La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n On appelle dans ce cas 乡n la propriété en question On est ainsi amené à montrer que la propriété 乡n est vraie pour toutes les valeurs de n
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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 4 − 1 2n−1 Solution 2 • Si n = 0, 4 − 1 2n−1 = 4 − 2 = 2 = u0 L'égalité de l'énoncé est vraie
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on observe que le membre de droite de l'égalité vaut justement (n + 1)2 La formule est encore vraie pour n + 1; elle est donc vraie pour n = 5 La formule étant
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Démontrer que, pour tout n ≥ 1 on a : (1 + a)n ≥ 1 + na Corrigé 1 Nous allons démontrer cette égalité par récurrence sur n Initialisation : pour n = 1, l'égalité s'
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Exercice 1 : 1°) Montrer par récurrence que, pour tout , On posera 2°) En déduire la valeur de On pourra calculer Correction 1°) On appelle l'égalité Si , et
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1; , 1 1 x nx x ∀ ∈ − + ∞ + = + L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x supérieur ou égal
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kn a Cette égalité est-elle vraie pour n = 1, 2, 3, 4, 5? 1
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27 sept 2011 · La démonstration par récurrence est un schéma de démonstration que Énoncé : Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn : un > 2
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Raisonnement par récurrence Correction est vraie pour tout n ∈ N∗ par récurrence Initialisation Pour tout n ∈ N, on a l'égalité 10n+1 = 10n(9 + 1) Alors,
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La démonstration par récurrence
Dans toute la suitenappartientàN.
La démonstrationparrécurrencesertlorsqu"onveut démontrerqu"une propriété,dépendantde n, est vraie pour toutes les valeurs den. On appelle dans ce casPnla propriétéen question. On est ainsi amené à montrer que la propriétéPnest vraiepour toutesles valeursden. P1?P0?P2?P3?P4?······
Exemple :Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété : ??pour tout entiernon a : 0+1+2+···+n=n(n+1) 2.??Pour n"importe quel entiernon appellePnla propriété (à démontrer):??1+2+···+n=n(n+1)
2??. On peut à présent démontrer par récurrence que :??0+1+2+···+n=n(n+1)2pour tout entiern??.
La démonstration par récurrencese fait en trois étapes : •Initialisation: on vérifie que la propriété est vraie pour la première valeur den(souvent n=0).On vérifie donc queP0est vraie.
P 1?P0vraieP2?P3?P4?······
Exemple :
•Initialisation: icin=0 doncn(n+1)2=0×(0+1)2=0 et ainsi la propriétéP0est vraie. •Hérédité:on démontre la propriété suivante :??si la propriété est vraie pour un certain rangk(n"importe lequel)
alors la propriété est vraie pour le rang juste après c"est-à-dire pour le rangk+1??.PkvraiePk+1?transmission
La propriété se transmet de la valeur de l"indicekà la valeur de l"indicek+1.On dit que la propriété est
héréditaire.Page 1/2
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Exemple :•Transmission:
Sila propriétéPkest vraie(pour un certain k)montrons qu"alorsPk+1est vraie aussi . On sait (par hypothèse de récurrence) : 0+1+2+···+k=k(k+1) 2. On veut démontrer que : 0+1+2+···+(k+1)=(k+1)?(k+1)+1?2=(k+1)(k+2)2.
On a 0+1+2+···+(k+1)=0+1+2+···+k+(k+1) . Par ailleurs d"après l"hypothèse de récurrence 0+1+2+···+k=k(k+1)2donc 0+1+2+···+(k+1)=k(k+1)2+(k+1) .
On a ensuite
k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)2+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2et donc il suit que
0+1+2+···+(k+1)=(k+1)(k+2)
2.La propriétéPk+1est ainsi vraie.
On a donc bien montré que si
Pkest vraie alorsPk+1l"est aussi.
•Conclusion:les deux étapes précédentes permettent de conclure que la propriété est vraie pour tous les entiersn.
En effet la propriétéest vraie au rang 0 donc avec l"étape d"hérédité elle devient vraie au rang 1. On peut
alors réappliquer l"étape d"hérédité au rang 1 et la propriété devient vraie au rang 2.
En réappliquant l"étape d"hérédité de proche de proche, il suit que la propriété est vraie pour tous les
entiersn.