?R,x2?0.IIINégation
Exercice
Écrire la négation des propositions suivantes et préciser laquelle est vraie.1.P:?x?R,x+1>x
P:?x?R,x+1?x
Pest vraie, carx+1>x?1>0 (en soustrayantxdes deux côtés)2.P:?x?R,1
x2+1<1P:?x?R,1x2+1?1
Pest vraie car, pourx=0,1x2+1=1.
3.P: Tout triangle est rectangle.
P: il existe un triangle non rectangle.
Pest vraie, car les triangles équilatéraux ne sont jamais rectangles (trois angles deπ3radians)
4.P: Tout carré est un losange.
P: il existe un carré qui ne soit pas un losange. Pest vraie; les carrés sont des losanges particuliers.5.P: tout nombre premier est impair.
P: il existe un nombre premier pair.
Pest vraie, car 2 est premier et pair (seul nombre premier pair).6.P: Il existe un réelxtel quex2+x+1=0
P: pour toutx?R,x2+x+1?=0
Pest vraie, carΔ=-3<0
IV Raisonnement par contre-exemple
Exemple :
Soit la propriété P : "?x?R,x2+2x+1?=0. On veut montrer que cette proposition est fausse. Il est équivalent de montrer que la proposition contraire non P?x?R,x2+2x+1=0 est vraie. Autrement dit, il suffit d"exhiber un réelxrendant nulle l"expressionx2+2x+1. x2+2x+1=0?(x+1)2=0?x=-1; l"expresion s"annule pourx=-1.
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V Raisonnement par contraposée
Exercice :
1. Démontrer que :?n?N,nimpair?n2impair.
Eneffet:sinestimpair,ilexistep?Ntelquen=2p+1. Alorsn2=(2p+1)2=4p2+4p+1=2?2p2+2p?+1=2q+1 en posantq=2p2+2p?N. n2est donc impair
2. Démontrer que :?n?N,n2impair?nimpair.
Cela équivaut à montrer que sinest pair, alorsn2est pair. Sinets pair,n=2pdoncn2=4p2=2×2p2doncn2est pair.3. Ces deux propriétés se traduisent par une éuivalence :
nimpair?n2impairExercice :
Démontrer la proposition "Soitxun nombre réel tel que pour toutε>0,x?ε. Alorsx?0.» On montre la contraposée : six>0, i existeε>0 tel quex>ε.Il suffit de prendrex=ε
2.VI Raisonnement par l"absurde
Le raisonnement parl"absurde est une forme de raisonnementlogique, consistant soit à démontrer la vérité d"une
proposition en prouvant l"absurdité de la proposition contraire, soit à montrer la fausseté d"une proposition en
déduisant logiquement des conséquences absurdes.Définition :
Exercice :démontrer que l"ensemble I des rationnels strictement supérieurs à 1 n"a pas de plus petit élément
VII Raisonnement par récurrence
Nous avons vu ce type de raisonnement en cours.
VIII Raisonnementpar disjonction des cas
Lorsd"un raisonnementpardisjonction des cas, on étudie tousles cas possibles enfaisant aupréalable untripour
restreindre le nombre de cas à étudier.