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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 4 − 1 2n−1 Solution 2 • Si n = 0, 4 − 1 2n−1 = 4 − 2 = 2 = u0 L'égalité de l'énoncé est vraie 

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on observe que le membre de droite de l'égalité vaut justement (n + 1)2 La formule est encore vraie pour n + 1; elle est donc vraie pour n = 5 La formule étant 

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Démontrer que, pour tout n ≥ 1 on a : (1 + a)n ≥ 1 + na Corrigé 1 Nous allons démontrer cette égalité par récurrence sur n Initialisation : pour n = 1, l'égalité s'  

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Exercice 1 : 1°) Montrer par récurrence que, pour tout , On posera 2°) En déduire la valeur de On pourra calculer Correction 1°) On appelle l'égalité Si , et

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1; , 1 1 x nx x ∀ ∈ − + ∞ + = + L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x supérieur ou égal 

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kn a Cette égalité est-elle vraie pour n = 1, 2, 3, 4, 5? 1 

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27 sept 2011 · La démonstration par récurrence est un schéma de démonstration que Énoncé : Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn : un > 2

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Raisonnement par récurrence Correction est vraie pour tout n ∈ N∗ par récurrence Initialisation Pour tout n ∈ N, on a l'égalité 10n+1 = 10n(9 + 1) Alors,

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u n= 1 + 3 + 5 + 7 +:::+ (2n1): ??n??? ?? ?????? ??????? ??? ??? ? u n= 1 + 3 + 5 + 7 +:::+ (2n3) + (2n1):??????? ????? [0;+1[!R; x7!(x+ 1)lnx+ 4x+ 3 ln2:

0< f(x)?

(n+ 3)n=n+2X k=3k n: BY: C ??????n2N?? ??????? ??? n+2X k=3k n+1<(n+ 3)n+2X k=3k n: ??????n5? ??????? ???(n+ 3)n>n+2X k=3k n? BY: C ????? ??? ????? ??? ?? ???????[a;b]? BY: C ????u1= 1?u2= 1 + 3 = 4?u3= 1 + 3 + 5 = 9?u4= 1 + 3 + 5 + 7 = 16? BY: C u n+1= 1 + 3 + 5 +:::+ [2n1] + [2(n+ 1)1] =un+ 2n+ 1 ?????? ???? ??????? ??? ???? ????x2[0;+1[? ?? ?g(x)0? ????x2[0;+1[??yx? f

0(x) = lnx+ 4x+ 3

+ (x+ 1)x+3x4(x+3)2x+4x+3: = ln x+ 4x+ 3 x+ 1(x+ 3)(x+ 4); ???????f0? ??? ???? ??????? ??????? ??????? ??f?? ??? ???? ????f00? ???? ????x2[0;+1[? f

00(x) =1(x+ 3)(x+ 4)1(x+ 3)(x+ 4)+ (x+ 1)2x+ 7(x+ 3)2(x+ 4)2

(x+ 1)(2x+ 7)2(x+ 3)(x+ 4)(x+ 3)2(x+ 4)2 =5x+ 17(x+ 3)2(x+ 4)2: f f

0(x) = lnx+ 4x+ 3

x+ 1(x+ 3)(x+ 4)= lnx(1 +4x )x(1 +3x x(1 +1x )x

2(1 +3x

)(1 +4x = ln1 +4x 1 + 3x 1 +1x x(1 +3x )(1 +4x BY: C ?? ?? ?????? ???f0(x)????? ??? ?????? ?????x???? ????+1? ?? ???limx!+1f0(x) = 0? n= 1?46= 3? n= 5?85= 32768??35+45+55+65+75= 243+1024+3125+7776+16807 = 28975? n+2X k=3k n+1=n+2X k=3kkn n+2X k=3(n+ 3)kn <(n+ 3)n+2X k=3k n: (n+ 3)n>n+2X k=3k n: k=3k5??????? ?? ???(n+ 3)n>n+2X k=3k n? ?????? (n+1)+2X k=3k n+1=n+3X k=3k n+1 = (n+ 3)n+1+n+2X k=3kkn <(n+ 3)n+1+ (n+ 3)n+2X k=3k n BY: C

0<2(n+ 3)n+1<(n+ 4)n+1;

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2(n+ 3)n+1

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